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2018-2019版高中数学人教A版必修五课件:2-3(二)等差数列的前n项和(二)_图文

§2.3 等差数列的前n项和(二) 学习目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n项和公式;了解等差数列的 一些性质(重点);2.掌握等差数列前n项和的最值问题(重、难点). 预习教材 P44-45 完成下列问题: 知识点一 等差数列前n项和及其最值 1.前 n 项和公式:Sn= n(n-1) na1+ d 2 d d 2 (a1-2)n =2n +____________. 2.等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中,当 a1>0,d<0 时,Sn 有 取到最值的 n ? ?an≥0, 可由不等式组? 确定; ? ?an+1≤0 最大 值 , 使 Sn 当 a1<0,d>0 时,Sn 有 ? ?an≤0, 组? 确定. ? a ≥ 0 ? n+1 最小 值, 使 Sn 取到最值的 n 可由不等式 d? d 2 ? (2)因为 Sn=2n +?a1-2?n,若 d≠0,则从二次函数的角度看:当 ? ? d>0 时,Sn 有 最小 值;当 d<0 时,Sn 有 最大 值; 且 n 取最接近 对称轴的自然数时,Sn 取到最值. 【预习评价】 1.在等差数列{an}中,若a1>0,d>0或a1<0,d<0时,Sn能否取得最值? 提示 当a1>0,d>0时,Sn的最小值为a1,无最大值;当a1<0,d<0时,Sn的最 大值为a1,无最小值. 2.若数列{an}的通项公式为an=2n-37,则当n为何值时Sn取得最小值? 提示 ∵an=2n-37,an+1-an=2>0, ∴{an}为递增数列.由an=2n-37≥0. 得n≥18.5. ∴a18<0,a19>0,∴S18最小, 即当n=18时,Sn取得最小值. 知识点二 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求和. 常见的拆项方法: 1 (1) = n(n+k) 1 ? 1? ?1 ? ; - ? k? ?n n+k? 1 (2) =1??? n+k- n??? ; n+k+ n k ? 1 1 1 ? 1 ? ? .. (3) = ? - (2n-1)(2n+1) 2?2n-1 2n+1? ? 【预习评价】 1 1 1 1 1.计算: + + +…+ =________. 3×5 5×7 7×9 13×15 1 1 1 1 解析 + + +…+ 3×5 5×7 7×9 13×15 1 1? 1 ?1 1 1 1 1 1 =2×?3-5+5-7+7-9+…+13-15? ? ? 1 ?1 1 ? 1 4 2 =2×?3-15?=2×15=15. ? ? 答案 2 15 2.数列{an}的通项公式 an= =________. ,其前 n 项和 Sn=9,则 n n+ n+1 1 解析 an= = n+1- n, n+ n+1 1 ∴Sn=( 2-1)+( 3- 2)+…+( n+1- n) = n+1-1=9,∴n=99. 答案 99 题型一 等差数列前n项和的最值问题 【例1】 在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,求Sn的最大值. 解 法一 ∵S9=S17,a1=25, 9(9-1) 17(17-1) ∴9×25+ d=17×25+ d, 2 2 解得 d=-2. n(n-1) 2 ∴Sn=25n+ × ( - 2) =- n +26n 2 =-(n-13)2+169. ∴当 n=13 时,Sn 有最大值 169. 法二 同法一,求出公差 d=-2. ∴an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. ∵a1=25>0, 1 ? n≤13 , ? ? a =- 2 n + 27 ≥ 0 , 2 ? n 由? 得? ? 1 ?an+1=-2(n+1)+27≤0, ? n≥122. ? 又∵n∈N*,∴当 n=13 时,Sn 有最大值 169. 法三 ∵S9=S17, ∴a10+a11+…+a17=0. 由等差数列的性质得 a13+a14=0. ∵a1>0,∴d<0,∴a13>0,a14<0. ∴当 n=13 时,Sn 有最大值 169. 法四 设 Sn=An2+Bn. ∵S9=S17, 9+17 ∴二次函数对称轴为 x= 2 =13,且开口方向向下, ∴当 n=13 时,Sn 取得最大值 169. 规律方法 1.求等差数列前n项和的最值的方法有:(1)运用配方法转化为二次函数, 借助二次函数的单调性以及数形结合的思想,从而使问题得解;(2)通项公式法,求 使an≥0(an≤0)成立时最大的n即可. 2.一般地,在等差数列{an}中,若 a1>0,且 Sp=Sq(p≠q),则①若 p+q p+q 为偶数,则当 n= 时,Sn 最大;②若 p+q 为奇数,则当 n 2 p+q-1 p+q+1 = 2 或 n= 2 时,Sn 最大. 【训练1】 已知等差数列{an}中,a1=9,a4+a7=0. (1)求数列{an}的通项公式; (2)当n为何值时,数列{an}的前n项和取得最大值? 解 (1)由 a1=9,a4+a7=0, 得 a1+3d+a1+6d=0,解得 d=-2, ∴an=a1+(n-1)· d=11-2n. (2)法一 a1=9,d=-2, n(n-1) 2 2 Sn=9n+ · ( - 2) =- n + 10 n =- ( n - 5) +25, 2 ∴当 n=5 时,Sn 取得最大值. 法二 由(1)知 a1=9,d=-2<0,∴{an}是递减数列. 11 令 an≥0,则 11-2n≥0,解得 n≤ 2 . ∵n∈N*,∴n≤5 时,an>0,n≥6 时,an<0. ∴当 n=5 时,Sn 取得最大值. 题型二 【例2】 等差数列求和的实际应用 某电站沿一条公路竖立电线杆,相邻两根电线杆的距离都是50 m,最远一 根电线杆距离电站1