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平面解析几何复习建议


《平面解析几何》复习建议
南昌一中 喻瑞明

一、五年高考回顾及分析
(2015 理科)5.已知 M(x0,y0)是双曲线 C:
x2 ? y 2 ? 1 上的一 2

点,F1、F2 是 C 上的两个焦点,若 MF1 ? MF2 <0,则 y0 的取值 范围是

3 3 (A) (, ) 3 3
(C) (?
2 2 2 2 , ) 3 3

3 3 (B) (, ) 6 6
(D ) (?
2 3 2 3 , ) 3 3

考查双曲线方程、向量、消元法

一、五年高考回顾及分析
(2015 理科) (14) 一个圆经过椭圆 顶点,且圆心在 x 轴上,则该圆的标准方程为 3 2 25 2 【答案】 ( x ? ) ? y ? 2 4
考查椭圆的几何性质、圆的方程、待定系数思想

的三个 。

一、五年高考回顾及分析

( 2015 理 科 ) ( 15 ) 若 x,y 满 足 约 束 条 件
y 则 的最大值为 x

.

【答案】3

考查线性规划、斜率、数形结合思想

一、五年高考回顾及分析
x2 【2015 理科】在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y= 与直 4
线 y ? kx ? a ( a >0)交与 M,N 两点, (Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (Ⅱ) y 轴上是否存在点 P, 使得当 k 变动时, 总有∠OPM= ∠OPN?说明理由. 【答案】 (Ⅰ) ax ? y ? a ? 0 或 ax ? y ? a ? 0 (Ⅱ) 存在

考查抛物线的切线;直线与抛物线位置关系;消元法; 探索新问题;运算求解能力

一、五年高考回顾及分析
? x ? y ? 1, (2014 理科)9.不等式组 ? 的解集记为 D,有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4

p1 : ?? x, y ? ? D, x ? 2 y ? ?2 ; p2 : ?? x, y ? ? D, x ? 2 y ? 2 ; p3 : ?? x, y ? ? D, x ? 2 y ? 3 ; , p4 : ?? x, y ? ? D, x ? 2 y ? ?1;其中的
真命题是( A. p2 , p3 ) B. p1 , p2 C.

p1 , p4

D. p1 , p3

考查不等式组表示平面区域、命题

一、五年高考回顾及分析
(2014 理科)10.已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上 一 点 , Q 是 直 线 PF 与 C 的 一 个 交 点 , 若 FP ? 4FQ , 则

QF ? (
7 A. 2

) B. 3

5 C. 2

D. 2

考查抛物线的定义、性质;数形结合思想

一、五年高考回顾及分析
x2 y 2 (2014l 理科)20. 已知点 A (0, -2) , 椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 a b
离心率为

3 2 3 , F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为 ,O 为 2 3

坐标原点. (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两 点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

x2 7 7 2 ? y ? 1; x?2 x?2或 y ? ? (1) (2) y ? 4 2 2

考查椭圆方程及几何性质;直线与椭圆;函数思想。

一、五年高考回顾及分析
(2013 理科)已知圆 M : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ,圆
N : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与 M 外切并且与圆 N 内切,圆

心 P 的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交 于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|.

x2 y 2 18 ? 1( x ? ?2) ;(Ⅱ)|AB|= 或|AB|= 2 3 . (Ⅰ) ? 4 3 7

考查椭圆的定义、求曲线方程、圆的公切线、直线与椭圆 相交弦长、数形结合思想。

一、五年高考回顾及分析
x2 y 2 (2012 理科) (4)设 F1F2 是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a b
3a 右焦点, P 为直线 x ? 上一点, ? F2 PF 1 是底角为 30 的等腰 2 三角形,则 E 的离心率为( ) 1 2 A. B。 2 3 ? ? C。 D。 ? ?
考查椭圆的几何性质、数形结合思想

一、五年高考回顾及分析
(2012 理科) (8)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴 上, C 与抛物线 y 2 ? 16x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为( A. 2 C。 ? B。 2 2 D。 ? )

考查双曲线、抛物线的几何性质;注意等轴双曲线

一、五年高考回顾及分析
(2012 理科)(14) 设 x, y 满足约束条件:

? x, y ? 0 ? ? x ? y ? ?1 ;则 z ? x ? 2 y 的取值范围为 ? x? y ?3 ?
[?3,3]

考查线性规划

一、五年高考回顾及分析
(2012 理科)设抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准 线 为 l ,A ? C ,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两
0 点; (1)若 ?BFD ? 90 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及

圆 F 的方程; (2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行, 且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m, n 距离的比值。

3p 3p (1) x ? ( y ? 1) ? 8 (2) : ?3 2 6
2 2

考查圆的方程、抛物线的切线、数形结合思想

一、五年高考回顾及分析
(2011 理科) (7)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 (A) 2 (B ) 3 (C)2 ( D) 3

?3 ? 2 x ? y ? 9, ( 13 )若变量 x, y 满足约束条件 ? 则 z ? x ? 2 y 的最小值 6 ? x ? y ? 9, ?
为 。

(14)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在

x 轴上,离心率为

2 。过 F1 的直线 交于 A, B 两点,且 ABF2 的周长为 2

16,那么 C 的方程为 (13)-6



x2 y 2 ?1 (14) ? 16 8

一、五年高考回顾及分析
(2011 理科)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 MB//OA, ,M 点的轨迹为曲线 C。 MA ? AB ? MB ?BA , (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线, 求 O 点到 l 距离的最小值。
1 2 (1)y= x -2.(2)2. 4
考查求曲线方程、抛物线 的切线、函数思想

一、五年高考回顾及分析

特点一:
题型题量稳定,连同线性规划在内,三个小题,一个大题, 总分27分(13理科少了线性规划题)。

一、五年高考回顾及分析

特点二:
有关解析几何的小题,其考查的重点在于基础知识:其中, 直线与圆、圆锥曲线等内容的试题都突出了对解析几何基 础知识的考查,如求直线方程,圆的方程,圆锥曲线的定 义、标准方程、几何性质等基础知识,五年试题覆盖了大 部分知识点,注重数形结合思想,一般难度不大,基础性 较强。 (椭圆、双曲线的第二定义没有考查)

特点三:
解答题多以椭圆、圆与椭圆组合、椭圆与抛物线的组合为 载体,侧重用“几何问题代数化”思想方法去解题,重视 各种数学思想方法的考查,重在考察综合运用所学知识, 分析问题,解决问题的能力,运算求解能力、推理论证能 力。计算量有所控制,难度和江西卷比较有所降低. 淡化技巧、方法,很少出比较复杂的用韦达定理的题型, 除2015年外,直线与圆锥曲线的题,只涉及到了弦长、 弦的中点。 重视在知识的交汇点上出题,经常出圆与椭圆、圆与抛物 线、椭圆与抛物线组合为载体的解答题,多次出抛物线切 线的题型,求范围最值等题型经常用到不等式等知识。 求曲线方程题型,经常出现在解答题第一问。

二.复习建议 (一)重视基础知识
考查热点:圆锥曲线的定义应用、几何性质、直线与圆的位 置关系等
容易忽视的知识点:标准方程、几何性质中的范围、离心率 的几何意义等。
1.过椭圆 4 x2 ? y 2 ? 1 的焦点 F 1 作直线交椭圆于 A、B 两点,F2 是此椭圆的另一焦点,则 ?ABF2 的周长为

4

.

3 8 (0, ) ? ( 。, ??) _________ 2 3

x2 y 2 ?1 ? ? ? 1 的离心率 e ? ? ,1? ,则实数 m 的取值范围是 2.椭圆 2 m ?2 ?

3.图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别 为 e1﹑e2﹑e3﹑e4 ,其大小关系为__________。

e1 ? e2 ? e4 ? e3

4.已知椭圆的一个顶点是 A(0,1) ,焦点在 x 轴上,且右焦点 到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离是 3。 (1)求椭圆的方程;(2)设 点 P 到椭圆上的点 M ? m,0? 的最大距离 d 表示为 m 的函数。 2
x ? y 2 ? 1; 解: (1) (2)设 M(x,y) 3

m? 3 2 ? ? PM ? ?2 y 2 ? 2my ? m2 ? 3 ? ?2 ? y ? ? ? m2 ? 3 , 2? 2 ?


2

?1 ? y ? 1 ? m ? 2 时,y=-1, PM max ? m ? 1
m ? ?2 时,y=1, PM max ? 1 ? m

?2 ? m ? 2 时, PM

max

3 2 ? m ?3 2

二.复习建议 (二)重视数学思想方法教学 1.坐标法:建立直角坐标系,将应用几何知识比较 难解决的问题,转化成利用坐标运算。
5.(12 江西理科 7 题)在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边

| PA | ? | PB | AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则 = 2 | PC |
2 2

A.2

B.4

C.5

D.10

二.复习建议 (二)重视数学思想方法教学

2.待定系数法:无论是求直线方程还是求圆锥曲线 方程,都要先设好方程,然后设了多少个系数,就 要到题目中寻找多少个条件来待定系数,至于如何 把这些条件翻译成等式,那就是技巧。

二.复习建议 (二)重视数学思想方法教学 3.函数与方程思想:解析几何中的参数范围或最 值问题,一直是高考的热门题型,主要有两条思 路,(1)根据圆锥曲线的有关性质,构造关于所 求参数的不等式或方程。具体有:根据方程有解 的性质构造不等式、根据方程根的分布构造不等 式、根据曲线的存在范围构造不等式、根据已知 参数的范围构造不等式(2)建立目标函数,在确 定其定义域的基础上,将问题转化为函数值域的 求解。

二.复习建议 (二)重视数学思想方法教学 4.数形结合思想:要求同学能熟练表示图中有关线 段,注意曲线定义的应用,注意有关性质的应用 (如渐近线的性质等)。

二.复习建议 (二)重视数学思想方法教学 5.消元法的应用:解答圆锥曲线综合题经常需要 设多个字母,要求同学分析清楚:哪些字母是已知 数(可以一直保留),哪些字母是起过渡作用的 (要用韦达定理等消元),哪些字母是要求范围的 (要一直保留),哪些字母是已知范围的(要最后 消掉)。

二.复习建议 (二)重视数学思想方法教学 6.运动的观点:解析几何中的轨迹问题、参数范 围最值问题、定值问题,都需要同学抓住整个题目 动的根源,根据运动根源设字母。

数形结合思想 与余弦定理结合 5 . 已 知 点 M (?1,0), N (1,0) , 动 点 P( x, y) 满 足 :

4 , (1)求 P 的轨迹 C 的方程; PM PN ? 1 ? cos ?MPN

(2)是否存在过点 N (1,0) 的直线 l 与曲线 C 相 交 于 A, B 两点,并且曲线 C 存在点 Q ,使四边形

OAQB 为平行四边形?若存在,求出直线 l 的方程;
若不存在,说明理由.
(2)设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) ,由题意知 l 的斜率一定不为 0, 故不妨设 l : x ? my ? 1,

待定系数思想

假设存在点 Q , 使得四边形 OAQB 为平行四边形, 其充要条 件为 OQ ? OA ? OB ,则点 Q 的坐标为 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 。由

( x1 ? x2 )2 ( y1 ? y2 ) 2 ? ? 1. 点 Q 在椭圆上,即 3 2
整理得 2x12 ? 3 y12 ? 2x22 ? 3 y22 ? 4x1x2 ? 6 y1 y2 ? 6.
又 A、B 在椭圆上,即 2x12 ? 3 y12 ? 6, 2x22 ? 3 y22 ? 6. 故 2x1 x2 ? 3 y1 y2 ? ?3

明确算法

代入椭圆方程整理得 (2m2 ? 3) y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,

数形结合思想、 消元思想、方 程整体代入

4m 4 , y1 y2 ? ? 显然 ? ? 0. 则 y1 ? y2 ? ? 2 2m ? 3 2m 2 ? 3

x2 y2 ? 1(a ? 10) 的 右 焦 点 F 在 圆 6. 已 知 椭 圆 C : 2 ? a 3

D : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 上,直线 l : x ? m y ? 3 (m ? 0) 交椭圆于

M 、 N 两点. x2 y 2 ? ?1 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 12 3

与圆结合、待定系 数、向量垂直算法
11 2

(Ⅱ)若 OM ? ON ( O 为坐标原点) ,求 m 的值; m ? ?

(Ⅲ)设点 N 关于 x 轴的对称点为 N1 ( N1 与点 M 不重合),且 直线 N1M 与 x 轴交于点 P , 试问 ?PMN 的面积是否存在最大 值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

x2 y2 ? 1(a ? 10) 的 右 焦 点 F 在 圆 6. 已 知 椭 圆 C : 2 ? a 3
l : x ? m y ? 3 ( m ? 0) 交椭圆于 上,直线 D : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 12 2 x y ? ?1 M 、 N 两点. 12 3 (Ⅲ)设点 N 关于 x 轴的对称点为 N1 ( N1 与点 M 不重合), 且
直线 N1M 与 x 轴交于点 P , 试问 ?PMN 的面积是否存在最大 值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

探索问题?怎么建立目标函数?动的根源?面 积怎么表示?

(3)因为 M ( x1 , y1 ), N1 ( x2 , ? y2 ) ,所以直线 MN 的方程为:

y ? y1 x ? x1 , ? ? y2 ? y1 x2 ? x1

令 y ? 0 ,得到 xP ? 所以 S△PMN ?

y1 ? x2 ? x1 ? 2my1 y2 ? 3( y1 ? y2 ) ? x1 ? ? 4, y1 ? y2 y1 ? y2

1 ? | FP | ? | y1 ? y2 | 2

消元法

1 1 36m2 12 2 ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 ? ? 2 ?2 3 2 2 2 2 (m ? 4) m ? 4
?2 3 1 9 (m 2 ? 1) ? 2 ?6 m ?1 ? 1,

?m

m2 ? 1
2

? 4?

2

与不等式综合

当且仅当 m ? ? 2 时,取等号,所以最大值为 1 。

二.复习建议 (三)重视提高学生的运算求解能力 1、讲解过程老师不能抄答案,要经常当堂演算。 2、要让同学明确算法:如求交点的算法、求直线 与圆相交的弦长的算法、三角形面积的算法、消元 常用技巧、向量问题处理方法、切线问题求解方法 等。

二.复习建议 (四)关注重要题型: 1.圆与椭圆、圆与抛物线、椭圆与抛物线组合体为 载体题型; 2.求曲线方程题型;

3.抛物线切线题型;
4.最值、范围问题题型: 5.注意圆锥曲线方程整体代入题型。

x2 y2 3 7.已知椭圆 C1: + 2=1(0<b<2)的离心率为 ,拋物线 C2: 4 b 2 x2=2py(p>0)的焦点是椭圆的顶点. (1)求拋物线 C2 的方程. (2)过点 M(-1,0)的直线 l 与拋物线 C2 交于 E,F 两点,过 E,F 作拋物线 C2 的切线 l1,l2,当 l1⊥l2 时,求直线 l 的方程.

椭圆与抛物线组合载体,抛物线的切线问题

解析: (1)∵椭圆 C1 的长半轴长 a=2, 半焦距 c= c 由 e=a= 4-b2 3 2 = 得 b =1, 2 2

4-b2,

∴椭圆 C1 的上顶点为(0,1), ∴拋物线 C2 的焦点为(0,1), ∴拋物线 C2 的方程为 x2=4y. (2)由已知可得直线 l 的斜率必存在,设直线 l 的方程为 y 1 =k(x+1),E(x1,y1),F(x2,y2).由 x2=4y 得 y=4x2,

1 ∴y′=2x.

用导数处理抛物线切线问题

1 1 ∴切线 l1,l2 的斜率分别为2x1,2x2. 1 1 当 l1⊥l2 时,2x1· 2x2=-1,即 x1x2=-4. ? ?y=k?x+1? 由? 2 ? ?x =4y 得 x2-4kx-4k=0,

∴Δ=(-4k)2-4×(-4k)>0,解得 k<-1 或 k>0.① 由 x1x2=-4k=-4,得 k=1,满足①式, ∴直线 l 的方程为 x-y+1=0.

8.在平面直角坐标系 xOy 中,F 是抛物线 C:x2=2py(p>0) 的焦点,M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点,过 M,F,O 三点的圆的圆心为 Q,点 Q 到抛物线 C 的准线的 3 距离为 . 4 (1)求抛物线 C 的方程. (2)是否存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

抛物线与圆组合载体,抛物线的切线问题

解析:

(1)依题意知

? p? ? F 0,2?,圆心 ? ?

Q 在线段 OF 的垂

p 直平分线 y=4上, p 因为抛物线 C 的准线方程为 y=-2, 3p 3 所以 4 =4,即 p=1. 因此抛物线 C 的方程为 x2=2y.

(2)假设存在点

? x2 0? M?x0, 2 ?(x0>0)满足条件,抛物线 ? ? ? ? x2 ? ? y′?x=x0=? 2 ?′?x=x0=x0, ? ? ? ?

C 在

点 M 处的切线斜率为

x2 0 所以直线 MQ 的方程为 y- 2 =x0(x-x0). 1 x0 1 令 y=4得 xQ= 2 +4x , 0 所以
?x0 1 1? Q? 2 +4x ,4?, ? ? 0

又|QM|=|OQ|,
2? ? 1 ? 1 x0?2 ?1 x0 x0?2 1 2 ? ? ? ? ? ? 故 4x - 2 + 4- 2 = 4x + 2 +16, ? ? ? ? ? ? 0 0

?1 x2 9 0?2 因此?4- 2 ? =16. ? ?

又 x0>0,所以 x0= 2,此时 M( 2,1). 故存在点 M( 2,1),使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于 点 M.

9.如图,F是椭圆的右焦点,以F为圆心的圆 过原点O和椭圆的右顶点,设P是椭圆上的 一个动点,P到椭圆两焦点距离之和等于4. (1)求椭圆和圆的标准方程; (2)设直线l的方程为x=4,PM⊥l,垂足为M, 是否存在点P,使得△FPM为等腰三角形? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明 理由.

圆与椭圆组合载体

解析:

(1)由已知可得 2a=4,且 a=2c,

故 a=2,c=1,b2=a2-c2=3. x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 4 + 3 =1, 圆的标准方程为(x-1)2+y2=1. (2)设 P(x,y),则 M(4,y),F(1,0),-2≤x≤2, x 2 y2 3 ∵P(x,y)在椭圆上,∴ 4 + 3 =1?y2=3-4x2.

3 2 1 |PF| =(x-1) +y =(x-1) +3-4x =4(x-4)2,
2 2 2 2

3 |PM|2=(x-4)2,|FM|2=32+y2=12-4x2. 1 3 2 2 ①若|PF|=|FM|,则4(x-4) =12-4x ?x=-2 或 x= 4(不符合),而 x=-2 时,P(-2,0),此时 P、F、M 三点共 线,也不符合.∴|PF|≠|FM|.

4 3 ∵|x|≤2,∴x=7.∴y=± 7 15,
?4 3 ? ∴P 7,± 7 ? ? 15?. ? ? 15? 3 15? ? ?4 ? , ,- ?7 ?使得△FPM 7 ? 7 ? ? ?

?4 3 综上可得,存在两点? ?7, ?

为等腰三角形.

9. 已 知 圆 C1 : x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 的 一 条 直 径 是 椭 圆

3 x2 y 2 C2 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴,过椭圆 C2 上一点 D (1, ) 的动直 2 a b 线 l 与圆 C1 相交于点 A, B ,弦 AB 长的最小值是 3 .
(Ⅰ)求圆 C1 和椭圆 C2 的方程; (Ⅱ)椭圆 C2 的右焦点为 F ,过点 F 作两条互相垂直的直线 m, n , 设直线 m 交圆 C1 于点 P, Q ,直线 n 与椭圆 C2 于点 M , N ,求四边形

PMQN 面积的取值范围.

圆与椭圆组合载体,最值范围问题

解: (Ⅰ)当 l 垂直于 OD 时 | AB | 最小,

9 13 13 3 2 因为 | OD |? 1 ? ? ,所以 r ? ?( ) ? 2, 4 2 4 2 因为圆 C1 : x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 的一条直径是椭圆 C2 的长轴,所以 a ? 2 , 9 x2 y 2 1 4 又点 D 在椭圆 C2 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上,所以 ? 2 ? 1 ? b ? 3 , a b 4 b
2 2 x y ? ? 1; 所以圆 C1 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 ,椭圆 C2 的方程为 4 3

(Ⅱ)椭圆 C2 的右焦点 F 的坐标是 (1, 0) , 当直线 m 垂直于 x 轴时, | PQ |? 2 3 , | MN |? 4 ,四边形 PMQN 的面积

S ?4 3,
当直线 m 垂直于 y 轴时,| PQ |? 4 ,| MN |? 3 , 四边形 PMQN 的面积 S ? 6 ,

当直线 m 不垂直于坐标轴时,设 n 的方程为 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) ,此时直 线 m 的方程为 y ? ?

1 ( x ? 1) , k

圆 心 O 到 直 线 m 的 距 离 为 : d?
2 2

1 k ?1
2

, 所 以

4k 2 ? 3 , | PQ |? 2 r ? d ? 2 2 k ?1 将 直 线 n 的 方 程 代 入 椭 圆 C2 的 方 程 得 到 :

? 4k

2

? 3? x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,
2

8k 2 2 4k 2 ? 12 | MN |? (1 ? k )[( 2 ) ? 4 ? 2 ], 4k ? 3 4k ? 3 所以:四边形 PMQN 的面积 1 64k 4 S ? | PQ | ? | MN |? ? 16k 2 ? 48 2 2 4k ? 3
?48k 2 ?1 ? ? 48 ? 4 3 ? 1 ? (6, 4 3) , 3 4k 2 ? 3 4? 2 k
综上:四边形 PMQN 的面积的取值范围是 [6, 4 3] .

x2 y 2 10.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左右顶点分别为 A(?2, 0), B(2, 0) , F1 , F2 a b
分 别 是 椭 圆 C 的 左 右 焦 点 , 点 P 是 椭 圆 C 上 异 于 A, B 的 动 点 ,

| PF1 | ? | PF2 | (1 ? cos ?F1PF2 ) ? 2 。
(1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 AP , BP 分别交直线 l : x ? 4 于点 M , N ,线段 MN 的中点为 E ,求直线

BP 与直线 BE 的斜率之积的取值范围。
7.(1)由 | PF 1 | ? | PF 2 | (1 ? cos ?F 1PF 2) ? 2

方程整体代入

| PF1 |2 ? | PF2 |2 ?4c 2 ? 2 ,从而 b2 ? 1 ,又 a 2 ? 4 , 得: | PF1 | ? | PF2 | ? 2

x2 y 2 ? ? 1; 所以椭圆方程为: 4 1

(2)设 P( x0 , y0 ) ,则直线 AP 的方程为 y ?

y0 6 y0 ( x ? 2) ,令 x ? 4 ,则得 M (4, ) ,直线 BP 的 x0 ? 2 x0 ? 2

方程为 y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) ,令 x ? 4 ,则得 N (4, ), x0 ? 2 x0 ? 2



6 y0 2 y0 4x ? 4 4x ? 4 1 ? x0 3 1 = 2 y0 ( ? ? ) ? 2 y0 ? 20 ? 2 y0 ? 0 2 ? 2 ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 x0 ? 2 x0 ? 2 ?4 y0 y0 1 ? x0 1 ? x0 ) ,∴ kBE ? y0 y0 y0 1 ? x0 1 ? x0 1 1 ? ? ?? ? x0 ? 2 2 y0 2 2( x0 ? 2) 2( x0 ? 2) 1 1 ?? x0 ? 2 4

∴ E (4,

故 k BP k BE ?



?2 ? x0 ? 2 ,∴ ?4 ? x0 ? 2 ? 0 ,
1 1 1 1 3 ? ?? ? ?? 2 2( x0 ? 2) 2 8 8
3 8

∴, ?

∴ k BP k BE ? ? , ∴直线 BP 与直线 BE 的斜率之积的取值范围为 (? , ??) 。

3 8

二.复习建议 (五)重视答题技巧指导 1.增强信心,平时练习适当降低解几题难度; 2.指导学生答题完整规范:如设直线的斜率就不能 忘记斜率不存在的情况、解方程时是否考虑判别 式大于0; 3.指导学生分步得分:圆锥曲线综合题对很大一部 分学生来说很难完整做好,但一般第一问都比较 容易,要求同学认真对待,第二问不能完整做好, 如何写出关键几步,得到一定分数。


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