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江西省宜春中学、新余一中2019届高三12月联考数学(文)试题

2019 学年宜春中学、新余一中高三联考 数学试题(文科)
命题人:宜春中学 邓必雪 新余一中 傅腾 2019 年 12 月 6 日 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符号题目要求的。) 1.设集合 A ? {m ? Z | ?3 ? m ? 2}, B ? {n ? N | ?1 ? n ? 3},则 A ? B ? ( A. {-1,0,1} 2.不等式 1 ? x ? B. {0,1} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2} )

?
2

成立是不等式 ( x ? 1) tan x ? 0 成立的( ) B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 )

A.充分不必要条件

B C 中,点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 ,若 AB ? AC ? m AM ? 0 ,则实数 m 的值为 3. 在 ?A (
A.3 B.2 C.-3 D.-2 ,则 S9 的值等于( C.36 ) y P

4.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 A.54 B.45

D.27

5.函数 y ? sin(?x ? ? ) (? ? 0) 的部分图象如右图所示, 设 P 是图象的最高点,A, B 是图象与 x 轴的交点,则 tan ?APB ? ( A. 10 B. 8 C. x ) A O B

8 7

D.

4 7

6.已知 a, b, c 为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边,向量 m ? ( 3,?1), n ? (cos A, sin A), 若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? c sin C 则角 A, B 的大小分别为( A. ) D.

? ? , 3 3 13? 1 x , log 3 x) ? (tan , ( ) ) , x0 是方程 7. 定义一种运算 (a, b) ? (c, d ) ? ad ? bc ,若函数 f ( x) ? (1 4 5
B. C.

? ? , 6 3

2? ? , 3 6

? ? , 3 6

f ( x) ? 0 的解,且 0 ? x1 ? x0 ,则 f ( x1 ) 的值(
A.恒为负值 B.等于 0

) D.不大于 0

C.恒为正值

x 8.现有四个函数① y ? x ? sin x ② y ? x ? cos x ③ y ? x? | cos x | ④ y ? x ? 2 的部分图象如下,但

顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
·1·

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.①④②③

B.①④③②

C.④①②③

D.③④②①

9.函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? 3 若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 在 x ? ?? 2,5?上有 3 个零点,则 m 的取值 范围为( ) B. (?24,1] C. [1,8] D. ?1,8?

A. (?24,8)

10. 已 知 数 列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 的 各 项 均 不 等 于 0 和 1 , 此 数 列 前 n 项 的 和 为 S n , 且 满 足
2 2S n ? an ? an (1 ? n ? 5) ,则满足条件的数列共有(

) D.16 个

A. 2 个

B. 6 个

C. 8 个

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填在题中横线上) 11.已知 f ( x ) 为奇函数, g ( x) ? f ( x) ? 9, g (?2) ? 3, 则f (2) ? 12. 已 知 线 段 AB 的 长 度 为 2 , 它 的 两 个 端 点 在 圆 o ( o 为 圆 心 ) 的 圆 周 上 运 动 , 则

AB ? AO ? ________.
13.若函数 f ( x) ? sin(x ? ? ) ? 2 cos(x ? ? ) 是奇函数,则 sin ? ? cos ? 14.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n 且 .

S4 1 S ? 则 12 ? S 8 4, S16

15.设奇函数 f ( x) 在 [ ?1,1] 上是单调函数,且 f (?1) ? ?1 ,若函数

f ( x) ?

t 2 ? 2at ? 1对所有的 x ? [?1,1] 都成立,当 a ? [?1,1] 时,则 t 的取值范围是
三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16、 (本小题满分 12 分)

6 ? 1, x ? R}, B ? {x | x 2 ? 2 x ? m ? 0} x ?1 (1)当 m ? 3 时,求 A ? (C R B) ; (2)若 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4}, 求实数 m 的值.
已知集合 A ? {x |

·2·

17、 (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 是首项为 1 公差为正的等差数列,数列 ?bn ? 是首项为 1 的等比数列,设

cn ? anbn ( n ? N * ),且数列 ?cn ?的前三项依次为 1,4,12,
(1)求数列 ?an ? , ?bn ?的通项公式; (2)若等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,求数列 ?

? Sn ? ? 的和。 ?n?

18、 (本小题满分 12 分)

?ABC 中内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,向量 m ? (2 sin B,? 3),
n ? (cos 2 B,2 cos 2 B ? 1) 且 m 与 n 共线 2

(1)求锐角 B 的大小, (2)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值

·3·

19、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log4 (4x ?1) ? kx (k ? R) 是偶函数. (1)求 k 的值; (2)设 g ( x) ? log 4 ( a ? 2 ?
x

4 a) ,若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点, 3

求实数 a 的取值范围.

20、 (本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ?

1 2 11 n ? n. 数列 ?bn ? 满足 2 2

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 , (n ? N ? ) 且 b3 ? 11, b1 ? b2 ? … ? b9 ? 153.
(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?
?

k 3 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求使不等式 Tn ? 57 (2an ? 11)(2bn ? 1)

对一切 n ? N 都成立的最大正整数 k 的值。

·4·

班级: 姓名: 学号: 密 封 线 内 不 要 答 题 ………………………………装…………………………………订……………………………线…………………………………

21、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ?

?? x 3 ? x 2 ? bx ? c, x ? 1 的图像过坐标原点 O ,且在点 (?1, f (?1)) ?a ln x, x ? 1

处的切线的斜率是 ? 5 . (1)求实数 b, c 的值; (2)求 f ?x ? 在区间 ?? 1,2? 上的最大值; (3)对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上是否存在两点 P, Q ,使得△POQ 是以 O 为直 角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在 y 轴上?请说明理由.

2019 学年宜春中学、新余一中高三联考 数学答题卷(文科)
命题人:宜春中学 邓必雪 新余一中 傅腾 2019 年 12 月 6 日

学校:

·5·

一、选择题(10×5=50 分) 题号 答案 二、填空题(5×5=25 分) 11、 13、 15、 三、解答题(共 75 分) 16(满分 12 分) 12、 ___ 14、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

17、 (满分 12 分)

·6·

18、 (满分 12 分)

19、 (满分 12 分)

·7·

20、 (满分 13 分)

21、 (满分 14 分)

2019 学年宜春中学、新余一中联考 数学(文科)参考答案
·8·

一、选择题( 10 ? 5分 ? 50分 ) 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 A 5 B 6 C 7 C 8 A 9 D 10 B

二、填空题( 5 ? 5分 ? 25分 ) 11. 6 ; 12. 2 ; 13.
2 5

; 14.

13 ; 40

15.

t ? ?2或t ? 0或t ? 2



三、解答题 16、解: A ? {x | ?1 ? x ? 5} , (1)当 m ? 3 时, B ? {x | ?1 ? x ? 3} 则 C R B = {x | x ? ?1或x ? 3}

A ? (C R B) = {x | 3 ? x ? 5}

6分

(2)? A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4},

?有42 ? 2 ? 4 ? m ? 0 解得m ? 8, 此时B ? {x | ?2 ? x ? 4}, 符合题意.
17、 解:(1)设数列 公差为 d, 的公比为 q,则由题意知 , , , ……… 6分

12 分

(2)等差数列

的前项和为

= +(n-1) ,

所以数列 所以其和

是以首项为

,公差为

的等差数列, ……… 12 分

18、 (1)? m // n ? 2 sin B(2 cos 2

?

?

B ? 1) ? ? 3 cos 2 B 2

? sin 2B ? ? 3 cos2B



t an 2B ? ? 3 ………2 分
·9·

又? B 为锐角 ? 2B ? ?0, ? ? ………………4 分
? 2B ? 2? 3 ?B ?

?
3

…… ………………6 分

a2 ? c2 ? b2 得 a 2 ? c 2 ? ac ? 4 ? 0 (2)? B ? , b ? 2,由余弦定理cos B ? 3 2ac

?

又? a 2 ? c 2 ? 2ac 代入上式得: ac ? 4 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立。 )…8 分
S ?ABC ? 1 3 )…12 分 ac sin B ? ac ? 3 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立。 2 4

19. 解析】 (Ⅰ)由函数 f ( x ) 是偶函数可知: f ( x) ? f (? x)

?log4 (4x ?1) ? kx ? log4 (4? x ?1) ? kx --------------------2 分
log 4
1 4x ? 1 ? ?2kx 即 x ? ?2kx 对一切 x ? R 恒成立 ? k ? ? ?x 2 4 ?1
----5 分

(Ⅱ)函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点

1 4 x ? log 4 (a ? 2 x ? a) 有且只有一个实根 2 3 1 4 x x 化简得:方程 2 ? x ? a ? 2 ? a 有且只有一个实根 2 3 4 3 2 x 令t ? 2 ? 0, 则方程 ( a ? 1)t ? at ? 1 ? 0 有且只有一个正根 ① a ? 1 ? t ? ? , 不合题意; 3 4
即方程 log 4 (4 ? 1) ?
x

--------------9 分 ②? ? 0? a ? 若a ?

3 或 ?3 4

-----------------10 分 -------------11 分

3 1 ? t ? ?2, 不合题意;若 a ? ?3 ? t ? 4 2 ?1 ? 0 ? a ?1 ③一个正根与一个负根,即 a ?1
综上:实数 a 的取值范围是 {?3} ? (1,??)

-------------12 分

20、 (1)当 n=1 时, a1 ? S1 ? 6 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? ( 1 n 2 ? 11 n) ? [ 1 (n ? 1) 2 ? 11 (n ? 1)] ? n ? 5
2 2 2 2
·10·

?an ? n ? 5(n ? 2) 又 a1 ? 6 也适合上式 ?a n ? n ? 5(n ? N ? )
又 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 即 bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn ,所以{bn}是等差数列, 又 b3 ? 11 , b1 ? b2 ? …+b9=153,解得 b1=5,d=3。因为 bn ? 3n ? 2 (2) cn ?
1 1 1 1 3 = ? ( ? ) (2an ? 11)(2bn ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

……6 分

1 1 1 1 1 1 n ? )] ? 所以 Tn ? c1 ? c2 ? … c n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? …+ ( ……8 分 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2 3 3 5

因为 Tn?1 ? Tn ?

n ?1 n 1 ? ? ?0 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)(2n ? 1)
1 3

……10 分

因为 Tn 单调递 增,故 (Tn ) min ? T1 ?

…… 11 分 ……13 分
(1 分)

1 k 令 ? ,得 k ? 19, 所以 kmax =18。 3 57

21.解: (1)当 x ? 1 时, f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? bx ? c, 则 f ?( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? b 依题意,得 ?

? f (0) ? 0 ?c ? 0 即? ,解得 b ? c ? 0 . ? f ?(?1) ? ?5 ?? 3 ? 2 ? b ? ?5

(4 分)

(2)由(1)知,f(x)=

①当

,

当 x 变化时
x (-1,0)

的变化情况如下表:

·11·

单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

又 f (?1) ? 2, f ( ) ?

2 3

4 , f (0) ? 0, 27
(7 分)

所以 f ( x) 在 ?1,1? 上的最大值为 2 . ②当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? a ln x 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 的最大值为 0 ;

?

当 a ? 0 时, f ( x) 在 ?1,2? 上单调递增,所以 f ( x) 在 ?1,2? 上的最大值为 a ln 2 . (8 分) 综上所述,

2 时, f ( x) 在 ?? 1,2? 上的最大值为 2; ln 2 2 当 a ln 2 ? 2 ,即 a ? 时, f ( x) 在 ?? 1,2? 上的最大值为 a ln 2 . ln 2
当 a ln 2 ? 2 ,即 a ?

(9 分)

(3)假设曲线 y ? f ( x) 上存在两点 P, Q 满足题设要求,则点 P, Q 只能在 y 轴的两侧.
3 2 不妨设 P(t , f (t )),(t ? 0) ,则 Q(?t , t ? t ) ,显然 t ? 1

因为 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形, 所以 OP ? OQ ? 0 ,即 ? t ? f (t )(t ? t ) ? 0
2 3 2



若方程①有解,则存在满足题意的两点 P, Q ;若方程①无解,则不存在满足题意的两点 P, Q
3 2 2 3 2 3 2 若 0 ? t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t ? t ,代入①式得 ? t ? (?t ? t )(t ? t ) ? 0 ,
4 2 即 t ? t ? 1 ? 0 ,而此方程无实数解,因此 t ? 1 .

……………11 分

2 3 2 此时 f (t ) ? a ln t ,代入①式得, ?t ? (a ln t )(t ? t ) ? 0 即

1 ? (t ? 1) ln t a



令 h( x) ? ( x ? 1) ln x 因为 所以对于

1 ( x ? 1) ,则 h' ( x) ? ln x ? ? 1 ? 0 ,所以 h( x) 在 ?1,??? 上单调递增, x
当 时, , 的取值范围 。

方程②总有解,即方程①总有解。

·12·

所以对任意给定的正实数 a,曲线 y ? f ( x) 上总存在两点 P, Q ,使得△POQ 是以 O 为直角顶点 的直角三角形,且此三角形斜边的中点在 y 轴上 ……………14 分

·13·