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2018课标版文数一轮(2)第二章-函数(含答案)3-第三节 函数的奇偶性与周期性


第三节

函数的奇偶性与周期性
A 组 基础题组

1.下列函数为奇函数的是( A.y= C.y=cosx B.y=e
x x -x

)

D.y=e -e

2.(2017 湖北襄阳模拟)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是单调递增函数的是( A.y=1

)

B.y=3 -3

-x

x

C.y=x|x|

D.y=x -x )

3

3.已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于( A.4 B.3 C.2 D.1

4.(2016 天津,6,5 分)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数 a 满足 f(2
|a-1|

)>f(- 2),则 a 的取值范围是(
1

)

A. -∞, 2 C.
1 3 2 2

B. -∞, 2 ∪ D.
3 2

1

3 2

,+∞

,

,+∞
5 2

5.函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f A.2 B.4 C.-4 D.-2
1 1 1 1

的值为(

)

6.(2016 山东,9,5 分)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时,f(x)=x -1;当-1≤x≤1 时,f(-x)=-f(x);当
3

x>2时, f + A.-2
1 2

1

=f B.-1

1 2

.则 f(6)=( C.0 D.2

)

7.(2016 四川,14,5 分)若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时,f(x)=4 ,则
x

f - 2 +f(2)=

5

. 2 + 3x(x ≥ 0), 为奇函数,则 f(g(-1))= ()( < 0) .

8.(2016 江西鹰潭余江一中月考)已知函数 f(x)=

1

9.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x,若 f(2-a )>f(a),则实数 a 的取值范围
2 2



.

- 2 + 2x,x > 0, 10.已知函数 f(x)= 0, = 0, 是奇函数. 2 + mx,x < 0 (1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围.

11.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π )的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出在(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间.

B组

提升题组
)
··

12.(2016 安徽江南十校联考)设 f(x)=x+sinx(x∈R),则下列说法错误的是( A.f(x)是奇函数 C.f(x)的值域为 R B.f(x)在 R 上单调递增 D.f(x)是周期函数

2

13.(2016 吉林长春模拟)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π )=f(x)+sinx.当 0≤x<π 时,f(x)=0,则 f
23 π 6 1

=( B. 2

)
3

A.2

C.0

D.-2
1 1+ 2

1

14.(2015 课标Ⅱ,12,5 分)设函数 f(x)=ln(1+|x|)( A.
1 3

,则使得 f(x)>f(2x-1)成立的 x 的取值范围是

) ,1
1 1 3 3

B. -∞, 3 ∪(1,+∞) D. -∞,1 3

1

C. - ,



1 3

,+∞

15.(2015 广东惠州六校联考)定义在 R 上的奇函数 f(x)和定义在{x|x≠0}上的偶函数 g(x)分别满足 2 -1(0 ≤ x < 1), g(x)=log2x(x>0),若存在实数 a,使得 f(a)=g(b)成立,则实数 b 的取值范围是 1 (x ≥ 1), ) B. -2,- 2 ∪ 2 ,2
1 2 1 1

f(x)= (

A.[-2,2] C. - ,0 ∪ 0,
2 1

D.(-∞,-2]∪[2,+∞)

16.(2016 安徽芜湖一中月考)设 f(x)是定义在实数 R 上的函数,若 y=f(x+1)是偶函数,且当 x≥1 时,f(x)= A.f C.f
2 3 3 2 1 2 3 2 2 3

-1,则 f
1 3 1 3

2 3

,f

3 2 2 3 1 3

,f >f >f

1 3 1 3 3 2

的大小关系是( >f >f
3 2 2 3

)

>f >f

>f >f

B.f D.f

17.设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=
1 2 3 2

+ 1,-1 ≤ < 0, 其中 a,b∈R.若 +2 ,0 ≤ x ≤ 1, +1

f

=f

,则 a+3b 的值为

.
2 +2x+ 2 +sin 2 +t

18.(2016 内蒙古包头九中期中)若关于 x 的函数 f(x)= M+N=4,则实数 t 的值为 .

(t>0)的最大值为 M,最小值为 N,且

19.已知函数 f(x)的定义域为 R,且满足 f(x+2)=-f(x). (1)求证:f(x)是周期函数;
3

(2)若 f(x)为奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)=2x,求在[0,2014]上使 f(x)=-2的所有 x 的个数.

1

1

4

答案全解全析 A 组 基础题组
1.D 对于 A,定义域不关于原点对称,则 y= x既不是奇函数又不是偶函数,故不符合要求;对于 B,y=e 既
x

不是奇函数又不是偶函数,故不符合要求;对于 C,y=cosx 是偶函数,故不符合要求;对于 D,令 y=f(x)=e -e .∵f(-x)=e -e =-(e -e )=-f(x),∴y=e -e 为奇函数,故选 D.
x -x -x x x -x x -x

2.C 对于 A,y=f(x)=-x 的定义域为{x|x≠0},满足 f(-x)=-f(x),是奇函数,但在定义域上不单调; 对于 B,y=f(x)=3 -3 的定义域为 R,满足 f(-x)=-f(x),是奇函数,但在定义域上是单调减函数;
-x x

1

对于 C,y=f(x)=x|x|的定义域为 R,满足 f(-x)=-f(x),是奇函数,是定义域 R 上的单调增函数,满足题意; 对于 D,y=f(x)=x -x 的定义域为 R,满足 f(-x)=-f(x),是奇函数,但在 R 上不是单调函数.故选 C.
3

3.B 由已知得 f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),则有 4.C ∵f(x)是偶函数且在(-∞,0)上单调递增,

-f(1) + g(1) = 2, 解得 g(1)=3. f(1) + g(1) = 4,

∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,且 f(- 2)=f( 2),∴原不等式可化为 f(2 |a-1|<2,解得2<a<2,故选 C.
1 1 3

|a-1|

)>f( 2).故有 2

|a-1|

< 2,即

5.A ∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=-f[(x+1)+1]=f(x),即函数 f(x)的周期为 2, ∴f
5 2

=f

1 2

+ 2 =f

1 2

=2×2× 1- 2 =2.
1 1

1

1

1

6.D 当 x>2时,由 f x + 2 =f x- 2 可得当 x>0 时,f(x)=f(x+1),所以 f(6)=f(1),又由题意知 f(1)=-f(-1),f(-1)=(-1) -1=-2,所以 f(6)=2,故选 D.
3

1

7. 答案 -2 解析 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0, 又∵f(x)的周期为 2, ∴f(2)=0,
5

又∵f - 2 =f - 2 =-f ∴f - 2 +f(2)=-2. 8. 答案 -28
5

5

1

1 2

=-42 =-2,

1

解析 ∵函数 f(x)=
2

x 2 + 3x(x ≥ 0), 为奇函数, g(x)(x < 0)
2

∴g(x)=-f(-x)=-(x -3x)=-x +3x, ∴g(-1)=-1-3=-4, ∴f(g(-1))=f(-4)=g(-4)=-16-12=-28. 9. 答案 (-2,1) 解析 ∵f(x)是奇函数,∴当 x<0 时,f(x)=-x +2x.作出函数 f(x)的大致图象如图中实线所示,结合图象
2

可知 f(x)是 R 上的增函数,所以由 f(2-a )>f(a),得 2-a >a,解得-2<a<1.
2 2

10. 解析 (1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(x)=x +mx,f(-x)=-(-x) +2(-x)=-x -2x.
2 2 2

又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 即-x -2x=-x -mx,所以 m=2.
2 2

(2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增, 结合 f(x)的图象知 a-2 > -1, a-2 ≤ 1,

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]. 11. 解析 (1)由 f(x+2)=-f(x),得 f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, 所以 f(π )=f(π -4)=-f(4-π )=-(4-π )=π -4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x),
6

得 f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x), 故函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 又当 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点对称,则当-4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形 如图所示,设其面积为 S,则 S=4S△OAB=4×
1 2

× 2 × 1 =4.

(3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间为[4k+1,4k+3](k∈Z).

B 组 提升题组
12.D 因为 f(-x)=-x+sin(-x)=-(x+sinx)=-f(x),所以 f(x)为奇函数,故 A 正确;因为 f'(x)=1+cosx≥0, 所以函数 f(x)在 R 上单调递增,故 B 正确;因为 f(x)在 R 上单调递增,所以 f(x)的值域为 R,故 C 正确;f(x) 不是周期函数,故选 D. 13.A ∵f(x+2π )=f(x+π )+sin(x+π )=f(x)+sinx-sinx=f(x),∴f(x)的周期 T=2π , 又∵当 0≤x<π 时,f(x)=0,∴f ∴f - 6 + =f - 6 +sin - 6 =0, ∴f - 6 =2, ∴f
23 6 1 5 6

=0,

=f 4-

6

=f -

6

= .故选 A.
2 1

1

14.A 当 x>0 时,f(x)=ln(1+x)-1+x 2 , ∴f'(x)=1+x +(1+x 2 )2 >0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,由 f(x)>f(2x-1) 得 f(|x|)>f(|2x-1|), ∴|x|>|2x-1|,即 3x -4x+1<0,解得3<x<1,故选 A.
2

1

2x

1

7

15.B 当 x≥0 时,0≤f(x)≤1, ∵f(x)是奇函数, ∴f(x)的值域为[-1,1]. ∵存在实数 a,使得 f(a)=g(b)成立, 则-1≤g(b)=log2|b|≤1, 解得-2≤b≤-2或2≤b≤2,故选 B. 16.A ∵y=f(x+1)是偶函数, ∴f(-x+1)=f(x+1), 即函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称. ∴f
3 2 1 1

=f

1 2

+ 1 =f - + 1 =f
2 1 x 2

1

1 2

,

∵当 x≥1 时,f(x)=

-1,为减函数,

∴当 x≤1 时,函数 f(x)为增函数. ∵ < < <1,
3 2 3 1 3 2 3 1 1 2

∴f ∴f

<f >f

1 2 3 2

<f >f

2 3 1 3

, .

17. 答案 -10 解析 ∵T=2, ∴f ∵f f
3 2 1 3 2 1 2

=f =

1 2

=- a+1.
2 b+4 3

1

1 b+2 2 1 +1 2

=

,

=f

1 2

,
b+4 3

∴-2a+1=
3

,

∴2a+b=-1.① 又由题意知 f(1)=f(-1),
8



b+2 2

=-a+1,∴b=-2a.②

由①②解得 a=2,b=-4, ∴a+3b=-10. 18. 答案 2 解析 f(x)=
t 2 +2x+ 2 + x 2 +t

=t+

2x+ x 2 +t

,易知函数 y=

2x+ x 2 +t

是奇函数,

∵函数 f(x)的最大值为 M,最小值为 N, ∴M-t=-(N-t),则 2t=M+N=4,∴t=2. 19. 解析 (1)证明:∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. (2)当 0≤x≤1 时,f(x)=2x, 设-1≤x≤0,则 0≤-x≤1, ∴f(-x)=2(-x)=-2x. ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=- x,即 f(x)= x.
2 2 1 1 1 1 1

故 f(x)= x(-1≤x≤1).
2

1

另设 1<x<3,则-1<x-2<1, ∴f(x-2)=2(x-2). ∵f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(x-2)=f(x+2)=-f(x), ∴-f(x)=2(x-2), 即 f(x)=-2(x-2)(1<x<3).
1 1 1 1

∴f(x)=

2

x,-1 ≤ x ≤ 1,
1

- 2 (x-2),1 < x < 3.
9

令 f(x)=-2(x∈[-1,3)),解得 x=-1. ∵f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴使 f(x)=-2的所有 x=4n-1(n∈Z). 令 0≤4n-1≤2014(n∈Z),则 ≤n≤
4 1 2015 4 1

1

(n∈Z).

∴1≤n≤503(n∈Z), ∴在[0,2014]上共有 503 个 x 使 f(x)=-2.
1

10


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