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函数的奇偶性及周期性-高考理科数学试题

(六)
对点练(一) 函数的奇偶性

函数的奇偶性及周期性
[小题对点练——点点落实]

1.(2018· 肇庆模拟)在函数 y=xcos x,y=ex+x2,y=lg x2-2,y=xsin x 中,偶函数 的个数是( A.3 C.1 ) B.2 D.0

解析:选 B y=xcos x 是奇函数,y=lg x2-2和 y=xsin x 是偶函数,y=ex+x2 是非 奇非偶函数,所以偶函数的个数是 2,故选 B. 1-x 1? ? 1? 2.已知函数 f(x)=asin x+bln +t,若 f? ?2?+f?-2?=6,则实数 t=( 1+x A.-2 C.1 B.-1 D.3 )

1-x 1? ? 1? 解析:选 D 令 g(x)=asin x+bln ,则易知 g(x)为奇函数,所以 g? ?2?+g?-2?=0, 1+x 1? ? 1? ?1? ? 1? 则由 f(x)=g(x)+t,得 f? ?2?+f?-2?=g?2?+g?-2?+2t=2t=6,解得 t=3.故选 D. 3.若 f(x)和 g(x)都是定义在 R 上的函数,则“f(x)与 g(x)同是奇函数或同是偶函数”是 “f(x)· g(x)是偶函数”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 解析: 选 A 若函数 f(x)与 g(x)同是 R 上的奇函数或偶函数, 则 f(-x)· g(-x)=-f(x)· (- g(x))=f(x)· g(x)或 f(-x)· g(-x)=f(x)· g(x),即 f(x)· g(x)是偶函数,∴充分性成立;必要性不
?1,x≥0, ?x2,x≥0, ? ? 成立,如 f(x)=? 2 g(x)=? 满足 f(x)· g(x)是偶函数,但 f(x)与 g(x)都不 ?x ,x<0, ?1,x<0, ? ?

)

是奇函数或偶函数.故选 A. 4.(2018· 唐山统考)f(x)是 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x3+ln(1+x),则当 x<0 时, f(x)=( ) B.x3+ln(1-x) D.-x3+ln(1-x)

A.-x3-ln(1-x) C.x3-ln(1-x)

解析:选 C 当 x<0 时,-x>0,f(-x)=(-x)3+ln(1-x),∵f(x)是 R 上的奇函数,∴ 当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)3+ln(1-x)],∴f(x)=x3-ln(1-x).

对点练(二) 函数的周期性 1.(2018· 江南十校联考)设 f(x)=x+sin x(x∈R),则下列说法错误的是( A.f(x)是奇函数 C.f(x)的值域为 R B.f(x)在 R 上单调递增 D.f(x)是周期函数 )

解析:选 D 因为 f(-x)=-x+sin(-x)=-(x+sin x)=-f(x),所以 f(x)为奇函数, 故 A 正确;因为 f′(x)=1+cos x≥0,所以函数 f(x)在 R 上单调递增,故 B 正确;f(x)的值 域为 R,故 C 正确;f(x)不是周期函数,D 错误,故选 D. 2.函数 f(x)的周期为 4,且 x∈(-2,2],f(x)=2x-x2,则 f(2 018)+f(2 019)+f(2 020) 的值为________. 解析:由 f(x)=2x-x2,x∈(-2,2]知 f(-1)=-3,f(0)=0,f(2)=0,又 f(x)的周期为 4, 所以 f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)=f(2)+f(-1)+f(0)=0-3+0=-3. 答案:-3 3. 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+3)=-f(x), 当-3≤x<-1 时, f(x)=-(x+2)2, 当-1≤x<3 时,f(x)=x,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)=________. 解析:因为 f(x+3)=-f(x),所以 f(x+6)=f(x),即函数 f(x)是周期为 6 的周期函数, 当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3 时,f(x)=x,所以 f(-3)=-1,f(-2)=0, f(-1)=-1,f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2,所以 f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=-1 +0-1+0+1+2=1,所以 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)=336×[f(-3)+f(-2)+f(-1)+ f(0)+f(1)+f(2)]+f(2 017)=336+f(1)=336+1=337. 答案:337 对点练(三) 函数性质的综合问题 1.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,g(x)是 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),若 f(0)=2, 则 f(2 018)的值为( A.2 C.-2 ) B.0 D.± 2

解析:选 C ∵g(-x)=f(-x-1),∴-g(x)=f(x+1). 又 g(x)=f(x-1),∴f(x+1)=-f(x-1), ∴f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 则 f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(2 018)=f(2)=f(0+2)=-f(0)=-2. 2.(2018· 湖南联考)已知函数 f(x)是 R 上的奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,若 2π? ? 5π? ? 5π? a=f? ?sin 7 ?,b=f?cos 7 ?,c=f?tan 7 ?,则 a,b,c 的大小关系为( A.b<a<c B.c<b<a )

C.b<c<a

D.a<b<c

π 5π 3π 5π 5π 2π 5π 5π 2π 解析:选 B ∵ < < ,∴tan <-1<cos <0,又 sin >0,∴tan <cos <sin . 2 7 4 7 7 7 7 7 7 ∵函数 f(x)是 R 上的奇函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,∴函数 f(x)是 R 上的增函数, ∴c<b<a,故选 B. 3.(2018· 邢台摸底考试)已知定义在(-1,1)上的奇函数 f(x),其导函数为 f′(x)=1+cos x,如果 f(1-a)+f(1-a2)<0,则实数 a 的取值范围为( A.(0,1) C.(-2,- 2 ) B.(1, 2 ) D.(1, 2)∪(- 2,-1) )

解析:选 B 依题意得 f′(x)>0,则 f(x)是定义在(-1,1)上的增函数.不等式 f(1-a) -1<1-a <1, ? ? +f(1-a2)<0 等价于 f(1-a2)<-f(1-a)=f(a-1),则有?-1<a-1<1, ? ?1-a2<a-1. B. 4.(2018· 湖北武汉模拟)已知函数 f(x)是奇函数,且满足 f(2-x)=f(x)(x∈R),当 0<x≤1 时,f(x)=ln x+2,则函数 y=f(x)在区间(-2,4]上的零点个数是( A.7 C.9 B.8 D.10 )
2

解得 1<a< 2,选

解析:选 C 由函数 f(x)是奇函数且满足 f(2-x)=f(x)知,f(x)是周期为 4 的周期函数, 且关于直线 x=1+2k(k∈Z)成轴对称, 关于点(2k,0)(k∈Z)成中心对称. 当 0<x≤1 时, 令 f(x) 1 1 1 1 =ln x+2=0,得 x= 2,由此得 y=f(x)在区间(-2,4]上的零点分别为-2+ 2,- 2,0, 2, e e e e 1 1 1 2- 2,2,2+ 2,4- 2,4,共 9 个零点,故选 C. e e e 5.(2016· 四川高考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,当 0<x<1 时, 5? f(x)=4x,则 f? ?-2?+f(1)=________. 解析:∵f(x)为奇函数,周期为 2,∴f(1)=f(1-2)=f(-1)=-f(1),∴f(1)=0.∵f(x)= 5? ? 5 ? ? 1? 1 ?1? ? 5? 4x,x∈(0,1),∴f? ?-2?=f?-2+2?=f?-2?=-f?2?=-42=-2.∴f?-2?+f(1)=-2. 答案:-2 6. (2016· 天津高考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在区间(-∞, 0)上单调递增. 若 实数 a 满足 f(2|a
-1|

)>f(- 2),则 a 的取值范围是________.

解析:∵f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上单调递增, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(- 2)=f( 2),

∴f(2|a

-1|

)>f( 2),∴2|a

-1|

1 < 2=2 , 2

1 1 1 1 3 ∴|a-1|< ,即- <a-1< ,即 <a< . 2 2 2 2 2 1 3? 答案:? ?2,2? 7.(2018· 台州模拟)已知函数 g(x)是 R 上的奇函数,且当 x<0 时,g(x)=-ln(1-x),函
3 ? ?x ,x≤0, 数 f(x)=? 若 f(2-x2)>f(x),则实数 x 的取值范围是________. ?g?x?,x>0, ?

解析:设 x>0,则-x<0. ∵x<0 时,g(x)=-ln(1-x), ∴g(-x)=-ln(1+x). 又∵g(x)是奇函数, ∴g(x)=ln(1+x)(x>0),
3 ? ?x ,x≤0, ∴f(x)=? 其图象如图所示. ?ln?1+x?,x>0. ?

由图象知,函数 f(x)在 R 上是增函数. ∵f(2-x2)>f(x), ∴2-x2>x,即-2<x<1. 所以实数 x 的取值范围是(-2,1). 答案:(-2,1) [大题综合练——迁移贯通] 1.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(0)=0,当 x>0 时,f(x)=log 1 x.
2

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)解不等式 f(x2-1)>-2. 解:(1)当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=log 1 (-x).
2

因为函数 f(x)是偶函数, 所以 f(-x)=f(x). 所以函数 f(x)的解析式为

? f(x)=?0,x=0, ?log ?-x?,x<0.
log 1 x,x>0,
2 1 2

(2)因为 f(4)=log 1 4=-2,f(x)是偶函数,
2

所以不等式 f(x2-1)>-2 可化为 f(|x2-1|)>f(4). 又因为函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数, 所以|x2-1|<4,解得- 5<x< 5, 即不等式的解集为(- 5, 5). -x +2x,x>0, ? ? 2.(2018· 湖南长郡中学测试)已知函数 f(x)=?0,x=0, ? ?x2+mx,x<0 (1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合 f(x)的图象(如图所
?a-2>-1, ? 知? ? ?a-2≤1,
2

是奇函数.

示)

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]. 3. 函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0}, 且满足对任意 x1, x2∈D, 有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(x-1)<2, 且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围.

解:(1)∵对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),∴f(1)=0. (2)f(x)为偶函数. 证明:令 x1=x2=-1,有 f(1)=f(-1)+f(-1), 1 ∴f(-1)= f(1)=0. 2 令 x1=-1,x2=x, 有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x), ∴f(x)为偶函数. (3)依题设有 f(4×4)=f(4)+f(4)=2,

由(2)知,f(x)是偶函数, ∴f(x-1)<2?f(|x-1|)<f(16). 又 f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴0<|x-1|<16, 解得-15<x<17 且 x≠1. ∴x 的取值范围是(-15,1)∪(1,17).


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