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上海市闵行区2016届高考数学一模试卷(文科)(解析版)


2016 年上海市闵行区高考数学一模试卷(文科)
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若复数 z 满足 2.若全集 U=R,函数 3.方程 4x﹣2x﹣6=0 的解为 4.函数 (i 为虚数单位),则|z| 的值域为集合 A,则?UA= . 的最小正周期 t= . . .

5.不等式

的解集是

. . 是基本单位向量,则△ ABC 的面积

6.已知圆锥的底面半径为 3,体积是 12π,则圆锥侧面积等于 7.已知△ ABC 中, 为 . , ,其中

8.在 2017 年的上海高考改革方案中,要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门学科中选择 3 门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门, 那么小明同学的选科方案有 9.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 种. ,则 = . .

10.若函数 f(x)=2|x﹣1|且 f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数 m 的最小值等于 11.若点 P、Q 均在椭圆 (a>1)上运动,F1、F2 是椭圆 Γ 的左、右焦点,则

的最大值为



12.已知函数 (c),则 a+b+c 的取值范围是

,若实数 a、b、c 互不相等,且满足 f(a)=f(b)=f .

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13.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依 据是:设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 (a,b,c,d∈N*),则 确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 π=3.14159…,若令 得 是 π 的更为精确的过剩近似值,即 . ,则数列{a2n﹣ 是 x 的更为精

,则第一次用“调日法”后

,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日

法”后可得 π 的近似分数为

14.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对任意 n∈N*,都有
1}的前

n 项和为



二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应 编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.若 a,b∈R,且 ab>0,则“a=b”是“ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既非充分又非必要条件 ) 等号成立”的( )

16.设 f(x)=2+5x+10x2+10x3+5x4+x5,则其反函数的解析式为( A. B. C. D.

17. B, C 的对边分别为 a, b, c, △ ABC 的内角 A, 满足 A. B. C. D.

, 则角 A 的范围是 (



18.函数 f(x)的定义域为[﹣1,1],图象如图 1 所示;函数 g(x)的定义域为[﹣1,2],图象如图 2 所示.A={x|f(g(x))=0},B={x|g(f(x))=0},则 A∩B 中元素的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

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三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AA1=AB=2,BC=1, 为棱 AA1 中点,证明异面直线 B1C1 与 CD 所成角为 ,并求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积. ,D

20.如图,点 A、B 分别是角 α、β 的终边与单位圆的交点, (1)若 , ,求 sin2β 的值;



(2)证明:cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

21. l2, 某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路 l1、 海岸边界 MPN 近似地看成一条曲线段. 为 开发旅游资源,需修建一条连接两条公路的直线型观光大道 AB,且直线 AB 与曲线 MPN 有且仅有 一个公共点 P(即直线与曲线相切),如图所示.若曲线段 MPN 是函数 图象的一段,点 M 到

l1、l2 的距离分别为 8 千米和 1 千米,点 N 到 l2 的距离为 10 千米,点 P 到 l2 的距离为 2 千米.以 l1、 l2 分别为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系 xOy. (1)求曲线段 MPN 的函数关系式,并指出其定义域; (2)求直线 AB 的方程,并求出公路 AB 的长度(结果精确到 1 米).

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22.已知椭圆 Γ 的中心在坐标原点,且经过点

,它的一个焦点与抛物线 E:y2=4x 的焦点

重合,斜率为 k 的直线 l 交抛物线 E 于 A、B 两点,交椭圆 Γ 于 C、D 两点. (1)求椭圆 Γ 的方程; (2)直线 l 经过点 F(1,0),设点 P(﹣1,k),且△ PAB 的面积为 ,求 k 的值; 成等差数

(3)若直线 l 过点 M(0,﹣1),设直线 OC,OD 的斜率分别为 k1,k2,且 列,求直线 l 的方程.

23.已知数列{an}的各项均为整数,其前 n 项和为 Sn.规定:若数列{an}满足前 r 项依次成公差为 1 的等差数列,从第 r﹣1 项起往后依次成公比为 2 的等比数列,则称数列{an}为“r 关联数列”. (1)若数列{an}为“6 关联数列”,求数列{an}的通项公式; (2)在(1)的条件下,求出 Sn,并证明:对任意 n∈N*,anSn≥a6S6; (3)若数列{an}为“6 关联数列”,当 n≥6 时,在 an 与 an+1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成一个 公差为 dn 的等差数列,求 dn,并探究在数列{dn}中是否存在三项 dm,dk,dp(其中 m,k,p 成等差 数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.

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2016 年上海市闵行区高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若复数 z 满足 【考点】复数求模. 【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数. 【分析】根据复数的四则运算先化简复数,然后计算复数的长度即可 【解答】解:∵ ∴﹣z= i+1, i, =2, , (i 为虚数单位),则|z| 2 .

∴z=﹣1﹣ ∴|z|=

故答案为:2. 【点评】本题主要考查复数的计算,要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式,比较 基础.

2.若全集 U=R,函数 【考点】补集及其运算. 【专题】计算题.

的值域为集合 A,则?UA= (﹣∞,0) .

【分析】求出函数的值域确定出 A,根据全集 U=R,找出 A 的补集即可. 【解答】解:函数 y=x ∵全集 U=R, ∴?UA=(﹣∞,0). 故答案为:(﹣∞,0) 【点评】此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键. ≥0,得到 A=[0,+∞),

3.方程 4x﹣2x﹣6=0 的解为

log23 .
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【考点】指数式与对数式的互化;二次函数的性质. 【专题】计算题. 【分析】由 4x﹣2x﹣6=0,得(2x)2﹣2x﹣6=0,由此能求出方程 4x﹣2x﹣6=0 的解. 【解答】解:由 4x﹣2x﹣6=0,得 (2x)2﹣2x﹣6=0, 解得 2x=3,或 2x=﹣2(舍去), ∴x=log23. 故答案为:log23. 【点评】本题考查指数方程的解法,解题时要认真审题,注意指数式和对数式的互化.

4.函数

的最小正周期 t= π .

【考点】二阶行列式的定义;三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 【专题】计算题;转化思想;综合法;三角函数的求值;矩阵和变换. 【分析】利用二阶行列式展开式法则和余弦函数二倍角公式求解. 【解答】解:函数 =cos(π﹣x)cosx﹣sin(π+x)sinx =﹣cos2x+sin2x =﹣cos2x, ∴函数 故答案为:π. 【点评】本题考查三角函数的最小正周期的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意二阶行列式 展开法则的合理运用. 的最小正周期 t= =π.

5.不等式

的解集是 (0,2) .

【考点】其他不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用.
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【分析】移项、通分,化为等价的不等式,即可求出分式不等式的解集. 【解答】解:∵ > , ∴ ﹣ >0, 通分得 即 >0, <0;

等价于 2x(x﹣2)<0, 解得 0<x<2. 故答案为:(0,2). 【点评】本题考查了分式不等式的解法与应用问题,解题时通常化为等价的不等式进行解答,是基 础题.

6.已知圆锥的底面半径为 3,体积是 12π,则圆锥侧面积等于 15π . 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台). 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】根据圆锥的体积计算出圆锥的高,以及圆锥的母线,进而求出圆锥的侧面积. 【解答】解:设圆锥的高为 h,底面半径为 r, ∵圆锥的底面半径为 3,体积是 12π, ∴ 即 h=4, ∴圆锥的母线长 l= ∴圆锥的侧面积 S=πrl=3×5π=15π, 故答案为:15π. 【点评】本题主要考查圆锥的体积和侧面积的计算,要求熟练掌握圆锥的体积和侧面积公式. , ,

7.已知△ ABC 中, . 【考点】三角形的面积公式.



,其中

是基本单位向量,则△ ABC 的面积为

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【专题】转化思想;综合法;解三角形. 【分析】根据平面向量的数量积以及坐标运算,求出向量的模长,判断三角形是直角三角形,求出 面积即可. 【解答】解:根据题意,得: ∴ ∴ ∴| =
2

=(4,3),

=(﹣3,4),



=(﹣7,1),
2

=42+32=25, |2+| |2,

=(﹣3)2+42=25,

2

=(﹣7)2+12=50;

|2=|

△ ABC 是直角三角形,它的面积为 S= ×5×5= 故答案为: .



【点评】本题考查了平面向量的应用问题,解题时应根据平面向量的数量积以及坐标运算,进行解 答,是基础题.

8.在 2017 年的上海高考改革方案中,要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门学科中选择 3 门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门, 那么小明同学的选科方案有 10 种.

【考点】排列、组合的实际应用. 【专题】计算题;方程思想;综合法;排列组合. 【分析】分类讨论:选择两门理科学科,一门文科学科;选择三门理科学科,即可得出结论. 【解答】解:选择两门理科学科,一门文科学科,有 C32C31=9 种;选择三门理科学科,有 1 种, 故共有 10 种. 故答案为:10. 【点评】本题考查计数原理的应用,考查学生的计算能力,比较基础.

9.若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且 【考点】等差数列的前 n 项和.

,则

=

5 .

【专题】方程思想;极限思想;定义法;等差数列与等比数列. 【分析】设等差数列{an}的公差为 d,由已知可得 的表达式,求极限可得.

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【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d, 则由 可得 = +5,

解得 d=10,故

=

=

=5+





=

(5+

)=5

故答案为:5 【点评】本题考查等差数列的求和公式,涉及极限的运算,属基础题.

10.若函数 f(x)=2|x﹣1|且 f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数 m 的最小值等于 1 . 【考点】分段函数的应用;指数函数单调性的应用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】先将函数解析式化为分段函数的形式,进而求出函数的单调递增区间,结合已知可得答案. 【解答】解:函数 f(x)=2|x﹣1|= 则函数 f(x)的单调递增区间为[1,+∞), 若函数 f(x)=2|x﹣1|且 f(x)在[m,+∞)上单调递增, 则[m,+∞)?[1,+∞), 即 m≥1, 即实数 m 的最小值等于 1, 故答案为:1. 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,指数函数的图象和性质,复合函数的单调性,单调 性的性质,难度中档. ,

11.若点 P、Q 均在椭圆

(a>1)上运动,F1、F2 是椭圆 Γ 的左、右焦点,则

的最大值为 2a . 【考点】椭圆的简单性质.
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【专题】数形结合;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用向量的平行四边形法则可得: 的性质即可得出. 【解答】解:∵ ∴ ∴ 故答案为:2a. 【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程、向量的平行四边形法则与三角形法则,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题. = =2 , =2 ≤2a, =2 ,代入再利用向量的三角形法则、椭圆

的最大值为 2a,

12.已知函数

,若实数 a、b、c 互不相等,且满足 f(a)=f(b)=f

(c),则 a+b+c 的取值范围是 (8,10) . 【考点】分段函数的应用. 【专题】计算题;函数思想;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】作出 f(x)的函数图象,由三角函数的对称性可知 a+b=4,由交点个数可得 4<c<6. 【解答】解:作出 f(x)的函数图象如图:

∵f(a)=f(b)=f(c), 不妨设 a<b<c,根据余弦函数的对称性可得 a+b=4.且 4<c<6. ∴a+b+c=4+c.∴8<a+b+c<10. 故答案为(8,10).
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【点评】本题考查了分段函数的函数图象,三角函数的对称性,零点的个数判断,属于基础题.

13.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依 据是:设实数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 (a,b,c,d∈N*),则 确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 π=3.14159…,若令 得 是 π 的更为精确的过剩近似值,即 . 是 x 的更为精

,则第一次用“调日法”后

,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日

法”后可得 π 的近似分数为 【考点】归纳推理.

【专题】计算题;方程思想;综合法;推理和证明. 【分析】利用“调日法”进行计算,即可得出结论. 【解答】解:第二次用“调日法”后得 第三次用“调日法”后得 第四次用“调日法”后得 故答案为: 【点评】本题考查“调日法”,考查学生的计算能力,比较基础. 是 π 的更为精确的过剩近似值,即 <π< <π< , , <π< ;

是 π 的更为精确的过剩近似值,即 是 π 的更为精确的过剩近似值,即

14.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对任意 n∈N*,都有
1}的前

,则数列{a2n﹣

n 项和为



﹣3+2n



【考点】数列的求和. 【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】 a2k﹣1=S2k﹣1﹣S2k﹣3,变形为 ,由 a1=﹣a1+ +1﹣3,解得 a1= .当 n=2k﹣1≥3,k∈N*时, ﹣2= ,利用等比数列的通项公

式可得 a2k﹣1,再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出. 【解答】解:∵ ∴a1=﹣a1+ +1﹣3,解得 a1= .
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当 n=2k﹣1≥3,k∈N*时,a2k﹣1=S2k﹣1﹣S2k﹣3=﹣a2k﹣1+

+(2k﹣1)﹣3﹣

化为:2a2k﹣1=a2k﹣3﹣ 变形为 ∴数列{ ∴ ∴a2k﹣1= ﹣ ﹣2= +2. ﹣2=

+2. ,

﹣2}是等比数列,公比为 ,首项为﹣2. ,

∴数列{a2n﹣1}的前 n 项和=



+2n

=



﹣3+2n. ﹣ ﹣3+2n.

故答案为:

【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、递推关系,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应 编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.若 a,b∈R,且 ab>0,则“a=b”是“ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既非充分又非必要条件 等号成立”的( )

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】定义法;不等式的解法及应用;简易逻辑. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合基本的性质进行判断即可. 【解答】解:∵ab>0,∴ >0, 当 a=b,则 + =1+1=2,此时等号成立,

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+ ≥2 故“a=b”是“ 故选:A

=2,当且仅当 = ,即 a=b 时取等号, 等号成立”的充要条件,

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据基本不等式的性质是解决本题的关键.

16.设 f(x)=2+5x+10x2+10x3+5x4+x5,则其反函数的解析式为( A. B. C. D.



【考点】反函数. 【专题】定义法;函数的性质及应用;二项式定理. 【分析】根据二项式定理:(1+x)5=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5,原函数可写成 y=1+(1+x)5,再求 其反函数即可. 【解答】解:因为 y=f(x)=2+5x+10x2+10x3+5x4+x5 =1+[1+5x+10x2+10x3+5x4+x5]=1+(1+x)5, 即 y=1+(1+x)5,所以,1+x= 因此,x=﹣1+ , , ,x∈R, ,

再交换 x,y 得,y=﹣1+

所以,f(x)的反函数的解析式为 f﹣1(x)=﹣1+ 故答案为:C.

【点评】本题主要考查了反函数及其解法,涉及二项式定理的应用,根式的运算和函数定义域与值 域的确定,属于中档题.

17. B, C 的对边分别为 a, b, c, △ ABC 的内角 A, 满足 A. B. C. D.

, 则角 A 的范围是 (



【考点】余弦定理. 【专题】计算题;数形结合;分析法;解三角形.

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【分析】由已知可得(a﹣b+c)(a+b﹣c)≤bc,整理可得:b2+c2﹣a2≥bc,利用余弦定理可得 cosA= ≥ = ,利用余弦函数的图象和性质即可得解 A 的范围.

【解答】解:∵



又∵由于三角形两边之和大于第三边,可得 a+c﹣b>0,a+b﹣c>0,且 b,c>0, ∴(a﹣b+c)(a+b﹣c)≤bc,整理可得:b2+c2﹣a2≥bc, ∴cosA= ≥ = ,

∵A∈(0, 故选:B.

).

【点评】本题主要考查了余弦定理,余弦函数的图象和性质的综合应用,考查了计算能力和数形结 合能力,属于中档题.

18.函数 f(x)的定义域为[﹣1,1],图象如图 1 所示;函数 g(x)的定义域为[﹣1,2],图象如图 2 所示.A={x|f(g(x))=0},B={x|g(f(x))=0},则 A∩B 中元素的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【考点】函数的图象;交集及其运算. 【专题】数形结合;定义法;函数的性质及应用;集合. 【分析】结合图象,分别求出集合 A,B,再根据交集的定义求出 A∩B,问题得以解决. 【解答】解:由图象可知, 若 f(g(x))=0, 则 g(x)=0 或 g(x)=1, 由图 2 知,g(x)=0 时,x=0,或 x=2, g(x)=1 时,x=1 或 x=﹣1
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故 A={﹣1,0,1,2}, 若 g(f(x))=0, 由图 1 知,f(x)=0,或 f(x)=2(舍去), 当 f(x)=0 时,x=﹣1 或 0 或 1, 故 B={﹣1,0,1}, 所以 A∩B={﹣1,0,1}, 则 A∩B 中元素的个数为 3 个. 故选:C. 【点评】本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用,属于中档题.

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AA1=AB=2,BC=1, 为棱 AA1 中点,证明异面直线 B1C1 与 CD 所成角为 ,并求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积. ,D

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离. 【分析】在△ ABC 中使用正弦定理得出∠ACB=90°,即 AC⊥BC,又 AA1⊥平面 ABC 得 AA1⊥BC, 故 BC⊥平面 ACC1A1,于是 BC⊥CD,由 BC∥B1C1 得出 B1C1⊥CD,利用棱柱的体积公式求出棱 柱的体积. 【解答】证明:在△ ABC 中,由正弦定理得 ,即 ,

∴sin∠ACB=1,即

,∴BC⊥AC.

∵AA1⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,
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∴BC⊥AA1,又 AC?平面 ACC1A1,AA1?平面 ACC1A1,AA1∩AC=A, ∴BC⊥平面平面 ACC1A1,CD?平面 ACC1A1, ∴BC⊥CD,∵BC∥B1C1, ∴B1C1⊥CD, ∴异面直线 B1C1 与 CD 所成角为 ∵AB=2,BC=1,∠ACB= ∴AC= . = . , .

∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积 V=S△ ABC?AA1=

【点评】本题考查了线面垂直的判定,棱柱的结构特征,棱柱的体积计算,属于中档题.

20.如图,点 A、B 分别是角 α、β 的终边与单位圆的交点, (1)若 , ,求 sin2β 的值;



(2)证明:cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

【考点】两角和与差的余弦函数;任意角的三角函数的定义. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】(1)由条件利用二倍角公式,诱导公式,求得 sin2β 的值. (2)由条件利用两个向量的数量积公式、两个向量的数量积的定义,证得公式成立. 【解答】解:(1)由 ∵ ,∴cos( |=| ,可得 cos(2α﹣2β)=2cos2(α﹣β)﹣1=﹣ , ﹣2β)=﹣ ,∴sin2β= . |=1,且 与 的夹角为 α﹣β, =(cosα,sinα) , =(cosβ,sinβ) ,

(2) 由题意可得,|

=cosαcosβ+sinαsinβ=1×1×cos(α﹣β), ∴cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ 成立.
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【点评】本题主要考查二倍角公式,诱导公式的应用,两个向量的数量积的运算,属于中档题.

21. l2, 某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路 l1、 海岸边界 MPN 近似地看成一条曲线段. 为 开发旅游资源,需修建一条连接两条公路的直线型观光大道 AB,且直线 AB 与曲线 MPN 有且仅有 一个公共点 P(即直线与曲线相切),如图所示.若曲线段 MPN 是函数 图象的一段,点 M 到

l1、l2 的距离分别为 8 千米和 1 千米,点 N 到 l2 的距离为 10 千米,点 P 到 l2 的距离为 2 千米.以 l1、 l2 分别为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系 xOy. (1)求曲线段 MPN 的函数关系式,并指出其定义域; (2)求直线 AB 的方程,并求出公路 AB 的长度(结果精确到 1 米).

【考点】根据实际问题选择函数类型;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】应用题;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】(1)由题意得 M(1,8),则 a=8,故曲线段 MPN 的函数关系式为 (2)根据直线和曲线相切,利用判别式△ =0 进行求解即可. 【解答】解:(1)由题意得 M(1,8),则 a=8,故曲线段 MPN 的函数关系式为 又得 ,所以定义域为[1,10]. , ,可得其定义域;

(2)由(1)知 P(2,4),设直线方程为 y﹣4=k(x﹣2), 联立方程 ,得 kx2+2(2﹣k)x﹣8=0,

由判别式△ =0 得 4(2﹣k)2+32k=4(k+2)2=0,得 k=﹣2, 即直线 AB 的方程为 y=﹣2x+8, 当 x=0 时,y=8,当 y=0 时,x=4, 即 A(0,8),B(4,0), 则 AB= =4 ≈8944 米.

【点评】本题考查函数的应用问题,利用数学知识解决实际问题,考查学生分析解决问题的能力, 确定函数关系是关键.
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22.已知椭圆 Γ 的中心在坐标原点,且经过点

,它的一个焦点与抛物线 E:y2=4x 的焦点

重合,斜率为 k 的直线 l 交抛物线 E 于 A、B 两点,交椭圆 Γ 于 C、D 两点. (1)求椭圆 Γ 的方程; (2)直线 l 经过点 F(1,0),设点 P(﹣1,k),且△ PAB 的面积为 ,求 k 的值; 成等差数

(3)若直线 l 过点 M(0,﹣1),设直线 OC,OD 的斜率分别为 k1,k2,且 列,求直线 l 的方程. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1) 设椭圆方程为 =1 (a>b>0) , 由椭圆 Γ 的中心在坐标原点, 且经过点



它的一个焦点与抛物线 E:y2=4x 的焦点重合,列出方程组求出 a,b,由此能求出椭圆 Γ 的方程. (2)设直线 l:y=k(x﹣1),由 ,得 k2x2﹣2(k2+2)x+k2=0,由此利用根的判别

式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式,结合已知条件能求出 k 的值. (3)设直线 l:y=kx﹣1,代入椭圆,得(4k2+3)x2﹣8kx﹣8=0,由此利用 M(0,﹣1)在椭圆内 部, 得 l 与椭圆恒有两个交点, 根据韦达定理、 等差数列的性质, 结合已知条件能求出直线 l 的方程. 【解答】解:(1)设椭圆方程为 =1(a>b>0),

由题设



解得 a2=4,b2=3, ∴椭圆 Γ 的方程为 .

(2)设直线 l:y=k(x﹣1), 由 ,得 k2x2﹣2(k2+2)x+k2=0,

l 与抛物线 E 有两个交点,k≠0,
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△ =16(k2+1)>0, 则|AB|= ? = ,

P(﹣1,k)到 l 的距离 d=





, ,即 4k2=3k2+3,

∴ 解得 k= .

?

=4

(3)设直线 l:y=kx﹣1,由

,得(4k2+3)x2﹣8kx﹣8=0,M(0,﹣1)在椭圆内部,

∴l 与椭圆恒有两个交点, 设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 由 成等差数列, , ,

得 =

=

=

=

=

=

=



解得 k=

, .

∴直线 l 的方程为 y=

【点评】本题考查椭圆方程、直线斜率、直线方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意根 的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式,等差数列等知识点的合理运用.

23.已知数列{an}的各项均为整数,其前 n 项和为 Sn.规定:若数列{an}满足前 r 项依次成公差为 1 的等差数列,从第 r﹣1 项起往后依次成公比为 2 的等比数列,则称数列{an}为“r 关联数列”. (1)若数列{an}为“6 关联数列”,求数列{an}的通项公式; (2)在(1)的条件下,求出 Sn,并证明:对任意 n∈N*,anSn≥a6S6;
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(3)若数列{an}为“6 关联数列”,当 n≥6 时,在 an 与 an+1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成一个 公差为 dn 的等差数列,求 dn,并探究在数列{dn}中是否存在三项 dm,dk,dp(其中 m,k,p 成等差 数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由. 【考点】数列的应用;等比数列的通项公式. 【专题】综合题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】(1)若数列{an}为“6 关联数列”,{an}前 6 项为等差数列,从第 5 项起为等比数列,可得 a6=a1+5,a5=a1+4,且 =2,解得 a1,即可求数列{an}的通项公式.

(2)由(1)得

,可见数列{anSn}的最小项为 a6S6=﹣6,即可证明:对任

意 n∈N*,anSn≥a6S6. (3)由(1)知,当 n≥6 时, ,由此能求出 .假设在数列{dn}中存在 dm,dk,

dp(其中 m,k,p 成等差数列),则(dk)2=dmdp,推导出 k=m=p,这与题设矛盾.故在数列{dn} 中不存在三项 dm,dk,dp(其中 m,k,p 成等差数列)成等比数列. 【解答】解:(1)∵数列{an}为“6 关联数列”, ∴{an}前 6 项为等差数列,从第 5 项起为等比数列, ∴a6=a1+5,a5=a1+4,且 = =2,解得 a1=﹣3,





(2)由(1)得



{an}:﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,22,23,24,25,…, {Sn}:﹣3,﹣5,﹣6,﹣6,﹣5,﹣3,1,9,25,… {anSn}:9,10,6,0,﹣5,﹣6,4,72,400,…, 可见数列{anSn}的最小项为 a6S6=﹣6,

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证明:anSn=



列举法知当 n≤5 时,(anSn)min=a5S5=﹣5; 当 n≥6 时,anSn=2?(2n﹣5)2﹣7?2n﹣5,n≥6, 设 t=2n﹣5,则 anSn=2t2﹣7t=2(t﹣ )2﹣7t=2(t﹣ )2﹣ (3)由(1)知,当 n≥6 时, ∵an+1=an+(n+2﹣1)dn, 2n﹣4=2n﹣5+(n+1)dn,∴ . , ≥2?22﹣7?2=﹣6.

假设在数列{dn}中存在 dm,dk,dp(其中 m,k,p 成等差数列), 则(dk)2=dmdp, ∴( )2= , ,(*)

∵m,p,k 成等差数列,∴m+p=2k,(*)式可化简为(k+1)2=(m+1)(p+1), 即 k2=mp,∴k=m=p,这与题设矛盾. ∴在数列{dn}中不存在三项 dm,dk,dp(其中 m,k,p 成等差数列)成等比数列. 【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,考查满足条件的三项是否存在的判 断与求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.

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