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浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考(数学理)解析版


【试题总体说明】 试题总体看来,结构是由易到难,梯度把握比较好,有利于各类考生的发展,具有一定的区分度, 整体难度适中。无偏、难、怪题出现,遵循了科学性、公平性、规范性的原则,彰显了时代精 神,为新课标的高考进行了良好的铺垫。主要通过以下命题特点来看: 第一,立足教材,紧扣考纲,突出基础。理科试卷立足教材,紧扣考纲,试题平稳而又不乏新意,平中 见奇。 第二,强化主干知识,知识涵盖广,题目亲切,难度适中。 第三,突出思想方法,注重能力考查。"考查基础知识的同时,注重考查能力"为命题的指导思想, 将知识、能力和素质融为一体,全面检测了考生的数学素养,几乎每个试题都凝聚了命题人对 数学思维和方法的考查 第四,结构合理,注重创新,展露新意。

2011 学年杭州学军中学高三年级第 2 次月考 数学(理)试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 )

1.已知集合 M= {x | y ? ln(1 ? x)} ,集合 N ? y | y ? e , x ? R
x

?

,则 ? (e 为自然对数的底数)

M ? N =(
A. {x | x ? 1} 【答案】C

) B. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} D. ?

x 【解析】解:M= {x | y ? ln(1 ? x)} ? {x | x ? 1} , N ? y | y ? e , x ? R ? ? y | y ? 0?

?

?

M

N ? {x | 0 ? x ? 1} ,故选 C

2.已知 f (? ) ? sin(? ? ? ) tan( A. ? 【答案】B 【解析】解: 因为

31? 3? ) 的值为( ? ? ) ,则 f (? 3 2 1 2
C.



1 2

B.

3 2

D. ?

3 2

4.设 a ? 20.3 , b ? 0.32 , c ? logx x 2 ? 0.3 ?x ? 1? ,则 a, b, c 的大小关系是( A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? b ? a

?

?

) D. b ? c ? a

【答案】B 【解析】解:因为 2 ? a ? 2 故答案选择 B 5.函数 y ? lg(sin x ? cos x) 的定义域是(
2 2
0.3

? 1, 0 ? b ? 0.32 ? 1, c ? log x ? x 2 ? 0.3? ? log x x 2 ? 2 ? x ? 1?

)

A. {x 2k? ? B. {x 2k? ? C. {x k? ? D. {x k? ? 【答案】D 【解析】解:

3? ? ? x ? 2k? ? } k ? Z 4 4 4 ? x ? 2k? ? 5? } k ?Z 4

?

?

? x ? k? ? } k ? Z 4 4

?

? 3? ? x ? k? ? } k ? Z 4 4

要使原式有意义,则需满足

sin 2 x ? cos 2 x ? 0 ?? cos 2 x ? 0 ? cos 2 x ? 0 ? 3? ? 2 x ? [2k? ? , 2k? ? ], k ? z 2 2 ? 3? ? x ? [k? ? , k? ? ], k ? z 4 4
6.函数 y ? sin( A.
? 4

?
6

? 2 x) ? sin 2 x 的最小正周期是(
B.
? 2

) C. ? D. 2?

【答案】B 【解析】解:

1 1? 3 1 ? 2 x) ? sin 2 x =| cos 2 x ? sin 2 x |? | 5 ? 2 3 sin(2 x ? ? ) | 6 2 2 2 1? 3 (tan ? ? ? ), 2 y ? sin(
显然在取绝对值之前周期为 ? ,加上绝对是周期缩小为原来的一半,因此答案为 B 7.若函数 y= loga ( x 2 ? ax ? 1) 有最小值,则 a 的取值范围是 A.0<a<1 B. 0<a<2,a≠1 C. 1<a<2 D.a ≥2 ( )

?

【答案】C 【解析】解:需要对 a 分类讨论

当a ? 1时,y有最小值,则说明x2 ? ax ? 1有最小值,故x2 ? ax ? 1=0中判别式小于零 即a 2 -4 ? 0,? 2 ? a ? 1 当1>a ? 0时,y有最小值,则说明x2 ? ax ? 1有最大值,与二次函数性质相互矛盾,舍去。
综上可知答案选 C
n 8. 若 x ? R 、 n ? N ? , 定 义 : M x ? x( x ? 1)(x ? 2)
5 M? 5 =(-5)(-4)(-3)(-2)(-1) =-120,则函数

?( x ? n ? 1) , 例 如 :
)

f ( x) ? xM 19 x ?9 的奇偶性为(

A.是偶函数而不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 【答案】A 【解析】解: 因为 f ( x) ? x( x ? 9)( x ? 8)

B. 是奇函数而不是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数
k.Com]

( x ? 7)( x ? 8)( x ? 9) ? x2 ( x2 ? 81)( x2 ? 64)

( x2 ?1) 故函数

f (? x) ? f ( x) 故选 A
9.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足 f (5 ? x) ? f (? x) ,( x ? ) f ( x) ? 0 ,已知 x1 ? x2 ,则
/

5 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 是 x1 ? x2 ? 5 的(
A.充分不必要 【答案】C B.必要不充分

)条件. C.充分必要 D.既不充分也不必要

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.已知 cos( ? ? 【答案】 ?

?

3 ? 3 ) ? , ? ? ? ? , 则 cos 2? 的值是 4 5 2 2

.

24 25

【解析】解:

cos 2? ? sin[2 (? + ) ] ? 2sin (? + )cos(? + ) 4 4 4 ? 3? ? 3? 7? ? 而? ? [ , ), ? ? ? [ , ) cos(? + )>0 2 2 4 4 4 4 ? 3? 7? ? 4 ?? ? ? [ , ) ? sin (? + )=4 2 4 4 5 4 3 24 ? cos 2? ? 2 ? (- ) ? ( ) ? ? 5 5 25
12.设曲线 f ?x ? ? 2ax ? a 在点 (1, a ) 处的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则实数 a 的值
3

?

?

?





【答案】

1 3

【解析】解:

因为f'(x)=6ax2 ,? f'(1)=6a,而切线的斜率与已知直线的斜率互为负倒数,则 1 6a=2 ? a= 3
13.若函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ( ? < 如图所示,则 f ( x) 的解析式是
y 1
O

? )的图象(部分) 2
.

-

? 3

2? 3

x

【答案】 f ( x ) = sin( x ?

1 2

?
6

)

1 2? 1 ? 4? ,? w ? , sin( ? ? ? ) ? 1,?? ? 2k? ? 2 3 2 6 【解析】解:由图可知,周期为 ? 1 ? 当k ? 0时,? ? ,故解析式为y ? sin( x ? ) 6 2 6

14.已知函数 f ( x ) ? 【答案】 (??, ?2) 【解析】解:

1 3 x ? ax 2 ? 3 x 在(0, 1)上不是单调函数,则实数 a 的取值范围为 3

16.当 x ? (1, 2) 时,不等式 ( x ?1)2 ? loga x 恒成立,则实数 a 的取值范围为 【答案】 ?1, 2? 【解析】解:作图

.

在(1,2)上,如果恰好对数函数经过二次函数的两点(1,0) (2,1)则此时符合题意,如果底数 a 越小, 则对数函数图象越是靠近 y 轴, 也符合, 因此可以借助于零界点 y ? loga 2 ? 1,? a ? 2 , 求得答案。 17. 设集合 A(p,q)= {x ? R | x2 ? px ? q ? 0} , 当实数 p, q 取遍 ??1,1? 的所有值时,所有集合 A(p,q)的并集为 【答案】 [? .

1? 5 1? 5 , ] 2 2

【解析】解:

集合 A 求的是 X 的取值范围,自然就是 R 如果求的是该方程值域的并集的话就是[-5/4,+ ? ) 一元二次方程对称轴是-p/2 代 进去就是顶点的纵坐标,即是-p2/4+q 取 p=1 q=-1 就是其最小值
三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 72 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分)己知集合 A ? {x || x ? 1 |? 2} , B ? {x |

x?2 ? 1} , x ? 3x ? 2
2

C ? {x | 2x 2 ? mx ? 1 ? 0} (1)求 A ? B, A ? B ; (2) 若 C ? A ? B ,求 m 的取值范围.
【解题说明】本试题主要考查关于集合的交集、并集的运算以及集合间关系的考查。并结合 了一元二次不等式和绝对值不等式的求解问题。解决该试题的关键是对集合的等价变形。 【答案】 (1) A (2) ?

B ? ?0,1) (2,3) A B ? (?1, 4
31 ? m ?1 4

?

【解析】 解: (1) A ? (?1,3) ,B= ?0,1) ? (2,4 ?,? A ? B ? ?0,1) ? (2,3) A ? B ? (?1,4
2

C ? (?1,4 ??方程2x ? mx ? 1 ? 0 小根大于或等于-1,大根小于或等于 4,因而

?

? ? f (?1) ? 1 ? m ? 0 ? 31 ? ? f (4) ? 4m ? 31 ? 0, 解之得 ? ? m ? 1 4 ? m ? ?1 ? ? ? 4 ? 4 ?
19. (本小题满分 14 分)把函数 f ( x) ? 2 cos(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的图像上每一点的横

坐标伸长到原来的 2 倍, 纵坐标不变, 然后再向左平移 的奇函数 g ( x) . (1) 求 ?和? 的值; (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g 2 ( x) 的单调增区间. 【解题说明】 【答案】 (1) ? ? (2) (?

? 个单位后得到一个最小正周期为 2 ? 6

?
3

,w ? 2

7? ? ? k? , ? ? k? ) k ? Z 12 12

【解析】 解: (1)

f1 ( x) ? 2 cos( 由

2? ? 2 ? ? ? ? ? 2? ? w ? 2, 则g ( x) ? 2 cos( x ? ? ? ), ? ? ? , ? ? ? w 6 6 2 3

wx wx w? ? ? ) ? g ( x) ? 2 cos( ? ? ?) 2 2 12

? 1 3 (2)h( x) ? 2 cos(2 x ? ) ? 4sin 2 x ? 2 cos 2 x ? ? 2sin 2 x ? ? 2(1 ? cos 2 x) 3 2 2
? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2 3(
2

3 1 ? cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 ? ?2 3 sin(2 x ? ) ? 2 2 2 3
7? ? ? k? ,? ? k? ) k ? Z 12 12

函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调增区间为 (?

20. (本小题满分 14 分)在Δ ABC 中,已知角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c,且满足 b2=ac (1)求证: 0 ? B ? (2)求函数 y ?

?
3



1 ? sin 2 B 的值域. sin B ? cos B

【解题说明】本试题主要考查二轮解三角形以及两角和差公式的公式、二倍角公式、三角函 数的图象与性质的综合运用。解决该试题的关键是看对于余弦定理和不等式的灵活运用。 【答案】 (1) 略 (2)

(1, 2]

【解析】

解:(1)∵ cos B ? (2) y ?

a 2 ? c2 ? b2 ? 2ac

1 ? 2ac ? b 2 b2 , b2 ? ac ? cosB ? ,又∵ B ? (0, ? ) ,∴ 0 ? B ? . ? 1? 3 2 2ac 2ac

(sin B ? cos B) 2 ? ? ? ? 7? , 1 ? 2 sin( B ? ) ? 2 ,∴y 的值域为 (1, 2 ] ; ? 2 sin( B ? ) , ? B ? ? 4 4 4 12 sin B ? cos B 4

解: (1)设 h(x)=m(x +3x)+n(3x+4)=mx +3(m+n)x+4n, ∵h(x)是偶函数,∴m+n=0,∴h(2)=4m+4n=0; (4 分) (2)设 h(x)=2x +3x-1=m(x +ax)+n(x+b)=mx +(am+n)x+nb
2 2 2

2

2

3-n ? ?m ? 2 a? ? ? ? 2 ∴ ?am ? n ? 3 得 ? ?nb ? ?1 ?b ? ?1 ? ? n ?
{m=2am+n=3nb=-1 得 {a=3-n2b=-1n ∴a+2b=

3? n 2 3 n 2 ? ? (8 分) - = n 2 2 n 2

由 ab≠0 知,n≠3, ∴a+2b∈ (-∞,-1/2)∪(7/2,+∞)(11 分) (3)设 h(x)=mlog4(4 +1)+n(x-1) ∵h(x)是偶函数,∴h(-x)-h(x)=0,
x

即 mlog4(4 +1)+n(-x-1)-mlog4(4 +1)-n(x-1)=0 ∴(m+2n)x=0 得 m=-2n(13 分) 则 h(x)=-2nlog4(4 +1)+n(x-1)=-2n[log4(4 +1)x x

-x

x

1 1 1 1 x x+ ]=-2n[log4(2 + x )+ ] 2 2 2 2

∵h(x)有最小值 1,则必有 n<0,且有-2n=1∴m=1.n= -12 ∴h(x)=log4(2 +
x

1 1 )+ x 2 2

h(x)在[0,+∞)上是增函数,在(-∞,0]上是减函数. (18 分) 22. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ?

sin x ? bx (b ? R ) 2 ? cos x 2? 2? ) 为增函数, ( , ? ) 为减函数,若存在,求 (1)是否存在实数 b ,使得 f ( x ) 在 (0, 3 3

出 b 的值,若不存在,请说明理由; (2)如果当 x ? 0 时,都有 f ( x) ? 0 恒成立,试求 b 的取值范围. 【解题说明】 【答案】 (1) b ? 0 (2) b ? ? ,?? ? 【解析】 解: (1)∴ f ( x ) ?

?1 ?3

? ?
sin x 2 cos x ? 1 ? bx , f ?( x) ? ?b, 2 ? cos x (2 ? cos)2 2 2 2 ? )上递增,在( ? , ? )上递减,则 f ?( ? ) ? 0 , 3 3 3

(1)若 ?b ? R ,使 f ( x) 在(0, ∴ b ? 0 ,这时 f ?( x) ?

2 1 ? 2 cos x ,当 x ? (0, ? ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 递增。 2 3 (2 ? cos x)

当 x ? ( ? , ? ) 时 f ?( x) ? 0 , f ( x) 递减。 (2) f ?( x) ?

2 3

?b cos2 x ? 2(1 ? 2b) cos x ? 1 ? 4b (2 ? cos x)2
2

△= 4 (1 ? 2b) ? b(1 ? 4b) ? 4(1 ? 3b) 若△ ? 0 ,即 b ?

?

?

1 , 则 f ?( x) ? 0 对 ?x ? 0 恒 成 立 , 这 时 f ( x) 在 ?0,??? 上 递 减 , 3

∴ f ( x) ? f (0) ? 0 。

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