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九年级数学--专题五:解直角三角形(三角函数)


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陈老师

初三秋季班
金牌数学专题系列

专题六: 三角函数
第一部分:知识点回顾

1、勾股定理:直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和等于斜边 c 的平方。 a 2 ? b 2 ? c 2 2、如下图,在 Rt△ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B): 定 正 弦 余 弦 正 切 余 切 义 表达式
sin A ? a c
b c

取值范围





sin A ?

?A的对边 斜边 ?A的邻边 斜边 ?A的对边 ?A的邻边

0 ? sin A ? 1
(∠A 为锐角)

sin A ? cos B cos A ? sin B
sin 2 A ? cos2 A ? 1
tan A ? cot B cot A ? tan B

cos A ?

cos A ?

0 ? cos A ? 1
(∠A 为锐角)

tan A ?

tan A ?

a b

tan A ? 0
(∠A 为锐角)

?A的邻边 cot A ? ?A的对边

b cot A ? a

cot A ? 0
(∠A 为锐角)

tan A ?

1 (倒数) cot A

tan A ? cot A ? 1
B 斜边 A

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

sin A ? cos B

由?A ? ?B ? 90? 得?B ? 90? ? ?A

cos A ? sin B

sin A ? cos(90? ? A) cos A ? sin(90? ? A)

c
b

a 边
C



4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的 余角的正切值。
tan A ? cot B cot A ? tan B

邻边

由?A ? ?B ? 90? 得?B ? 90? ? ?A

tan A ? cot( 90? ? A)
cot A ? tan(90? ? A)

5、

0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数
sin ?

0° 0 1 0

30°
1 2

45°
2 2 2 2

60°
3 2
1 2

90° 1 0 -

cos ?
tan ?

3 2
3 3

1

3

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cot ?
6、正弦、余弦的增减性: 3

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1
3 3

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0

当 0°≤ ? ≤90°时,sin ? 随 ? 的增大而增大,cos ? 随 ? 的增大而减小。 7、正切、余切的增减性: 当 0°< ? <90°时,tan ? 随 ? 的增大而增大,cot ? 随 ? 的增大而减小。 8、锐角三角函数的取值范围
b ? 0, c ? 0 ,a ? c , b ? c , 又 s i nA ? 在 Rt ?ABC 中 , ?C ? 90? , a ? 0 , 0 ? sin A ? 1, 0 ? cos A ? 1,tan A ? 0 .

a b a , cos A ? , tan A ? , 所 以 c c b

9、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。 依据:①边的关系: a 2 ? b 2 ? c 2 ;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。(注意:尽 量避免使用中间数据和除法) 10、应用举例: (1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。
视线 仰角 俯角 水平线

铅垂线

h l

i ? h:l
α

视线

(2)坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度(坡比)。用字母 i 表示,即 i ?

h 。坡度一般写成 1: m 的形式,如 l

i ? 1: 5 等。把坡面与水平面的夹角记作 ? (叫做坡角),那么 i ?

h ? tan ? 。 l

11、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图 3,OA、OB、OC、OD 的方向角分别 是:45°、135°、225°。

第二部分:例题讲解
例 1:已知在 △ ABC 中, ?A 、?B 是锐角,且 sin A ?
5 , tan B ? 2 ,AB ? 29cm ,则 S△ ABC ? 13



例 2: (2014?丽水 3 分)如图,河坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 之比) ,坝高 BC=3m,则坡面 AB 的长度是( )

(坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC

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A.9m

B.

6m

C. 6 3 m

D. 3 3 m ,∠A=30°.

例 3: (2014?柳州 8 分)如图,在△ABC 中,BD⊥AC,AB=6,AC=5 ①求 BD 和 AD 的长; ②求 tan∠C 的值.

例 4、 (2014?重庆 8 分)如图,△ABC 中,AD⊥BC,垂足是 D,若 BC=14,AD=12,tan∠BAD= ,求 sinC 的值.

例 5、计算下列各题: ⑴ 6 tan 2 300 ? 3 cos300 ? 2sin 450 ⑵已知 a ? sin 450 , b ? sin 600 求:

a 2 ? ab a 2 ? b2 ? ( a ? b ) ? a 2 ? 2ab ? b 2 b

例 6:⑴已知 ? 为锐角,且 2sin 2 ? ? 5cos ? ? 1 ? 0 ,求 ? 的度数.

⑵若 ? 为锐角,且 2cos2 ? ? 7sin ? ? 5 ? 0 ,求 ? 的度数.

例 7:⑴已知 sin ? ? cos ? ? 2 ( ? 为锐角) ,求作以

1 1 和 为两根的一元二次方程. sin ? cos ?

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⑵若方程 2 x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0 的一个根是 sin ? ,则它的另一个根必是 cos? 或 ? cos? .

例 8: 如图,在某海域内有三个港口 A 、D 、C .港口 C 在港口 A 北偏东 60 ? 方向上,港口 D 在港口 A 北偏西 60 ? 方向上.一艘船以每小时 25 海里的速度沿北偏东 30 ? 的方向驶离 A 港口 3 小时后到达 B 点位置处,此时发 现船舱漏水, 海水以每 5 分钟 4 吨的速度渗入船内. 当船舱渗入的海水总量超过 75 吨时,船将沉入海中.同 时在 B 处测得港口 C 在 B 处的南偏东 75 ? 方向上. 若船上的抽水机每小时可将 8 吨的海水排出船外, 问此船 在 B 处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠,才能保证船在抵达港口前不会沉没(要求计算结果 保留根号)?并指出此时船的航行方向.

例 9: 、如图,山脚下有一棵树 AB,小华从点 B 沿山坡向上走 50 米到达点 D,用高为 1.5 米的测角仪 CD 测得树 顶的仰角为 10°,已知山坡的坡角为 15°,求树 AB 的高. (精确到 0.1 米) (已知 sin10°≈0.17, cos10°≈0.98,tan10°≈0.18,sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27. )

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第三部分:基础练习
一:选择题 1、 Rt ?ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=3, cos B 的值为( A、 ) D、

1 5

B、

3 5

C、

4 3

3 4


2、已知∠A +∠B = 90°,且 cos A = A、

1 ,则 cos B 的值为( 5
C、

1 5

B、

4 5

2 6 5

D、

2 5


3、在菱形 ABCD 中,∠ABC=60° , AC=4,则 BD 的长是( A、

8 3

B、 4 3

C、 2 3

D、 8 )

4、在 Rt ?ABC 中,∠C=90° , tan A =3,AC=10,则 S△ABC 等于( A、 3 B、300 C、

50 3

D、150
2

5、一人乘雪橇沿坡度为1: 3 的斜坡滑下,滑下距离S(米)与时间 t(秒)之间的关系为S= 10t ? 2t ,若滑 动时间为 4 秒,则他下降的垂直高度为( A、 72 米 B、36 米 ) D、 18 3 米 )

C、 36 3 米

B C 中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a 、b 、c 三边,则下列式子一定成立的是( 6、在 Rt ?A
A、 a ? c ? sin B B、 a ? c ? cos B
?

C、 c ?

a tan B
) D、 ( )

D、 c ? a ? sin A

7、若∠A 为锐角, tan A ? tan32 ? 1,则∠A 等于(

1 ? ) 32 8、如果把 Rt ?ABC 的三边同时扩大 n 倍,则 sin A 的值(
A、 32
?

B、 58

?

C、 (

1 ? ) 58

A、不变

B、扩大 n 倍

C、缩小 n 倍

D、不确定

9、 ?ABC 中,∠C=90°,AC= 2 5 ,∠A 的角平分线交 BC 于 D,且 AD=

4 15 , 则 tan A 的值为( 3



A、

8 15 5

B、 3

C、

3 3

D、

1 3

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3 , tan B ?

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1 ,那么 AD 的长度为( 2


10、如图 ?ABC 中,A D 是 B C 边上的高,∠C=30°,BC= 2 ?

A、

1 2

B、1

C、

1 3 ? 2 2

D、 1 ?

3 3

二:填空题 11、如图 P 是 ?? 的边 OA 上一点,P 的坐标为(3,4),则 sin ? ? 12、等腰三角形的腰长为 10cm,顶角为 120 ,此三角形面积为
2
?

。 。

13、已知方程 x ? 7 x ? 12 ? 0 两根为直角三角形的两直角边 ,则其最小角的余弦值 为 。

14、如图甲、乙两楼之间的距离为 40 米,小华从甲楼顶测乙楼顶仰角为 ? =30,观测乙 楼的底部俯角为 ? =45,试用含 ? 、 ? 的三角函数式子表示乙楼的高 h ? 米。 。

15、在 Rt ?ABC 中,∠C=90° ,CD 是 AB 边上的中线,BC=8,CD=5,则 tan ?ACD ? 三:计算 16、 (1)计算 2 cos30? ? tan45? ? tan60? ? ( 2 ? 1) 0

(3) (? ? 2014) ? (sin 60 ) ? tan 30 ? 3 ? 3 8
? ? ?1 ?

(4)cos45°+3tan30°+cos30°+2sin60°-2tan45°

(5)

2 sin30 ? ? sin 2 45? ? tan 30 ? ? tan 60 ? cos 2 30 ? ? cos 2 60 ?

(6) cos2 45? ?

1 1 ? ? cos2 30? ? sin2 45? sin30? tan 30?

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(7)化简: 3 ? 12 ? (

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(8) tan 60 ? 4 tan 60 ? 4 ?
2 o o

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2 2 cos 45o tan 60o ? tan 45o

56 0 ) ? cos 2 30o ? 4sin 60o 2? 2

? 1 ? sin ? 1 ? sin ? 17、化简求值: ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? ?

?? 1 ? cos ? 1 ? cos ? ?? ?? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ??

? ? ? ?

( 0? ? ? ? 90? )

18、在 Rt ?ABC 中,∠C=90° ,且 sin A ?

1 ,AB=3,求 BC,AC 及 ? B . 2

四:解答题 19、欲拆除一电线杆 AB,已知电线杆 AB 距水平距离 14m 的 D 处有一大坝,背水坡 CD 的坡度 i ? 2 : 1 ,坝高 CF 为 2m,在坝顶 C 处测地杆顶的仰角为 30 ,D、E 之间是宽度位 2m 的人行道。试问:在拆除电线杆 AB 时, 为确保行人安全是否需要将此人行道封闭?请说明你的理由(在地面上以 B 为圆心,以 AB 为半径的图形区域 为危险区域, 3 ? 1.732 。 , 2 ? 1.414)
?

20.在△ABC 中,AB=AC,∠A=45°,AC 的垂直平分线分别交 AB,AC 于 D,E 两点,连接 CD。如果 AD=1, 求 tan∠BCD 的值。

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21.如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠A=45°,BD 为 AC 边上的中线,求 sin∠ABD 的值。

22. 如图,已知 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是斜边 AB 上的中线,过点 A 作 AE⊥CD,AE 分别与 CD、 CB 相交于点 H、E,AH=2CH. (1)求 sinB 的值; (2)如果 CD= 5 ,求 BE 的值.

23. 已知:如图,在 △ ABC 中,∠B=45°,∠C=60°,AB=6。求 BC 的长(结果保留根号) 。

第四部分:提升部分
1、在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c, (1)若 (sin A) ? sin A , (cos A) ? cos A ,根据三角函数的定义证明:
2 2 2 2

① sin A ? cos A ? 1 ;② tan B ?
2 2

sin B ; cos B

(2)根据上面的两个结论解答: ①若 sin A ? cos A ? 2 ,求 sin A ? cos A 的值;

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②若 tan B ? 2 ,求

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4 cos B ? sin B 的值。 2 cos B ? sin B

2、化简: 1 ? 2 sin ? ? cos? (其中 0°< ? <90°)

3、 如图所示, 甲楼在乙楼的西面, 它们的设计高度是若干层, 每层高均为 3m, 冬天太阳光与水平面的夹角为 30°. (1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为 6 层,且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上,那么建筑时两楼之间的距 离 BD 至少为多少米?(保留根号) (2)由于受空间的限制,甲楼和乙楼的距离 BD=21m,若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上,那么设 计甲楼时,最高应建几层?

4、已知:如图,在两面墙之间有一个底端在 A 点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在 B 点;当它靠在另 一侧墙上时,梯子的顶端在 D 点.已知∠BAC=60°,∠DAE=45°.点 D 到地面的垂直距离 DE ? 3 2m , 求点 B 到地面的垂直距离 BC.

5、已知:如图,在某旅游地一名游客由山脚 A 沿坡角为 30°的山坡 AB 行走 400m,到达一个景点 B,再由 B 地 沿山坡 BC 行走 320 米到达山顶 C,如果在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为 60°.求山高 CD(精确到 0.01 米).

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6、已知:如图,小明准备用如下方法测量路灯的高度:他走到路灯旁的一个地方,竖起一根 2m 长的竹竿,测得 竹竿影长为 1m,他沿着影子的方向,又向远处走出两根竹竿的长度,他又竖起竹竿,测得影长正好为 2m.问 路灯高度为多少米?

7、已知:如图,在一次越野比赛中,运动员从营地 A 出发,沿北偏东 60°方向走了 500 3m 到达 B 点,然后再 沿北偏西 30°方向走了 500m,到达目的地 C 点.求 (1)A、C 两地之间的距离; (2)确定目的地 C 在营地 A 的什么方向?

8、已知:如图,在 1998 年特大洪水时期,要加固全长为 10000m 的河堤.大堤高 5m,坝顶宽 4m,迎水坡和背水 坡都是坡度为 1∶1 的等腰梯形.现要将大堤加高 1m,背水坡坡度改为 1∶1.5.已知坝顶宽不变,求大坝横 截面面积增加了多少平方米,完成工程需多少立方米的土石?

10、某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示,看台有四级高度相等的小台阶,已知看台高为 1.6 米,现要做一 个不锈钢的扶手 AB 及两根与 FG 垂直且长为 l 米的不锈钢架杆 AD 和 BC(杆子的底端分别为 D,C),且∠ DAB=66.5°。 (1)求点 D 与点 C 的高度差 DH; (2)求所用不锈钢材料的总长度(即 AD+AB+BC,结果精确到 0.1 米)。 (参考数据:sin66.5°≈0.92,cos66.5°≈0.40,tan66.5°≈2.30)

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11、如图,在直角坐标系中放入一个边长 OC 为 9 的矩形纸片 ABCO,将纸片翻折后,点 B 恰好落在 x 轴上,记 为 B′,折痕为 CE,已知 tan∠OB′C= (1)求 B′点的坐标; (2)求折痕 CE 所在直线的解析式。

3 。 4

12、如图,小山顶上有一信号塔 AB,山坡 BC 的倾角为 30°,现为了测量塔高 AB,测量人员选择山脚 C 处为一 测量点, 测得塔顶仰角为 45°, 然后顺山坡向上行走 100 米到达 E 处, 再测得塔顶仰角为 60°, 求塔高 AB (结 果保留整数, 3 ? 1.732 , 2 ? 1.414)

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13、已知:在△ABC 中 AB=AC,点 D 为 BC 边的中点,点 F 是 AB 边上一点,点 E 在线段 DF 的延长线上, ∠BAE=∠BDF,点 M 在线段 DF 上,∠ABE=∠DBM. ⑴如图 1,当∠ABC=45°时,求证:AE= MD;

⑵如图 2,当∠ABC=60°时,则线段 AE、MD 之间的数量关系为:



⑶在(2)的条件下延长 BM 到 P,使 MP=BM,连接 CP,若 AB=7,AE=

,求 tan∠ACP 的值

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14、阅读材料: 关于三角函数还有如下的公式:

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值.

tan 45o ? tan 30o o o o ? 例: tan(15 ) ? tan(45 ? 30 ) ? 1 ? tan 45o ? tan 30o
根据以上阅读材料,请选择适当的公式解答下面问题, 计算⑴ sin15 的值;
o

3 3 ? 3? 3 ? 2? 3 3 3? 3 1 ? 1? 3 1?

⑵乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一(图),小华想用所学知识来测量该铁塔的高度,如图,小华站在离塔 底 A 距离 7 米的 C 处,测得塔顶的仰角为 75 ,小华的眼睛离地面的距离 DC 为 1.62 米,请帮助小华求出乌蒙铁塔 的高度.(精确到 0.1 米,参考数据 3 ? 1.732, 2 ? 1.414 ,)
o

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第五部分:中考题部分
1、 (2015〃湖南省衡阳市,第 12 题 3 分)如图,为了测得电视塔的高度 AB,在 D 处用高为 1 米的测角仪 CD,测 得电视塔顶端 A 的仰角为 30°,再向电视塔方向前进 100 米到达 F 处,又测得电视塔顶端 A 的仰角为 60°, 则这个电视塔的高度 AB(单位:米)为( A. 50 3 B.51 C. 50 3 ? 1 ) . D.101

2、 (2015?绵阳第 10 题,3 分)如图,要在宽为 22 米的九州大道两边安装路灯,路灯的灯臂 CD 长 2 米,且与灯柱 BC 成 120°角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线 DO 与灯臂 CD 垂直,当灯罩的轴线 DO 通过公路路面的中 心线时照明效果最佳,此时,路灯的灯柱 BC 高度应该设计为( A. (11﹣2 )米 B. (11 ﹣2 )米 C. (11﹣2 ) )米 D. (11 ﹣4)米

第1题

第2题

第3题
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1 BD,连接 AC, 2

3、 (2015?山东日照 ,第 10 题 4 分)如图,在直角△BAD 中,延长斜边 BD 到点 C,使 DC= 若 tanB=

5 ,则 tan∠CAD 的值( 3
B.



A.

3 3

3 5

C.

1 3

D.

1 5

4、 (2015?山东聊城,第 10 题 3 分)湖南路大桥于今年 5 月 1 日竣工,为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线.某校 数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度,在距桥塔 AB 底部 50 米的 C 处,测得桥塔顶部 A 的仰角为 41.5°(如图) .已知测量仪器 CD 的高度为 1 米,则桥塔 AB 的高度约为( )

A. 34 米

B. 38 米

C. 45 米

D. 50 米

5、 (2015 山东济宁,9,3 分)如图,斜面 AC 的坡度(CD 与 AD 的比)为 1:2,AC= 3 5 米,坡顶有一旗杆 BC, 旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带相连,若 AB=10 米,则旗杆 BC 的高度为( A.5 米 二.填空题 6、 (2015?绵阳第 18 题,3 分)如图,在等边△ABC 内有一点 D,AD=5,BD=6,CD=4,将△ABD 绕 A 点逆时针 旋转,使 AB 与 AC 重合,点 D 旋转至点 E,则∠CDE 的正切值为 . B.6 米 C. 8 米 D. (3 ? 5) 米 )

第5题

第6题

第7题

7、 (2015?广东广州,第 15 题 3 分) 如图, △ABC 中, DE 是 BC 的垂直平分线, DE 交 AC 于点 E, 连接 BE. 若 BE=9,

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BC=12,则 cosC= ;

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8、 (2015?四川省内江市,第 22 题,6 分)在△ABC 中,∠B=30°,AB=12,AC=6,则 BC=

9、 (2015?山东东营,第 14 题 3 分)4 月 26 日,2015 黄河口(东营)国际马拉松比赛拉开帷幕,中央电视台体育频 道用直升机航拍技术全程直播.如图,在直升机的镜头下,观测马拉松景观大道 A 处的俯角为 30°,B 处的 俯角为 45°.如果此时直升机镜头 C 处的高度 CD 为 200 米,点 A、D、B 在同一直线上,则 AB 两点的距离 是 米.
A B C

A C
图1 (第13题) 图2

D

(第

第9题

第 10 题

第 11 题

10、 (2015 湖南邵阳第 17 题 3 分) 如图, 某登山运动员从营地 A 沿坡角为 30°的斜坡 AB 到达山顶 B, 如果 AB=2000 米,则他实际上升了 米.

11、(2015?江苏南昌,第 13 题 3 分)如图 1 是小志同学书桌上的一个电子相框,将其侧面抽象为如图 2 所示的几何图 形 , 已 知 BC=BD=15cm, ∠ CBD=40°, 则 点 B 到 CD 的 距 离 为 com20°≈0.940, sin40°≈ 0.643, cm( 参 考 数 据 : sin20°≈ 0.342,

com40°≈ 0.766.精确到 0.1cm,可用科学计算器).

12、 (2015?浙江宁波,第 16 题 4 分)如图,在数学活动课中,小敏为了测量校园内旗杆 AB 的高度,站在教学楼 的 C 处测得旗杆底端 B 的俯角为 45°,测得旗杆顶端 A 的仰角为 30°,若旗杆与教学楼的距离为 9m,求旗 杆 AB 的高度(结果保留根号)

13、 (2015 山东菏泽,16,6 分) (1)如图,M、N 为山两侧的两个村庄,为了两村交通方便,根据国家的惠民政 策,政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量,必须计算 M、N 两点之间的直线距离,选择测量点 A、B、C,点 B、C 分别在 AM、AN 上,现测得 AM=1 千米、AN=1.8 千米,AB=54 米、BC=45 米、AC=30 米,求 M、N 两点之间的直线距离.

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14、 (2015 山东省德州市,16,4 分)如图,某建筑物 BC 上有一旗杆 AB,从与 BC 相距 38m 的 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角为 50°,观测旗杆底部 B 的仰角为 45°.则旗杆的高度为 sin50°≈0.77, cos50°≈0.64,tan50°≈1.19) 15、 (2015?山东临沂,第 22 题 7 分)小强从自己家的阳台上,看一栋楼顶部的仰角为 30°,看这栋楼底部的俯角为 60°,小强家与这栋楼的水平距离为 42m,这栋楼的高是 ; . (结果精确到 0.1m,参考数据:

第 14 题

第 15 题

第 16 题

16、 (2015 辽宁大连,15,3 分)如图,从一个建筑物的 A 处测得对面楼 BC 的顶部 B 的仰角为 32°,底部 C 的俯 角为 45°,观测点与楼的水平距离 AD 为 31cm,则楼 BC 的高度约为_______m(结果取整数) 。 (参考数据: sin32°≈0.5,cos32°≈0.8,tan32°≈0.6) 17、 (2015?四川广安,第 23 题 8 分)数学活动课上,老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆 AB 的高度,如图, 老师测得升旗台前斜坡 FC 的坡比为 iFC=1:10(即 EF:CE=1:10) ,学生小明站在离升旗台水平距离为 35m (即 CE=35m)处的 C 点,测得旗杆顶端 B 的仰角为 α,已知 tanα= ,升旗台高 AF=1m,小明身高 CD=1.6m, 请帮小明计算出旗杆 AB 的高度.

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18、 (2015?四川甘孜、阿坝,第 18 题 7 分)如图,某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆 AB 的高度,在 C 点 测得旗杆顶端 A 的仰角∠BCA=30°, 向前走了 20 米到达 D 点, 在 D 点测得旗杆顶端 A 的仰角∠BDA=60°, 求 旗杆 AB 的高度. (结果保留根号)

19、 (2015〃河南,第 20 题 9 分)如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度,他们在斜坡上 D 出测得大树顶端 B 的仰角是 48°. 若坡角∠FAE=30°,求大树的高度 . (结果保留整数,参考数据: sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11, 3 ≈1.73)

B

F D E
30° 48°

A 第 19 题

C

20、 (2015?四川泸州,第 22 题 8 分)如图,海中一小岛上有一个观测点 A,某天上午 9:00 观测到某渔船在观测点 A 的西南方向上的 B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行。当天上午 9:30 观测到该渔船在观测点 A 的北偏西 60° 方向上的 C 处。若该渔船的速度为每小时 30 海里,在此航行过程中,问该渔船从 B 处开始航行多少小时,离 观测点 A 的距离最近?(计算结果用根号表示,不取近似值)。
C 60° A



B

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第22题图

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21、 (2015?四川凉山州,第 20 题 8 分)如图,在楼房 AB 和塔 CD 之间有一棵树 EF,从楼顶 A 处经过树顶 E 点恰 好看到塔的底部 D 点, 且俯角 α 为 45°. 从距离楼底 B 点 1 米的 P 点处经过树顶 E 点恰好看到塔的顶部 C 点, 且仰角 β 为 30°.已知树高 EF=6 米,求塔 CD 的高度. (结果保留根号)

22、 (2015?四川成都,第 17 题 8 分)如图,登山缆车从点 A 出发,途经点 B 后到达终点 C.其中 AB 段与 BC 段的运 行路程均为 200m,且 AB 段的运行路线与水平面的夹角为 30°,BC 段的运行路线与水平面的夹角为 42°, 求缆车从点 A 运行到点 C 的垂直上升的距离.(参考数据:sin42°≈0.67 ,cos42°≈0.74 , tan42°≈0.90)
C

200m

B 200m A 30° D

42° E

23、 (2015?四川省宜宾市,第 21 题,8 分)如图,某市对位于笔直公路EAC 上两个小区 A、B 的供水路线进行优化 改造,供水站 M 在笔直公路 AD 上,测得供水站 M 在小区 A 的南偏东 60°方向,在小区 B 的西南方向,小区 A、B 之间的距离为 300( 3+1)米,求供水站 M 分别到小区 A、B 的距离。 (结果可保留根号)
A 60° B 45° M 东 C 北

D

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24、 (2015?浙江嘉兴,第 22 题 12 分)小红将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏 OB 与底板 OA 所在水平线的 夹角为 120°时,感觉最舒适(如图 1) ,侧面示意图为图 2;使用时为了散热,她在底板下面垫入散热架 ACO' 后,电脑转到 AO'B'位置(如图 3) ,侧面示意图为图 4.已知 OA=OB=24cm,O'C⊥OA 于点 C,O'C=12c (1)求∠CAO'的度数. (2)显示屏的顶部 B'比原来升高了多少? (3)如图 4,垫入散热架后,要使显示屏 O'B'与水平线的夹角仍保持 120°,则显示屏 O'B'应绕点 O' 按顺时针方向旋转多少度?

25、 (2015?四川资阳,第 20 题 8 分)北京时间 2015 年 04 月 25 日 14 时 11 分,尼泊尔发生 8.1 级强烈地震,我国积 极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作.如图 9,某探测队在地面 A、B 两处均探测出建筑物下方 C 处有生命 迹象,已知探测线与地面的夹角分别是 25°和 60°,且 AB=4 米,求该生命迹象所在位置 C 的深度. (结果 精确到 1 米.参考数据:sin25°≈0.4,cos25°≈0.9,tan25°≈0.5, 3 ≈1.7)

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