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数学-涟水中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)试题


涟水中学 2014—2015 学年度第二学期高二期中测试 数 学 试 题

命题人:董守明

2015、5

注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页, 包含填空题(第 1 题~第 14 题)、 解答题(第 15 题~第 20 题)两部分。 本试卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将答题纸交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在试卷及答题纸上。 3.作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置,在其它位 置作答一律无效。 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。

参考公式:锥体体积公式为 V ?

1 Sh ,柱体体积公式为 V ? Sh ,其中 S 为底面积,h 为高 3

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1.已知集合 A ? ?? 2,?1,0,1?,集合 B ? ? x | ?1,1, 2,3? ,则 A ? B = ▲ .

1 2 x 的准线方程是 ▲ . 4 3?i 3. 已知复数 z ? ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的虚部为 2?i
2.抛物线 y ?
2 4.已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ?



. ▲ ▲ . .

1 ,则 f (?1) ? x

5.已知正三棱锥的底面边长为 6,侧棱长为 5,则此三棱锥的体积为 6.已知幂函数 y=f(x)的图像过点(2, 2 ),则 f(x)= 2 ▲ .

7.设 a∈R ,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y=0 与直线 l2 :x+(a+1)y+4=0 平行的 件.(填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充分必要” 、 “既不充分也不必要”) 8. 某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息:
2 2





①题目: “在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 x ? 2 y ? 1 的左顶点为 A ,过点 A 作两条 斜率之积为 2 的射线与椭圆交于 B , C ,??” ②解:设 AB 的斜率为 k ,??点 B(

1 ? 2k 2 2k 5 , ) , D(? ,0) ,?? 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 3
1

据此,请你写出直线 CD 的斜率为 ▲ . (用 k 表示) 9.已知 A(3,1),B(-1,2),若∠ACB 的平分线方程为 y=x+1,则 AC 所在的直线方程为 ▲ .

10.设 α ,β 为两个不重合的平面,m,n 是两条不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m?α ,n?α ,m∥β ,n∥β ,则 α ∥β ; ②若 n?α ,m?β ,α 与 β 相交且不垂直,则 n 与 m 不垂直; ③若 α ⊥β ,α ∩β =m,m⊥n,则 n⊥β ; ④若 m∥n,n⊥α ,α ∥β ,则 m⊥β . 其中真命题的序号是
2




2 2

x y 11.如图,已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点恰好是椭圆 2+ 2=1 a b (a>b>0)的右焦点 F,且两条曲线的交点连线也过焦点 F, 则该椭圆的离心率为 12. 已知 f ( x) ? ? ▲ . O

y F x

? (3a ? 1)x ? 4a ,x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 x ? a (a ? 0且a ? 1), x ? 1

▲ . 13.若实数 a,b,c 成等差数列,点 P(-1,0)在动直线 ax+by+c=0 上的射影为 M,点 N 坐 标为(3,3),则线段 MN 长度的最小值是 ▲ .
x

14. 已知函数 f(x)=x-1-(e-1)lnx, 其中 e 为自然对数的底, 则满足 f(e )<0 的 x 的取 值范围为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

g ( x2 ? 已 知 命 题 P: 函 数 y ? l o a

1 )定 义 域 上 单 调 递 增 ; 命 题 Q: 不 等 式 在

(a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对任意实数 x 恒成立,若 P、Q 都是真命题,求实数 a 的取
值范围.

2

16. (本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P‐ABCD 中,四边形 ABCD 为正方形,PA⊥平面 ABCD, E 为 PD 的中点.求证: (1)PB∥平面 AEC; P (2)平面 PCD⊥平面 PAD. E A B
(第 16 题图)

D C

17. (本小题满分 15 分) 2 2 已知圆 M 的方程为 x +(y-2) =1,直线 l 的方程为 x-2y=0,点 P 在直线 l 上,过 P 点作 圆 M 的切线 PA、PB,切点为 A、B. (1)若∠APB=60°,试求点 P 的坐标; (2)若点 P 的坐标为(2,1),过 P 作直线与圆 M 交于 C、D 两点,当 CD= 2时,求直线 CD 的方程; (3)经过 A、P、M 三点的圆是否经过异于点 M 的定点,若经过,请求出此定点的坐标;若 不经过,请说明理由.

18.(本小题满分 15 分) 现有一个以 OA、 OB 为半径的扇形池塘, 在 OA、 OB 上分别取点 C、 D, 作 DE∥OA、 CF∥OB 交弧 AB 于点 E、F,且 BD = AC,现用渔网沿着 DE、EO、OF、FC 将池塘分成如图所示 的三种的养殖区域.若 OA=1km, ?AOB ? π , ?EOF ? ? (0 ? ? ? π ) . 2 2 (1)求区域Ⅱ的总面积; (2)若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是 15 万元、20 万元、10 万元, 记年总收入为 y 万元. 试问当 ? 为多少时,年总收入最大? B D Ⅲ Ⅱ Ⅰ Ⅱ
3

E

F

Ⅲ C A

O ( 第 18 题 )

19. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy ,已知椭圆 E :

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 过点 1, 6 ,其左右焦点分 2 a 2 b2

?

?

别为 F1 , F2 ,离心率为 2 . 2 (1)求椭圆 E 的方程; (2)若 A , B 分别是椭圆 E 的左右顶点,动点 M 满足 MB ? AB ,且 MA 交椭圆 E 于点 P . ??? ? ???? ? ①求证: OP ? OM 为定值; ②设 PB 与以 PM 为直径的圆的另一交点为 Q ,问直线 MQ 是否过定点,并说明理由.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? ( x ? c) x ? c , a ? 0 , c ? 0 .

1 3 (1)当 a ? ? , c ? 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 4 4 a 1 (2)当 c ? ? 1 时,若 f ( x) ≥ 对 x ? (c, ??) 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2 4 (3)设函数 f ( x) 的图象在点 P ( x1 , f ( x1 )) 、 Q( x2 , f ( x2 )) 两处的切线分别为 l1 、 l2 .若
x1 ? ? a , x2 ? c ,且 l1 ? l2 ,求实数 c 的最小值. 2

4

涟水中学高二第二学期期中数学(选修历史)参考答案
一、填空题: 1. { -1,1 } 2. y=-1 8. 3. -1 4.-2. 5. 3 39 6. x
? 1 2

7.充分不必要条件 11. 2-1

3k 9. x-2y-1=0 10.④ 2k 2 ? 4 1 1 12. [ , ) 13. 5 - 2 14.(0,1) 6 3

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 15.解∵命题 P 函数

y ? log a (2 x ? 1) 在定义域上单调递增;

∴a>1??????????????????????????4 分 又∵命题 Q 不等式 (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对任意实数 x 恒成立; ∴ a ? 2 ???????????????????????????6 分
a?2?0 ? 或? , ???????????????10 分 2 ?? ? 4(a ? 2) ? 16(a ? 2) ? 0

即 ?2 ? a ? 2 ???????????????????????12 分 ∵P、Q 都是真命题, a ∴ 的取值范围是 1<a ? 2 ? ??????? ????????14 分 16.(1)证明:连结 BD 交 AC 于点 O ,连结 EO . P ? 四边形 ABCD 为正方形, O 为 BD AC 交点

? O 为 BD 中点,?????????????????2 分
又 E 为 PD 中点,

E A B
(第 16 题图)

? EO ? PB ,???????????????????4 分
又? EO ? 平面 AEC , PB ? 平面 AEC ,

D C

? PB ? 平面 AEC .????????????7 分

(2)证明:因为 PA ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ,所以 PA ? CD .???9 分 因为在正方形 ABCD 中 CD ? AD 且 PA ? AD ? A ,AD、PA 在平面 PAD 内 所以 CD ? 平面 PAD . ???????????????????????12 分 又因为 CD ? 平面 PCD ,所以平面 PCD ? 平面 PAD .?????????14 分

17.解:(1)设 P(2m,m), 由题可知 MP=2,所以(2m)2+(m-2)2=4, 4 解之得:m=0 或 m=5, 8 4 故所求点 P 的坐标为 P(0,0)或 P(5,5).??????????????????5 分
5

(2)设直线 CD 的方程为:y-1=k(x-2),易知 k 存在, 2 由题知圆心 M 到直线 CD 的距离为 2 , 2 |-2k-1| 所以 2 = ,( 7 分) 1+k2 1 解得,k=-1 或 k=-7, 故所求直线 CD 的方程为:x+y-3=0 或 x+7y-9=0.??????????10 分 m (3)设 P(2m,m),MP 的中点 Q(m, +1),因为 PA 是圆 M 的切线 2 所以经过 A、P、M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆, m m 故其方程为:(x-m)2+(y- -1)2=m2+( -1)2 2 2 化简得:x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0,此式是关于 m 的恒等式,
?x2+y2-2y=0, ?x=0 故? 解得? 或 ?2x+y-2=0 ?y=2

?x=5 ? 2. ?y=5
4

4 2 所以经过 A、P、M 三点的圆必过异于点 M 的定点(5,5).?????????15 分 18. 解:(1)因为 BD ? AC,OB ? OA ,所以 OD ? OC . 因为 ?EOF ?

π ,DE∥OA,CF∥OB, 2

所以 DE ? OB,CF ? OA . 又因为 OE ? OF ,所以 Rt ?ODE ≌ Rt ?OCF .

1 π 所以 ?DOE ? ?COF,?COF ? ( ? ? ) . 2 2 1 π 所以 OC ? OF ? cos ?COF ? cos[ ( ? ? )] . 2 2
所以 S?COF ? 1 ? OC ? OF ? sin ?COF ? 1 cos ? , 2 4

????????????2 分

1 π 所以 S区域II = cos? , (0 ? ? ? ) . 2 2

?????????????6 分

1 π 1 1 (2)因为 S区域I ? ? ,所以 S区域III ? S总 ? S区域I ? S区域II ? ? ? ? cos? . 2 4 2 2 1 1 π 1 1 所以 y ? 15 ? ? ? 20 ? cos? ? 10 ? ( ? ? ? cos? ) 2 2 4 2 2 5 5 π ? π ? ? ? 5cos? , (0 ? ? ? ) , 2 2 2
?????????????10 分

5 π 所以 y? ? (1 ? 2sin ? ) ,令 y ?=0 ,则 ? = . ?????????????12 分 2 6

6

当0 ?? ? 故当 ? =

π π π 时, y ? ? 0 ,当 ? ? ? 时, y ? ? 0 . 6 6 2

π 时,y 有最大值. 6 π 答:当 ? 为 时,年总收入最大. 6

?????????????15 分

3 ? ? 1 ? 2 ? 1, 2 ? ? 2 ?a ? 4, b2 19. 解: (1)易得 ? a 且 c 2 ? a 2 ? b2 ,解得 ? 2 ? ?c ?b ? 2, 2 ?a ? 2 , ? x2 y 2 所以椭圆 E 的方程为 + = 1 ; ??????????4 分 4 2 y0 ) , P( x1, y1 ) , (2)设 M (2, y y ①易得直线 MA 的方程为: y ? 0 x ? 0 , 4 2 y0 2 2 y0 2 y2 x2 y 2 x ? x? 0 ?4?0, 代入椭圆 + = 1 得, 1 ? 8 2 2 4 2

?

?

由 ?2 x1 ?

4 ? y0 2 ? 8? y0 ? 8
2

得, x1 ?

?2 ? y0 2 ? 8? y0 ? 8
2

,从而 y1 ?

8 y0 , y0 2 ? 8

所以 ??? ? ???? ? ? ?2 ? y02 ? 8? 8 y0 ? ?4 ? y02 ? 8? 8 y02 OP ? OM ? ? , ? (2 , y ) ? ? ? 4 ,??????10 分 0 ? 2 y02 ? 8 ? y02 ? 8 y02 ? 8 ? y0 ? 8
0) ,理由如下: ②直线 MQ 过定点 O(0,

依题意, k PB

8 y0 2 y0 ?8 2 ? ?? , 2 ?( 2 y0 ? 8) y0 ?2 2 y0 ? 8

y0 , 2 y y 则 MQ 的方程为: y ? y0 ? 0 ( x ? 2) ,即 y ? 0 x , 2 2 0) . ????????????????????16 分 所以直线 MQ 过定点 O(0,
由 MQ ? PB 得, kMQ ?

? 2 x 2 ? 2cx ? a , x ≥ c, ? ?a ln x ? ( x ? c) 2 , x ≥ c, ? ? x 20.解 : 函数 f ( x) ? ? ,求导得 f '( x) ? ? . 2 2 ? ?a ln x ? ( x ? c) , x ? c ? ?2 x ? 2cx ? a , x ? c ? x ? 2 ?8x ? 2 x ? 3 1 , x≥ , ? 1 3 ? 4x 4 (1)当 a ? ? , c ? 时, f '( x) ? ? , 2 4 4 ? ?8 x ? 2 x ? 3 , x ? 1 ? 4x 4 ? 2 1 1 ?8 x ? 2 x ? 3 若 x ? ,则 f '( x) ? ? 0 恒成立,所以 f ( x) 在 (0, ) 上单调减; 4 4 4x
7

1 (2 x ? 1)(4 x ? 3) 3 1 若 x ≥ ,则 f '( x) ? ,令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? 或 x ? ? (舍) , 4 4x 4 2 1 3 1 3 当 ≤ x ? 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在 [ , ) 上单调减; 4 4 4 4 3 3 当 x ? 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在 ( , ??) 上单调增. 4 4 3 3 所以函数 f ( x) 的单调减区间是 (0, ) ,单调增区间是 ( , ??) . ??????4 分 4 4 a a ( x ? 1)(2 x ? a) (2)当 x ? c , c ? ? 1 时, f '( x) ? ,而 c ? ? 1 ? 1 ,所以 2 2 x 当 c ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在 (c,1) 上单调减; 当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在 (1, ??) 上单调增.
所以函数 f ( x) 在 (c, ??) 上的最小值为 f (1) ? 所以

a2 , 4

a2 1 ≥ 恒成立,解得 a ? ?1 或 a ? 1 , 4 4 a 又由 c ? ? 1 ? 0 ,得 a ? ?2 ,所以实数 a 的取值范围是 (?2, ?1] . ?????9 分 2 a a c a (3)由 l1 ? l2 知, f '( ? ) f '(c) ? ?1 ,而 f '(c) ? ,则 f '( ? ) ? ? , 2 2 a c

a a 若 ? ? c ,则 f '( ? ) ? 2 2
解得 a ?

a a 2(? ) ? 2c ? ? a c 2 2 ? ?2c ,所以 ?2c ? ? , a a ? 2
???????????11 分

1 ,不符合题意; 2

a a ?2(? ) ? 2c ? ? a c 2 2 ? ? ?8a ? 2c ? ? , a a ? 2 1 a ?8a 整理得, c ? ,由 c ? 0 得, a ? ? , ??????????13 分 2 2a ? 1 t2 ? ?t t2 t3 8 令 ?8a ? t ,则 a ? ? , t ? 2 ,所以 c ? 2 , ? 2 t 8 2t ? 8 ? ?1 4 2t 2 (t 2 ? 12) t3 设 g (t ) ? 2 ,则 g '(t ) ? , (2t 2 ? 8) 2 2t ? 8 a a 故 ? ? c ,则 f '( ? ) ? 2 2
当 2 ? t ? 2 3 时, g '(t ) ? 0 , g (t ) 在 (2, 2 3) 上单调减; 当 t ? 2 3 时, g '(t ) ? 0 , g (t ) 在 (2 3, ??) 上单调增. 所以,函数 g (t ) 的最小值为 g (2 3) ?

3 3 3 3 ,故实数 c 的最小值为 . ??16 分 2 2

8


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