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高中数学必修4人教A2.3.4平面向量共线的坐标表示(教、学案)


2. 3.4 平面向量共线的坐标表示

【教学目标】 1.会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件; 2.能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。 3.通过学习向量共线的坐标表示,使学生认识事物之间的相互联系,培养学生辨证思 维能力. 【教学重难点】 教学重点: 向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解. 教学难点: 定比分点的理解和应用. 【教学过程】 一、〖创设情境〗 前面,我们学习了平面向量可以用坐标来表示,并且向量之间可以进行坐标运算。这就为解 决问题提供了方便。我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ 使得 b =λ a ,那 么这个条件是否也能用坐标来表示呢?因此, 我们有必要探究一下这个问题: 两向量共线的 坐标表示。 二、〖新知探究〗 思考:共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ 使得 a =λ b ,那么这个条件是否也能 用坐标来表示呢? 设 a =(x1, y1) 由 a =λ b ,

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? ? ? ? b =(x2, y2)( b ? 0 ) 其中 b ? a
(x1, y1) =λ (x2, y2)

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? x ? ?x 2 ?? 1 ? y1 ? ?y 2

消去λ :x1y2-x2y1=0

结论: a ∥ b ( b ? 0 ) ? x1y2-x2y1=0 注意:1?消去λ 时不能两式相除,∵y1, y2 有可能为 0, ∵ b ? 0 , ∴x2, y2 中至少有一个不为 0. 2?充要条件不能写成

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y1 y 2 ? x1 x 2

∵x1, x2 有可能为 0.

3?从而向量共线的充要条件有两种形式: a ∥ b ( b ? 0 ) ? 三、〖典型例题〗

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a ? ?b x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0

例 1. 已知 a ? (4, 2) , b ? (6, y) ,且 a // b ,求 y . 解:∵ a // b ,∴ 4 y ? 2 ? 6 ? 0 .∴ y ? 3 . 点评:利用平面向量共线的充要条件直接求解.

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1

变式训练 1:已知平面向量 a ? (1,2) , b ? (?2, m) ,且 a // b ,则 2a ? 3b 等于 _________. 例 2: 已知 A(?1, ?1) , B(1,3) , C (2,5) ,求证: A 、 B 、 C 三点共线. 证明: AB ? (1 ? (?1),3 ? (?1)) ? (2, 4) , AC ? (2 ? (?1),5 ? (?1)) ? (3,6) , 又 2 ? 6 ? 3 ? 4 ? 0 ,∴ AB // AC .∵直线 AB 、直线 AC 有公共点 A , ∴ A , B , C 三点共线。 点评:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线. 变式训练 2:若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为_________. 例 3:设点 P 是线段 P1P2 上的一点, P1、P2 的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2). (1) 当点 P 是线段 P1P2 的中点时,求点 P 的坐标; (2) 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标. 解:(1) OP ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

1 ? x ? x2 y1 ? y 2 ? (OP1 ? OP 2 ) = ? 1 , ? 2 2 ? ? 2

所以,点 P 的坐标为 ?

? x1 ? x2 y1 ? y 2 ? , ? 2 ? ? 2

(2)当 P1 P ?

1 ? 2 x ? x2 2 y1 ? y 2 ? PP2 时,可求得:点的坐标为: ? 1 , ? 2 3 3 ? ?

当 P P ? 2PP 时,可求得:点的坐标为: ? 1 2

? x1 ? 2 x2 y1 ? 2 y 2 ? , ? 3 3 ? ?

点评:此题实际上给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式. 变式训练 3:当 P P ? ? PP 时,点 P 的坐标是什么? 1 2 四、〖课堂小结〗 1.熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式; 2.会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行; 3.明白判断两直线平行与两向量平行的异同。 五、〖反馈测评〗 1.已知 AB = a +5 b , BC =-2 a +8 b , CD =3( a - b ),则( A. C. A、B、D 三点共线 B、C、D 三点共线 B D.

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.A、B、C 三点共线 A、C、D 三点共线

2.若向量 a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线且方向相同,则 x 为________.

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? ? ? ? 3 1 3.设 a ? ( ,sin ? ) , b ? (cos ? , ) , ? ? (0, 2? ) ,且 a // b ,求角 ? . 2 3
2

【板书设计】

【作业布置】课本 P108 4、5、6、7

3

2.3.4 平面向量共线的坐标表示
课前预习学案 一、预习目标:通过预习会初步利用两向量共线时坐标表示的充要条件进行预算. 二、预习内容: 1、知识回顾:平面向量共线定理________________________________________. 2.平面向量共线的坐标表示: 设 a =(x1, y1)

? ?

? ? ? ? b =(x2, y2)( b ? 0 ) 其中 b ? a ,

则 a ∥ b ( b ? 0 ) ? _____________________. 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

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课内探究学案 一、学习目标: 1.会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件; 2.能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。 3.通过学习向量共线的坐标表示,使学生认识事物之间的相互联系,培养学生辨证思 维能力. 二、学习内容 1.思考:共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ 使得 b =λ a ,那么这个条件是否也 能用坐标来表示呢? 设 a =(x1, y1), b =(x2, y2)( b ? 0 ) 其中 b ? a

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由 a =λ b ,得___________________,即__________________________,消去λ 后得:

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__________________________________.这就是说,当且仅当___________________时,向量

? ? a 与 b 共线.
2.典型例题 例 1 已知 a ? (4, 2) , b ? (6, y) ,且 a // b ,求 y .

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例 2: 已知 A(?1, ?1) , B(1,3) , C (2,5) ,求证 A 、 B 、 C 三点共线.

4

例 3:设点 P 是线段 P1P2 上的一点, P1、P2 的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2). (1) 当点 P 是线段 P1P2 的中点时,求点 P 的坐标; (2) 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标.

三、反思总结 1.平面向量共线充要条件的两种表达形式是什么? 2.如何用平面向量共线的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行? 3.判断两直线平行与两向量平行有什么异同?

四、当堂检测 1.已知 AB = a +5 b , BC =-2 a +8 b , CD =3( a - b ),则( A. C. A、B、D 三点共线 B、C、D 三点共线 B D. .A、B、C 三点共线 A、C、D 三点共线

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2.若向量 a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线且方向相同,则 x 为________.

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? ? ? ? 3 1 3.设 a ? ( ,sin ? ) , b ? (cos ? , ) , ? ? (0, 2? ) ,且 a // b ,求角 ? . 2 3

课后练习与提高 1.若 a =(2,3), b =(4,-1+y),且 a ∥ b ,则 y=( A.6 B.5 C.7 D.8 )?

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2.若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( A.-3 B.-1 C.1
5

D.3

3.若 AB =i+2j, DC =(3-x)i+(4-y)j(其中 i、j 的方向分别与 x、y 轴正方向相同且为单位 向量). AB 与 DC 共线,则 x、y 的值可能分别为( A.1,2 B.2,2 C.3,2 ) D.2,4 .

4.已知 a =(4,2), b =(6,y),且 a ∥ b ,则 y=

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5.已知 a =(1,2), b =(x,1),若 a +2 b 与 2 a - b 平行,则 x 的值为 6.已知 A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量 AB 与 CD 平行吗?直线 AB 与平行于直线 CD 吗?

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6


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