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解三角形经典例题

解三角形
一、 知识点梳理: 1、正弦定理:在△ABC 中,
a b c = = = 2R sin A sin B sin C 注:①R 表示△ABC 外接圆的半径 ②正弦定理可以变形成各种形式来使用 2、余弦定理:在△ABC 中,
a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C

也可以写成第二种形式: b2 + c2 ? a2 a2 + c2 ? b2 a2 + b2 ? c2 , cos B = , cos C = cos A = 2bc 2ac 2ab 3、△ABC 的面积公式, S =
二、题组训练:

1 1 1 ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 2 2

1、在△ABC 中, a=12,A= 60 0 ,要使三角形有两解,则对应 b 的取值范围为 2、判定下列三角形的形状 在△ABC 中,已知 a = 3, b = 4, c = 38 ,请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中,已知 sin 2 A + sin 2 B < sin 2 C ,请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中,已知 cos A =

1 2 , a = bc ,请判断△ABC 的形状。 2

在△ABC 中,已知 b 2 sin 2 C + c 2 sin 2 B = 2bc cos B cos C ,请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中, A + sin B + sin C )(sin B + sin C ? sin A) = 3 sin B sin C, 请判断△ABC 的形状。 (sin

3、在△ABC 中,已知 a = 5, b = 4, A = 30 0 ,求△ABC 的面积。

4、在△ABC 中,若△ABC 的面积为 S,且 2 S = (a + b) 2 ? c 2 ,求 tanC 的值。

5、在△ABC 中,已知 b 2 ? bc ? 2c 2 = 0, a = 6 , cos A =

7 ,求△ABC 的面积。 8

6、在△ABC 中,已知 ab = 60 3 , sin B = sin C , △ABC 的面积为 15 3 ,求边 b 的长。

7、在△ABC 中,求证:

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? = 2 ? 2 2 2 a b a b

三、典型例题
3 1、设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A = c . 5 tan A (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)求 tan( A ? B ) 的最大值. tan B

2、在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c = 2 , C =
(Ⅰ)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a,b ; (Ⅱ)若 sin C + sin( B ? A) = 2 sin 2 A ,求 △ ABC 的面积.

π . 3

3、设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B = 3 , b sin A = 4 . (Ⅰ)求边长 a ; (Ⅱ)若 △ ABC 的面积 S = 10 ,求 △ ABC 的周长 l .

4、 在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷 o 达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距 40 2 海里的位置 26 o o o B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45 + θ (其中 sin θ = ,0 < θ < 90 )且与点 A 相 26 距 10 13 海里的位置 C.
(I)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

四、课后练习 1、如图,某住宅小区的平面图呈扇形 AOC.小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处,小区里有两条 o 笔直的小路 AD,DC ,且拐弯处的转角为 120 . 已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟,从 D 沿 DA 走到 A C
用了 6 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,求该扇形的 半径 OA 的长(精确到 1 米) .
A
1200

O

2、在 △ ABC 中, cos B = ?

5 4 , cos C = . 13 5
33 ,求 BC 的长. 2

(Ⅱ)设 △ ABC 的面积 S△ ABC = (Ⅰ)求 sin A 的值;


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