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高考必考知识点 (人教A版)文科数学 第六章 不等式、推理与证明

第六章 不等式、推理与证明(必修 5、选修 1-2)
专题一:解不等式与线性规划(必修 5) 1、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) 解集的步骤: 一化:化二次项的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. 2、高次不等式的解法:穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切) ,结合原式不等号的方向, 写出不等式的解集. 3、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

“ ( ? 或 ?” 时同理)

规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 4、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解 ⑴

? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a ? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?









规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解. 5、指数不等式的解法: ⑴当 a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x)

⑵当 0 ? a ? 1 时, a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) 规律:根据指数函数的性质转化. 6、对数不等式的解法
? f ( x) ? 0 ? ⑴当 a ? 1 时, log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

? f ( x) ? 0 ? ⑵当 0 ? a ? 1 时, log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?

规律:根据对数函数的性质转化. 7、含绝对值不等式的解法:

?a (a ? 0) ⑴定义法: a ? ? . ??a (a ? 0)
⑵平方法: f ( x) ? g ( x) ? f 2 ( x) ? g 2 ( x). ⑶同解变形法,其同解定理有: ① x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0); ② x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0); ③ f ( x) ? g( x) ? ?g( x) ? f ( x) ? g( x) ( g( x) ? 0) ④
f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或f ( x) ? ? g ( x) ( g ( x ) ? 0)

规律:关键是去掉绝对值的符号. 8、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集. 例如: x ? 3 ? 2x ?1 ? 2 9、含参数的不等式的解法 解形如 ax2 ? bx ? c ? 0 且含参数的不等式时, 要对参数进行分类讨论, 分类讨论的标准有: ⑴讨论 a 与 0 的大小; ⑵讨论 ? 与 0 的大小; ⑶讨论两根的大小. 10、恒成立问题 ⑴不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是: ①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;

?a ? 0 ②当 a ? 0 时 ? ? ?? ? 0.
⑵不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是: ①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0;

?a ? 0 ②当 a ? 0 时 ? ? ?? ? 0.
⑶ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;
f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;

⑷ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a;
f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a.

11、线性规划问题 ⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断: 取点定域法: 由于直线 Ax ? By ? C ? 0 的同一侧的所有点的坐标代入 Ax ? By ? C 后所得的实数的符号相 同.所以,在实际判断时,往往只需在直线某一侧任取一特殊点 ( x0 , y0 ) (如原点) ,由

Ax0 ? By0 ? C 的正负即可判断出 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线哪一侧的平面区域.
⑵二元一次不等式组所表示的平面区域: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数 z ? Ax ? By ( A, B 为常数)的最值: 法一:角点法: 如果目标函数 z ? Ax ? By ( x、 y 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标)的最值存在,则 这些最值都在该公共区域的边界角点处取得,将这些角点的坐标代入目标函数,得到一组 对应 z 值,最大的那个数为目标函数 z 的最大值,最小的那个数为目标函数 z 的最小值 法二:画——移——定——求: 第一步,在平面直角坐标系中画出可行域; 第二步, 作直线 l0 : Ax ? By ? 0 , 平移直线 l0(据可行域,将直线 l0 平行移动)确定最优解; 第三步,求出最优解 ( x, y ) ; 第四步,将最优解 ( x, y ) 代入目标函数 z ? Ax ? By 即可求出最大值或最小值 .

第二步中最优解的确定方法: 利用 z 的几何意义: y ? ?
A z z x ? , 为直线的纵截距. B B B

①若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处 z 取得最大值,使 直线的纵截距最小的角点处 z 取得最小值; ②若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处 z 取得最小值,使 直线的纵截距最小的角点处 z 取得最大值. ⑷常见的目标函数的类型: ①“截距”型: z ? Ax ? By;
y y ?b ; 或z ? x x?a

②“斜率”型: z ?

③“距离”型: z ? x 2 ? y 2 或 z ? x 2 ? y 2 ; z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 z ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 . 在求该“三型”的目标函数的最值时, 可结合线性规划与代数式的几何意义求解, 从而使问 题简单化. 专题二 不等式的证明 1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ②(传递性) a ? b, b ? c ? a ? c ③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c (同向可加性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d (异向可减性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d ④(可积性) a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc
a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc

⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (异向正数可除性) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a ? b
c d

⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? an ? bn (n ? N , 且n ? 1) ⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N , 且n ? 1) ⑧(倒数法则) a ? b ? 0 ? 2、几个重要不等式 ① a2 ? b2 ? 2ab ? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).
a 2 ? b2 . 变形公式: ab ? 2
1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b

②(基本不等式) 变形公式:

a?b ? ab 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取到等号).
?

a ? b? 2

ab

? a?b? ab ? ? ? . ? 2 ?
2

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”.

1 不满足相等条件时,注意应用函数 f ( x) ? x ? 图像性质 x
③(三个正数的算术—几何平均不等式) 时取到等号). ④ a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ? (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ⑤ a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0) (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).
b a ⑥ 若ab ? 0, 则 ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b a 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b b?m a?n a ?1? ? ⑦ ? a a?m b?n b a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 a ? b ? c 3

其中 (a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0) 规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小. ⑧ 当a ? 0时, ? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a; x

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a.
⑨绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b .

例如: f ( x) ? 2x ? 3 ? 2x ? 5 ? 3 ? 2x ? 2x ? 5 ? 3 ? 2x ? 2x ? 5 ? 8(最小值)

f ( x) ? x+2 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3 ? x ? x ? 2 ? 3 ? x ? 5(最大值)
3、几个著名不等式 ①平均不等式:

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b a 2 ? b2 ? 2 2

? a ? 0,b ? 0? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).

(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均). 变形公式:
2 2 ? a?b ? a ?b ab ? ? ? ; ? 2 ? 2 ? 2

a 2 ? b2 ?

( a ? b) 2 . 2

4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法) 、综合法、分析法; 专题三:推理与证明(选修 1-2)
知识结构 合情推理 推理 推 理 与 证 明 证明 间接证明 数学归纳法 演绎推理 比较法 直接证明 综合法 分析法 反证法 归纳推理 类比推理

1、归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出全部对象都具有这些特征称为归纳推理(简称归 纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 2、类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这 些特征的推理称为类比推理(简称类比) . 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、

类比,然后提出猜想的推理. 归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理. 简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式———“三段论”,包括 ⑴大前提-----已知的一般原理; ⑵小前提-----所研究的特殊情况; ⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断. 从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在前提 和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确. 5、直接证明与间接证明 ⑴综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导 出所要证明的结论成立. 要点:顺推证法;由因导果. ⑵分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论 归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止. 要点:逆推证法;执果索因. ⑶反证法: 一般地, 假设原命题不成立, 经过正确的推理, 最后得出矛盾, 因此说明假设错误, 从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤: (1)(反设)假设命题的结论不成立; (2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾为止; (3)(归谬)断言假设不成立; (4)(结论)肯定原命题的结论成立.


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