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2019秋高中数学第二章基本初等函数2.2.1对数与对数运算(第2课时)对数的运算性质课件新人教A版必修1_图文

数学
必修① ·人教A版

第二章
基本初等函数(Ⅰ) 2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算 第二课时 对数的运算性质

1

自主预习学案

2

互动探究学案

3

课时作业学案

自主预习学案

? 已知对数log864,log264,log28,log464,log48. ? 对数log864的值与对数log264和log28的值有什么关系? ? 对数log864的值与对数log464和log48的值有什么关系? ? 由上面的问题你能得出什么结论?

1.对数的运算性质 条件 a>0,且a≠1,M>0,N>0 loga(MN)=_____l_o_g_aM__+__l_o_g_aN_______ 性质 logaMN=_____l_o_g_a_M_-__l_o_g_a_N______ logaMn=____n_l_o_g_aM______(n∈R)
[知识点拨] 一般情况下,当a>0,且a≠1,M>0,N>0时, loga(MN)≠logaM·logaN,loga(M+N)≠logaM+logaN,logaMN ≠llooggaaMN .

? 2.换底公式
logcb
? logab=_l_og_c_a____(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0).
[知识点拨] (1)可用换底公式证明以下结论:

①logab=

1 logba

;②logab·logbc·logca=1;③loganbn=logab;④loganbm=

m n

logab;⑤log1 b=-logab. a

(2)对换底公式的理解:

换底公式真神奇,换成新底可任意,

原底加底变分母,真数加底变分子.

1.若a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子中正确的个数是

①logax·logay=loga(x+y);②logax-logay=loga(x-y);

③logaxy=logax÷logay;④loga(xy)=logax·logay.

A.0

B.1

C.2

D.3

? [解析] 由对数运算法则知,均不正确.故选A.

(A )

2.(2019·北京丰台区高一期末测试)lg25+lg4+(19)-12 的值为

A.73

B.5

C.331

D.13

[解析] 原式=lg(25×4)+(3-2)-12 =lg100+3 =2+3=5.

(B )

? 3.log62+log63等于

? A.1

B.2

(A )

? C.5

D.6

? [解析] log62+log63=log6(2×3)=log66=1. ? 4.(2019·天津和平区高一期中测试)计算:log25·log32·log59=____2_.

[解析] 原式=llgg52·llgg23·llgg95 =llgg52·llgg23·2llgg53=2.

5.计算下列各式的值: (1)2lg5+lg4+eln2+log 22 2; (2)(log23+log89)(log34+log98+log32).
[解析] (1)原式=2lg5+2lg2+2+3=2(lg5+lg2)+5=7. (2)原式=(log23+lloogg2298)(log322+lloogg3389+log32) =(log23+23log23)(2log32+32log32+log32) =53log23×92log32=125.

互动探究学案

命题方向1 ?对数的运算性质

典例 1 用logax,logay,logaz表示:

(1)loga(xy2);(2)loga(x

3
y);(3)loga

x yz2.

[解析] (1)loga(xy2)=logax+logay2=logax+2logay. (2)loga(x y)=logax+loga y=logax+12logay.

3
(3)loga

yxz2=13logayxz2=13[logax-loga(yz2)]=13(logax-logay-2logaz).

? 『规律方法』 对对数式进行计算、化简时,一要注意准 确应用对数的性质和运算性质.二要注意取值范围对符号 的限制.

〔跟踪练习1〕

用logax、logay、logaz表示下列各式:

(1)loga(x3y5);

x (2)loga yz .

[解析] (1)loga(x3y5)=logax3+logay5=3logax+5logay.

(2)loga yzx=loga x-loga(yz)

=logax12 -(logay+logaz) =12logax-logay-logaz.

命题方向2 ?运用对数的运算性质化简求值
典例 2 计算下列各式的值: (1)(2019·湖南衡阳高一期末测试)log3 27+lg25-lg4; (2)(2019·江苏、苏州市高一期中测试)(lg5)2+lg2×lg50.
? [思路分析] 利用对数的运算性质进行计算.

2 [解析] (1)原式=log3332 +lg54 =32+lg110=32+lg10-1 =32-1=12. (2)原式=(lg5)2+lg2×lg(5×10) =(lg5)2+lg2×(1+lg5) =(lg5)2+lg2+lg2·lg5 =lg5(lg5+lg2)+lg2 =lg5+lg2=lg10=1.

? 『规律方法』 灵活运用对数运算法则进行对数运算,要注意法 则的正用和逆用.在化简变形的过程中,要善于观察、比较和分 析,从而选择快捷、有效的运算方案进行对数运算.

〔跟踪练习2〕

求下列各式的值:

(1)log318-log36;

(2)log 1 3+2log 1 2;

12

12

(3)log2 8+4 3+log2 8-4 3; lg3+2lg2-1
(4) lg1.2 .

[解析] (1)原式=log3168=log33=1.

(2)原式=log 1 12

3+log 1 12

4=log11212=-1.

(3)原式=log2[ 8+4 3× 8-4 3] =log2 82-?4 3?2

=log2 64-48=log24=2. (4)原式=lg3+lgl1g.24-1=llgg11..22=1.

命题方向3 ?换底公式的应用
典例 3 (1)计算log2215·log318·log519; (2)若log34·log48·log8m=log42,求m的值.
? [思路分析] (1)对数的底数不同,如何将其化为同底的对 数?
? (2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数,利用换 底公式很容易进行约分求解m的值.

[解析] (1)原式=llgg2215·llgg318·llgg195 =?-2lg5?l·g?2-·l3gl3g·2lg?5·?-2lg3?=-12. (2)由题意,得llgg43·llgg84·llggm8 =llggm3 =12,∴lgm=12lg3,即lgm=lg312, ∴m= 3.

『规律方法』 关于换底公式的用途和本质:

(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数,然后

查表求值,以此来解决对数求值的问题.

(2)换底公式的本质是化异底为同底,这是解决对数问题的基本方法.

(3)在运用换底公式时,若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论,

如logab=

1 logba

;logaan=n,logambn=

n m

logab;lg2+lg5=1等,将会达到事半功

倍的效果.

〔跟踪练习3〕 计算下列各式的值: (1)log89·log2732; (2)log927;
1 11 (3)log2125·log332·log53.

[解析] (1)log89·log2732=llgg98·llgg3227=llgg2332·llgg2353=23llgg32·53llgg23=190. (2)log927=lloogg33297=lloogg333332=32lloogg3333=32.
1 11 (3)log2125·log332·log53 =log25-3·log32-5·log53-1 =-3log25·(-5log32)·(-log53)=-15·llgg52·llgg23·llgg35 =-15.

因忽视对数的真数大于零而致误
? 典例 4 解方程lg(x+1)+lgx=lg6. ? [错解] ∵lg(x+1)+lgx=lg[x(x+1)]=lg(x2+x), ? ∴lg(x2+x)=lg6, ? ∴x2+x=6,解得x=2或x=-3.

[错因分析] 错解中,去掉对数符号后方程x2+x=6与原方程不等价,产生

了增根,其原因是在x2+x=6中x∈R,而在原方程中,应有

??x+1>0
?

,求解之后

??x>0

再验根即可.

? [正解] ∵lg(x+1)+lgx=lg[x(x+1)]=lg6,
? ∴x(x+1)=6,解得x=2或x=-3,经检验x=-3不符合 题意,∴x=2.

转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力

典例 6 (1)设3x=4y=36,求2x+1y的值;

(2)已知log23=a,3b=7,求log1256.

[思路分析]

(1)欲求

2 x



1 y

的值,已知3x=36,4y=36,由此两式怎样得到x,

y,容易想到对数的定义——故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决;

(2)已知条件中有指数式,也有对数式,而待计算式为对数式,因此可将指

数式3b=7化为对数式解决.观察所给数字特征、条件式中为2、3、7,又12=

3×22,56=7×23,故还可以利用换底公式的推论loganbm=

m n

logab,将条件中的对

数式log23=a化为指数式解答.

[解析] (1)由已知分别求出x和y, ∵3x=36,4y=36, ∴x=log336,y=log436, 由换底公式得:x=lloogg3366336=log1363,y=lloogg3366346=log1364, ∴1x=log363,1y=log364,∴2x+1y=2log363+log364=log36(32×4)=log3636=1.

(2)解法一:因为log23=a,所以2a=3.又3b=7,故7=(2a)b=2ab,故56=23+ ab,又12=3×4=2a×4=2a+2,
从而log1256=log2a+223+ab=3a++a2b. 解法二:因为log23=a,所以log32=1a.又3b=7,所以log37=b.从而 log1256=lloogg335162=lloogg3373+ +lloogg3384=log13+7+2lo3glo3g232=b1+ +32··1a1a=aab++23.

? 『规律方法』 1.应用换底公式应注意的事项 ? (1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用. ? (2)题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式统一成一种形式,
注意转化与化归思想的运用.
? 2.对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征,分析找到实现转化的共 同点进行转化.
? 3.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路: ? 思路一:用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数. ? 思路二:一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值.

1.lg 5+lg 20的值是 A.12 C.32 [解析] 原式=lg( 5× 20) =lg 100=lg10=1.

B.1 D.2

(B )

? 2.2log510+log50.25的值为 ? A.0 B.1

(C )

? C.2 D.4

? [解析] 原式=log5100+log50.25 ? =log5(100×0.25)=log525=log552=2.

3.

12log612-log6

1 2=__2____.

[解析] 原式=12log612-12log62 =12log6122=12log66=12.

4.计算下列各式的值:

lg (1)

27+lg8-3lg lg1.2

10;

(2)log535-2log573+log57-log51.8;

(3)2(lg 2)2+lg 2·lg5+ ?lg 2?2-lg2+1.

[解析]

lg?33?12 (1)原式=

+3lg×232-2 3lg1012=32?llgg33++22llgg22--11?=32.

lg 10


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