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专题十三 概率统计


专题十三 概率统计
1.(15 北京理科) A , B 两组各有 7 位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位: 天)记录如下:

A 组:10,11,12,13,14,15,16 B 组:12,13,15,16,17,14, a
假设所有病人的康复时间互相独立,从 A , B 两组随机各选 1 人, A 组选出的人记为 甲, B 组选出的人记为乙. (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率; (Ⅱ) 如果 a ? 25 ,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率; (Ⅲ) 当 a 为何值时, A , B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明) 【答案】 (1)

3 10 , ( 2) , (3) a ? 11 或 18 7 49

1

2.(15 北京文科)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教 师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有 320 人,则该样本的老年教师人数为( A.90 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意,总体中青年教师与老年教师比例为 人数 B. 100 C. 180 )

D.300

900 1800 1600
4300

1600 16 ? ;设样本中老年教师的 900 9

人数为 x,由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等,即

320 16 ? ,解得 x ? 180 . x 9
考点:分层抽样.

3. (15 北京文科) 某辆汽车每次加油都把油箱加满, 下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米)

2015 年 5 月 1 日 2015 年 5 月 15 日

12

35000 35600

48

注: “累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每 100 千米平均 耗油量为( A. 6 升 【答案】B 【解析】 试题分析:因为第一次邮箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量 ) B. 8 升 C. 10 升

D. 12 升

V ? 48 升. 而这段时间内行驶的里程数 S ? 35600 ? 35000 ? 600 千米. 所以这段时间内,
该车每 100 千米平均耗油量为 考点:平均耗油量.
2

48 ?100 ? 8 升,故选 B. 600

4.(15 北京文科)高三年级 267 位学生参加期末考试,某班 37 位学生的语文成绩,数学成 绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.

从这次考试成绩看, ①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是 【答案】乙、数学 【解析】 试题分析:①由图可知,甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后;而乙的语文成绩排名比总成 绩排名靠前,故填乙. ②由图可知, 比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多; 而总成绩的排名中比丙排名靠后的人 数比较少,所以丙的数学成绩的排名更靠前,故填数学. 考点:散点图. 5.(15 北京文科)某超市随机选取 1000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品 的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买, “×”表示未购买. 商 顾 客 品 人 数 √ × √ √ √ × × √ √ × × √ √ × √ √ × × √ √ × × × × 甲 乙 丙 丁 ; .

100 217 200
300
85

98

(Ⅰ)估计顾客同时购买乙和丙的概率;

3

(Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 中商品的概率; (Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大? 【答案】 (1)0.2; (2)0.3; (3)同时购买丙的可能性最大. 【解析】 试题分析:本题主要考查统计表、概率等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、 转化能力、计算能力.第一问,由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数 200,计算出概率; 第二问,先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 中商品的人数 100+200,再计 算概率;第三问,由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为 200,顾客同时购买甲和丙的 人数为 100+200+300,顾客同时购买甲和丁的人数为 100,分别计算出概率,再通过比较大 小得出结论. 试题解析: (Ⅰ) 从统计表可以看出, 在这 1000 位顾客中, 有 200 位顾客同时购买了乙和丙, 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为

200 ? 0.2 . 1000

(Ⅱ)从统计表可以看出,在在这 1000 位顾客中,有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁, 另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了 2 种商品.所以顾客在甲、乙、 丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为 (Ⅲ)与(Ⅰ)同理,可得:

100 ? 200 ? 0.3 . 1000

200 ? 0.2 , 1000 100 ? 200 ? 300 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 ? 0.6 , 1000 100 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 ? 0.1 , 1000
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大. 考点:统计表、概率. 6.(15 年广东理科)已知随机变量 ? 服从二项分布 ? ? n, p ? ,若 ? ? ? ? ? 30 ,D ? ?? ? 20 , 则p? 【答案】 .

1 . 3 1 1 ,故应填入 . 3 3

【解析】 依题可得 E ? X ? ? np ? 30 且 D ? X ? ? np ?1? p ? ? 20 ,解得 p ? 【考点定位】本题考查二项分布的性质,属于容易题. 7.(15 年广东理科)某工厂 36 名工人的年龄数据如下表。

4

工人编号 年龄 A.40 B.44 C.40 D.41 E.33 F.40 G.45 H.42 I.43

工人编号 年龄 J.36 K.31 L.38 M.39 N.43 O.45 P.39 Q.38 R.36

工人编号 年龄 S.27 T.43 U.41 V.37 W.34 X.42 Y.37 Z.44 AA.42

工人编号 年龄 BB.34 CC.39 DD.43 EE.38 FF.42 GG.53 HH.37 II.49 JJ.39

(1) 用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本, 且在第一分段里用随机抽样法抽到 的年龄数据为 44,列出样本的年龄数据; (2)计算(1)中样本的平均值 x 和方差 s ; ( 3 ) 36 名工人中年龄在 x ? s 与 x ? s 之间有多少人?所占的百分比是多少(精确到 0.01%)?
2 【答案】 (1) 44 , 40 , 36 , 43 , 36 , 37 , 44 , 43 , 37 ; (2) x ? 40 , s ?

2

100 ; (3) 9

23 ,约占 63.89% .

5

【考点定位】本题考查系统抽样、样本的均值与方差、样本数据统计等知识,属于中档题. 8.(15 年广东文科)已知 5 件产品中有 2 件次品,其余为合格品.现从这 5 件产品中任取 2 件,恰有一件次品的概率为( A. 0.4 【答案】B 【解析】 试题分析: 5 件产品中有 2 件次品,记为 a , b ,有 3 件合格品,记为 c , d , e ,从这 5 件 产品中任取 2 件, 有 10 种, 分别是 ? a, b ? ,? a, c ? ,? a, d ? ,? a, e ? ,? b, c ? ,? b, d ? ,? b, e ? , ) C. 0.8 D.1 B. 0.6

? c, d ? , ? c, e ? , ? d , e ? ,恰有一件次品,有 6 种,分别是 ? a, c ? , ? a, d ? , ? a, e ? , ? b, c ? ,
,则 ? ? ? ? ? ? b, d ? , ? b, e ? ,设事件 ? ? “恰有一件次品” 考点:古典概型. 9. (15 年广东文科) 已知样本数据 x1 , 则样本数据 2 x1 ? 1 , ??? ,xn 的均值 x ? 5 , x2 , 2 x2 ? 1 ,

6 ? 0.6 ,故选 B. 10

??? , 2 xn ? 1 的均值为
【答案】 11



考点:均值的性质. 10. ( 15 年广东文科)某城市 100 户居民的月平均用电量(单位:度) ,以 ?160,180 ? ,

?180, 200 ? , ? 200, 220 ? , ? 220, 240 ? , ? 240, 260 ? , ? 260, 280 ? , ? 280,300? 分组的频率
分布直方图如图 2 .

?1? 求直方图中 x 的值; ? 2 ? 求月平均用电量的众数和中位数;
6

? 3? 在月平均用电量为 ? 220, 240 ? , ? 240, 260 ? , ? 260, 280 ? , ? 280,300? 的四组用户中, 用分层抽样的方法抽取 11 户居民,则月平均用电量在 ? 220, 240 ? 的用户中应抽取多少户?
【答案】 (1) 0.0075 ; (2) 230 , 224 ; (3) 5 . 【解析】 试题解析: ( 1 ) 由 ? 0.002 ? 0.0095 ? 0.011 ? 0.0125 ? x ? 0.005 ? 0.0025? ? 20 ? 1 得 :

x ? 0.0075 ,所以直方图中 x 的值是 0.0075

考点:1、频率分布直方图;2、样本的数字特征(众数、中位数) ;3、分层抽样. 11.(15 年安徽理科)已知 2 件次品和 3 件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次 随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结果. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位:元) ,求 X 的分布列和均值(数学期望)

7

12.(15 年安徽文科)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职 工,根据这 50 名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示) ,其中样本数据分

? ? ,[80,90],[90,100] 组区间为 [40,50],[50,60],?
(1)求频率分布图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在 [40,60] 的受访职工中,随机抽取 2 人,求此 2 人评分都在 [40,50] 的概率.

【答案】 (1)0.006(2)

2 1 (3) 5 10
8

(Ⅲ)由频率分布直方图可知:在[40,50)内的人数为 0.004×40×50=2(人) 在[50,60)内的人数为 0.006×10×50=3(人) 设[40,50)内的两人分别为 a1 , a2 ;[50,60)内的三人为 A 1, A2 , A 3 ,则从[40,60)的受伤职工中 随机抽取 2 人,基本事件有( a1 , a2 ) , ( a1 , A1 ) , ( a1 , A2 ) , ( a1 , A3 ) , ( a2 , A1 ) , ( a2 , A2 ) , ( a2 , A3 ) , (A 1 , A2 ) , ( A1 , A3 ) ,

( A2 , A3 )共 10 种;其中 2 人评分都在[40,50)内的概率为 考点:1.频率分布直方图;2.古典概型.

1 . 10

13.(15 年福建理科)为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如下统计数据表: 收入 x (万元) 支出 y (万元) 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8

? ?a ? ? 0.76, a ? ,据此估计,该社区一 ? ? bx ? ,其中 b ? ? y ? bx 根据上表可得回归直线方程 y
户收入为 15 万元家庭年支出为( A.11.4 万元 B.11.8 万元 【答案】B )
]

C.12.0 万元

D.12.2 万元

9

考点:线性回归方程. 14. (15 年福建理科) 如图, 点 A 的坐标为 ?1,0 ? , 点 C 的坐标为 ? 2, 4 ? , 函数 f ? x ? ? x2 , 若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 .

【答案】 【解析】

5 12

试题分析:由已知得阴影部分面积为 4 ?

?

2

1

x 2 dx ? 4 ?

7 5 ? .所以此点取自阴影部分的概 3 3

5 5 率等于 3 ? . 4 12
考点:几何概型. 15.(15 年福建理科)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误,该银行 卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的 正确密码是他常用的 6 个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码 正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X,求 X 的分布列和数学期望. 【答案】(Ⅰ) 【解析】 试题分析:(Ⅰ)首先记事件“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A .则银行卡被锁死相
10

1 5 ;(Ⅱ)分布列见解析,期望为 . 2 2

3 当于三次尝试密码都错,基本事件总数为 A6 ? 6 ? 5 ? 4 ,事件 A 包含的基本事件数为 3 A5 ? 5 ? 4 ? 3,代入古典概型的概率计算公式求解;(Ⅱ)列出随机变量 X 的所有可能取值,

分别求取相应值的概率,写出分布列求期望即可. 试题解析: (Ⅰ)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A, 则 P (A) = 创

5 4 3 1 = 6 5 4 2

(Ⅱ)依题意得,X 所有可能的取值是 1,2,3 又 P(X=1) =

1 5 1 , P(X=2) = ? 6 6 5

1 5 4 2 , P(X=3) = 创 1= . 6 6 5 3

所以 X 的分布列为

所以 E(X) = 1?

1 1 2 2? 3? 6 6 3

5 . 2

考点:1、古典概型;2、离散型随机变量的分布列和期望. 16.(15 年福建文科)如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为 (1, 0) .且 点 C 与点 D 在函数

? x ? 1, x ? 0 ? f ( x) ? ? 1 的图像上.若在矩形 ABCD 内随机取一点,则该点取自阴影部 ? x ? 1, x ? 0 ? ? 2
分的概率等于( A. )

1 6

B.

1 4

C.

3 8

D.

1 2

11

y D F O C x B

A

【答案】B

考点:古典概型. 17.(15 年福建文科)某校高一年级有 900 名学生,其中女生 400 名,按男女比例用分层抽 样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本,则应抽取的男生人数为_______. 【答案】 25 【解析】 试题分析:由题意得抽样比例为 考点:分层抽样. 18.(15 年福建文科)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指 标.根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指 数的数据,对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.

45 1 1 ? ? 25 . ,故应抽取的男生人数为 500 ? 900 20 20

12

组号 1 2 3 4

分组

频数 2 8 7 3

[4,5)
[5, 6) [6, 7)
[7,8]

(Ⅰ)现从融合指数在 [4,5) 和 ?7,8? 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研, 求至少有 1 家的融合指数在 ?7,8? 的概率; (Ⅱ)根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数. 【答案】 (Ⅰ)

9 ; (Ⅱ) 6.05 . 10

解法一: (I) 融合指数在 ?7,8? 内的 “省级卫视新闻台” 记为 ?1 ,? 2 ,?3 ; 融合指数在 ? 4,5? 内的“省级卫视新闻台”记为 ?1 , ?2 .从融合指数在 ? 4,5? 和 ?7,8? 内的“省级卫视新闻 台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是: ??1 , ?2 ? , ??1 , ?3? , ??2 , ?3? , ??1 , ?1? ,

??1, ?2? , ??2 , ?1? , ??2 , ?2? , ??3 , ?1? , ??3 , ?2? , ??1, ?2? ,共10 个.
其中,至少有 1 家融合指数在 ?7,8? 内的基本事件是: ??1 , ?2 ? , ??1 , ?3? , ??2 , ?3? ,

??1, ?1? , ??1, ?2? , ??2 , ?1? , ??2 , ?2? , ??3 , ?1? , ??3 , ?2? ,共 9 个.
所以所求的概率 ? ?

9 . 10

( II ) 这 20 家 “ 省 级 卫 视 新 闻 台 ” 的 融 合 指 数 平 均 数 等 于

4.5 ?

2 8 7 3 ? 5.5 ? ? 6.5 ? ? 7.5 ? ? 6.05 . 20 20 20 20
13

解法二: (I) 融合指数在 ?7,8? 内的 “省级卫视新闻台” 记为 ?1 ,? 2 ,?3 ; 融合指数在 ? 4,5? 内的“省级卫视新闻台”记为 ?1 , ?2 .从融合指数在 ? 4,5? 和 ?7,8? 内的“省级卫视新闻 台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是: ??1 , ?2 ? , ??1 , ?3? , ??2 , ?3? , ??1 , ?1? ,

??1, ?2? , ??2 , ?1? , ??2 , ?2? , ??3 , ?1? , ??3 , ?2? , ??1, ?2? ,共10 个.
其中,没有 1 家融合指数在 ?7,8? 内的基本事件是: ??1 , ?2 ? ,共 1 个. 所以所求的概率 ? ? 1 ? (II)同解法一. 考点:1、古典概型;2、平均值. 19, (15 年新课标 1 理科)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试。

1 9 ? . 10 10

已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同 学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312 【答案】A
2 【解析】根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为 C3 0.62 ? 0.4 ? 0.63 =0.648,

故选 A. 20.(15 年新课标 2 理科)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位: 万吨)柱形图。以下结论不正确的是( )

(A) 逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B) 2007 年我国治理二氧化硫排放显现 (C) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D 【解析】由柱形图得,从 2006 年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年
14

份负相关. 21.(15 年新课标 2 理科)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机 调查了 20 个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ) 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图, 并通过茎叶图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可) ; (Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记时间 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”。 假设两地区用户的评 价结果相互独立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概 率

15

22.(15 年新课标 2 文科)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位: 万吨)柱形图,以下结论中不正确的是(
2700 2600 2500 2400 2300 2200 2100 2000 1900 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年



A.逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势
16

D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D

考点:柱形图 23.(15 年新课标 2 文科)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调 查了 40 个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率分布 直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表. A 地区用户满意度评分的频率分布直方图

(I)在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意 度评分的平均值及分散程度.(不要求计算出具体值,给出结论即可)

B 地区用户满意度评分的频率分布直方图

17

(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由. 【答案】 (I)见试题解析(II)A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.

18

考点:1.频率分布直方图;2.概率估计. 24.(15 年陕西理科)某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师,其性别比例 如图所示,则该校女教师 的人数为( ) A . 167 B . 137 C . 123 D.93

【答案】B
19

考点:扇形图. 25.(15 年陕西理科)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 ? , ? 只与道路畅通状况 有关, 对其容量为 100 的样本进行统计,结果如下:

? (分钟)
频数(次)

25 20

30 30

35 40

40 10

(I)求 ? 的分布列与数学期望 ?? ; (II)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个 50 分钟的讲座,结束后立即返回老校 区,求刘教授从 离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率. 【答案】 (I)分布列见解析, 32 ; (II) 0.91 . 【解析】 试题分析: (I)先算出 ? 的频率分布,进而可得 ? 的分布列,再利用数学期望公式可得数 学期望 ?? ; (II) 先设事件 ? 表示 “刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟” ,再算出 ? 的概率. 试题解析: (I)由统计结果可得 T 的频率分步为

? (分钟)
频率 25 0.2

25 0.2 30 0.3

30 0.3 35 0.4

35 0.4 40 0.1

40 0.1

以频率估计概率得 T 的分布列为

? ?
从而

ET ? 25 ? 0.2 ? 30 ? 0.3 ? 35 ? 0.4 ? 40 ? 0.1 ? 32 (分钟)

(II)设 T1 , T2 分别表示往、返所需时间, T1 , T2 的取值相互独立,且与 T 的分布列相同.设事 件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟” ,由于讲座时间为 50 分钟,所以事件 A 对应于 “刘教授在途中的时间不超过 70 分钟”. 解法一: P(A) ? P(T1 ? T2 ? 70) ? P(T1 ? 25, T2 ? 45) ? P(T1 ? 30, T2 ? 40)

? P(T1 ? 35, T2 ? 35) ? P(T1 ? 40, T2 ? 30) ? 1? 0.2 ? 1? 0.3 ? 0.9 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.1 ? 0.91 .
解 法 二 :

P(

=

1

A

T+

2

)

+P( T1 > = 40, T2 = 40) T 1

P

= T

? 0.4 ? 0.1 ? 0.1? 0.4 ? 0.1? 0.1 ? 0.09
故 P(A) = 1 - P(A) = 0.91. 考点:1、离散型随机变量的分布列与数学期望;2、独立事件的概率.
20

26.(15 年陕西文科)某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师,其性别比例 如图所示,则该校女教师的人数为( A.93 B.123 C.137 D.167 )

70% 女





60% 男

(初中部)
【答案】 C 【解析】

(高中部)

试题分析:由图可知该校女教师的人数为 110 ? 70% ? 150 ? (1 ? 60%) ? 77 ? 60 ? 137 故答案选 C 考点:概率与统计. 27.(15 年陕西文科)随机抽取一个年份,对西安市该年 4 月份的天气情况进行统计,结果 如下: 日期 天气 1 晴 2 雨 3 阴 4 阴 5 阴 6 雨 7 阴 8 晴 9 晴 10 晴 11 阴 12 晴 13 晴 14 晴 15 晴

日期 天气

16 晴

17 阴

18 雨

19 阴

20 阴

21 晴

22 阴

23 晴

24 晴

25 晴

26 阴

27 晴

28 晴

29 晴

30 雨

(I)在 4 月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率; (II)西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会,估计运动会期间不下 雨的概率. 【答案】(I) 【解析】 试题分析:(I)在容量为 30 的样本中,从表格中得,不下雨的天数是 26,以频率估计概率, 4 月份任选一天,西安市不下雨的概率是

13 7 ; (II) . 8 15

26 13 ? . 30 15
21

(II)称相邻两个日期为“互邻日期对” (如 1 日与 2 日,2 日与 3 日等)这样在 4 月份中,前 一天为晴天的互邻日期对有 16 对, 其中后一天不下雨的有 14 个, 所以晴天的次日不下雨的 频率为

14 7 7 ? ,以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为 . 8 16 8

试题解析:(I)在容量为 30 的样本中,不下雨的天数是 26,以频率估计概率,4 月份任选一 天,西安市不下雨的概率是

13 . 15

(II)称相邻两个日期为“互邻日期对” (如 1 日与 2 日,2 日与 3 日等)这样在 4 月份中,前 一天为晴天的互邻日期对有 16 对, 其中后一天不下雨的有 14 个, 所以晴天的次日不下雨的 频率为

7 , 8 7 . 8

以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为 考点:概率与统计.

28.(15 年天津理科)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队 参加.现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名;乙协会的运动员 5 名,其中种子 选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (I)设 A 为事件 “选出的 4 人中恰有 2 名种子选手, 且这 2 名种子选手来自同一个协会” 求事件 A 发生的概率; (II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 【答案】(I)

6 ; 35

(II) 随机变量 X 的分布列为

X P
E?X ? ?
【解析】

1

2

3

4

1 14

3 7

3 7

1 14

5 2

试题分析:(I)由古典概型计算公式直接计算即可; (II)先写出随机变量 X 的所有可能值, 求出其相应的概率,即可求概率分布列及期望. 试题解析:(I)由已知,有
2 2 2 2 C2 C3 ? C3 C3 6 P( A) ? ? 4 C8 35

所以事件 A 发生的概率为

6 . 35

(II)随机变量 X 的所有可能取值为 1, 2, 3, 4
22

P?X ? k? ?
所以随机变量 X 的分布列为

k 4?k C5 C3 (k ? 1,2,3,4) C84

X P

1

2

3

4

3 1 7 14 1 3 3 1 5 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 所以随机变量 X 的数学期望 E ? X ? ? 1 ? 14 7 7 14 2 3 7
考点:1.古典概型;2.互斥事件;3.离散型随机变量的分布列与数学期望. 29.(15 年天津文科)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18,先采用分层 抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员参加比赛. (I)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数; (II)将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 A 1 , A2 , A 3 , A4 , A 5, A 6 ,从这 6 名运动员中随 机抽取 2 名参加双打比赛. (i)用所给编号列出所有可能的结果; (ii)设 A 为事件“编号为 A5 , A6 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件 A 发生的概率. 【答案】 (I)3,1,2; (II) (i)见试题解析; (ii)

1 14

3 5

【解析】 试题分析: (I)由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分 别为 3,1,2; (II) (i)一一列举,共 15 种; (ii)符合条件的结果有 9 种,所以 P ? A ? ?

9 3 ? .. 15 5

试题解析: (I)应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为 3,1,2; (II) (i)从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛,所有可能的结果为 ? A 1, A 2? ,

? A1, A3? , ? A1, A4? , ? A1, A5? , ? A1, A6? , ? A2 , A3? , ? A2 , A4? , ? A2 , A5? , ? A2 , A6? , ? A3 , A4? ,

? A3 , A5? , ? A3 , A6? , ? A4 , A5? , ? A4 , A6? , ? A5 , A6? ,共 15 种.
( ii ) 编 号 为 A5 , A6 的 两 名 运 动 员 至 少 有 一 人 被 抽 到 的 结 果 为 ? A 1, A 5? , ? A 1, A 6? ,

? A2 , A5? , ? A2 , A6? , ? A3 , A5? , ? A3 , A6? , ? A4 , A5? , ? A4 , A6? , ? A5 , A6? ,共 9 种,所以事件 A 发
生的概率 P ? A ? ?

9 3 ? . 15 5

考点:分层抽样与概率计算. 30.(15 年湖南理科).在如图 2 所示的正方形中随机投掷 10000 个点,则落入阴影部分(曲 线 C 为正态分布 N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) A.2386 B.2718 C.3413 D.4772

23

【答案】C.

考点:正态分布. 31.(15 年湖南理科)在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如 图 4 所示. 若将运动员按成绩由好到差编为 1 ? 35 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人,则其中成绩在 区间[139,151]上的运动员人数是 .

【答案】 4 . 【解析】 试题分析:由茎叶图可知,在区间 [139,151 ] 的人数为 20 ,再由系统抽样的性质可知人数为

20 ?

7 ? 4 人. 35

考点:1.系统抽样;2.茎叶图. 32.(15 年山东理科)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N (0,3 ) ,从 中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 (附:若随机变量 ? 服从正态分布 N ( ? , ? ) ,则 P(? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 68.26% ,
2 2

P(? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) ? 95.44% .)
(A) 4.56% (B) 13.59% (C) 27.18% (D) 31.74%

24

解析: P(3 ? ? ? 6) ?

1 (95.44% ? 68.26%) ? 13.59% ,答案选(B) 2

33. (15 年山东理科)若 n 是一个三位正整数,且 n 的个位数字大于十位数字,十位数字大 于百位数字,则称 n 为“三位递增数” (如 137,359,567 等). 在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数,且 只能抽取一次,得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除,参 加者得 0 分;若能被 5 整除,但不能被 10 整除,得-1 分;若能被 10 整除,得 1 分. (Ⅰ)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数” ; (Ⅱ)若甲参加活动,求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX. 解: (Ⅰ)125,135,145,235,245,345; (Ⅱ)X 的所有取值为-1,0,1.

P( X ? 0) ?

3 2 1 1 2 C8 C4 C4 ? C4 ? C4 2 1 11 ? , P ( X ? ? 1) ? ? , P ( X ? 1) ? ? 3 3 3 C9 3 C9 14 C9 42

甲得分 X 的分布列为: X P 0 -1 1

2 3

1 14

11 42

2 1 11 4 EX ? 0 ? ? ? (?1) ? ? 1 ? 3 14 42 21
34.(15 年江苏)已知一组数据 4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________. 【答案】6

考点:平均数 35.(15 年江苏) 袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球, 从中一次随机摸出 2 只球,则这 2 只球颜色不同的概率为________.

5 【答案】 . 6

考点:古典概型概率

25


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