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2014《步步高》高考数学第一轮复习02 指数与指数函数


§ 2.5
2014 高考会这样考

指数与指数函数

1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质;2.讨论与指数函数

有关的复合函数的性质;3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合,综合考查指数函数知 识的应用. 复习备考要这样做 1.重视指数的运算,熟练的运算能力是高考得分的保证;2.掌握两种情

况下指数函数的图象和性质,在解题中要善于分析,灵活使用;3.对有关的复合函数要搞清 函数的结构.

1. 根式的性质 n (1)( a)n=a. n (2)当 n 为奇数时 an=a. n 当 n 为偶数时 an={a ?a≥0??-a ?a<0? 2. 有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂:an=a· ?·个 (n∈N*). a· a
n

②零指数幂:a0=1(a≠0). 1 - ③负整数指数幂:a p= p(a≠0,p∈N*). a m n ④正分数指数幂:a = am(a>0,m、n∈N*,且 n>1). n m 1 1 ⑤负分数指数幂:a- = = (a>0,m、n∈N*,且 n>1). n m n a am n ⑥0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质 ①aras=ar s(a>0,r、s∈Q); ②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 3. 指数函数的图象与性质


y=ax

a>1

0<a<1

图象

定义域 值域

(1)R (2)(0,+∞) (3)过定点(0,1) (4)当 x>0 时,y>1; (5)当 x>0 时, 0<y<1; x<0 时,y>1 (7)在(-∞,+∞) (6)在(-∞,+∞)上是增函数 上是减函数

性质

x<0 时,0<y<1

数 a 按:0<a<1 和 a>1 进行分类讨论. [难点正本 疑点清源] 1. 根式与分数指数幂的实质是相同的, 通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂 的运算,从而可以简化计算过程. 2. 指数函数的单调性是底数 a 的大小决定的,因此解题时通常对底数 a 按:0<a<1 和 a>1 进行分类讨论. 3. 比较指数式的大小方法:利用指数函数单调性、利用中间值.

1 1. 化简[(-2)6] -(-1)0 的值为________. 2 答案 7 1 1 解析 [(-2)6] -(-1)0=(26) -1=23-1=7. 2 2 2. 若函数 y=(a2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则实数 a 的取值范围是__________. 答案 (- 2,-1)∪(1, 2)

解析 由 y=(a2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,得 0<a2-1<1,∴1<a2<2,即 1<a< 2 或- 2<a<-1. 3. 若函数 f(x)=ax-1 (a>0,且 a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数 a=________. 答案 3

解析 当 a>1 时,x∈[0,2],y∈[0,a2-1]. 因定义域和值域一致,故 a2-1=2,即 a= 3.

当 0<a<1 时,x∈[0,2],y∈[a2-1,0]. 此时,定义域和值域不一致,故此时无解. 综上,a= 3. 1 4. (2012· 四川)函数 y=ax- (a>0,且 a≠1)的图象可能是 a ( )

答案 D 1 1 解析 当 a>1 时,y=ax- 为增函数,且在 y 轴上的截距为 0<1- <1,排除 A,B. a a 1 1 当 0<a<1 时,y=ax- 为减函数,且在 y 轴上的截距为 1- <0,故选 D. a a 5. 设函数 f(x)=a
-|x|

(a>0,且 a≠1),f(2)=4, B.f(-1)>f(-2) D.f(-2)>f(2)

(

)

A.f(-2)>f(-1) C.f(1)>f(2) 答案 A 解析 ∵f(x)=a
-|x|

(a>0,且 a≠1),f(2)=4,

1 - ∴a 2=4,∴a= , 2 1 - ∴f(x)=?2? |x|=2|x|,∴f(-2)>f(-1),故选 A. ? ?

题型一 指数幂的运算 例1 1 1 3 2- (1)计算:(124+22 3) -27 +16 -2×(8- ) 1; 2 6 4 3 x2+x 2-2 1 1 (2)已知 x +x- =3,求 的值. 2 2 3 3 x +x- -3 2 2 思维启迪:(1)本题是求指数幂的值,按指数幂的运算律运算即可; 3 3 1 1 - (2)注意 x2+x 2、x +x- 与 x +x- 之间的关系. 2 2 2 2




1 1 3 2- (1)(124+22 3) -27 +16 -2×(8- ) 1 2 6 4 3

1 1 3 2 =(11+ 3)2× -33× +24× -2×8- ×(-1) 2 6 4 3 1 2 =11+ 3-3 +23-2×23× 2 3 =11+ 3- 3+8-8=11. 1 1 1 1 (2)∵x +x- =3,∴(x +x- )2=9, 2 2 2 2 ∴x+2+x 1=9,∴x+x 1=7, ∴(x+x 1)2=49,∴x2+x 2=47, 3 3 1 1 - 又∵x +x+- =(x +x- )· (x-1+x 1) 2 2 2 2 =3×(7-1)=18, x2+x 2-2 ∴ =3. 3 3 x +x- -3 2 2 探究提高 根式运算或根式与指数式混合运算时, 将根式化为指数式计算较为方便, 对 于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,如果有特殊要求,要根据要求写出结 果.但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又有负指数. 计算下列各式的值: 27 2 1 - (1)?- 8 ?- +(0.002)- -10( 5-2) 1+( 2- 3)0; ? ? 3 2 (2) 1 -( 3-1)0- 9-4 5; 5+2
- - - - -

3 a3b2 ab2 (3) (a>0,b>0). 1 1 1 1 ?a b ?4a- b 4 2 3 3 解 27 2 1 1 10 (1)原式=?- 8 ?- +?500?- - +1 ? ? 3 ? ? 2 5-2

8 2 1 =?-27? +500 -10( 5+2)+1 ? ?3 2 4 167 = +10 5-10 5-20+1=- . 9 9 (2)原式= 5-2-1- ? 5-2?2 =( 5-2)-1-( 5-2)=-1. 1 21 ?a3b2a b ? 3 32 3 1 1 1 1 - (3)原式= =a + -1+ b1+ -2- =ab 1. 1 1 2 6 3 3 3 ab2a- b 3 3

题型二 指数函数的图象、性质的应用 例2 (1)函数 f(x)=ax 正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 (2)求函数 f(x)=3 x2-5x+4的定义域、值域及其单调区间. 思维启迪:对于和指数函数的图象、性质有关的问题,可以通过探求已知函数和指数函 数的关系入手. 答案 (1)D
-b -b

的图象如图所示,其中 a,b 为常数,则下列结论 ( )

解析 由 f(x)=ax 函数 f(x)=ax (2)解
-b

的图象可以观察出函数 f(x)=ax

-b

在定义域上单调递减, 所以 0<a<1.

的图象是在 f(x)=ax 的基础上向左平移得到的,所以 b<0.

依题意 x2-5x+4≥0,解得 x≥4 或 x≤1,

∴f(x)的定义域是(-∞,1]∪[4,+∞). ∵ x2-5x+4≥0,∴f(x)=3 x2-5x+4≥30=1, ∴函数 f(x)的值域是[1,+∞). 令 u= x2-5x+4=

?x-5?2-9,x∈(-∞,1]∪[4,+∞), ? 2? 4

∴当 x∈(-∞,1]时,u 是减函数, 当 x∈[4,+∞)时,u 是增函数. 而 3>1, ∴由复合函数的单调性, 可知 f(x)=3 x2-5x+4在(-∞, 1]上是减函数, 在[4, +∞)上是增函数. 探究提高 (1)与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,

通过平移、对称变换得到其图象. (2)对复合函数的性质进行讨论时,要搞清复合而成的两个函数,然后对其中的参数进 行讨论. ex+e x (1)函数 y= x -x的图象大致为 e -e


(

)

答案 A ex+e x 2 解析 y= x -x=1+ 2x ,当 x>0 时,e2x-1>0,且随着 x 的增大而增大,故 y=1 e -e e -1 + 2 >1 且随着 x 的增大而减小,即函数 y 在(0,+∞)上恒大于 1 且单调递减.又函 e -1
2x


数 y 是奇函数,故只有 A 正确. (2)若函数 f(x)=e-(x-μ)2 (e 是自然对数的底数)的最大值是 m,且 f(x)是偶函数,则 m +μ=________. 答案 1 解析 由于 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x), 即 e-(-x-μ)2=e-(x-μ)2,∴(x+μ)2=(x-μ)2,∴μ=0, ∴f(x)=e-x2.又 y=ex 是 R 上的增函数,而-x2≤0, ∴f(x)的最大值为 e0=1=m,∴m+μ=1. 题型三 指数函数的综合应用 例3 (1)k 为何值时,方程|3x-1|=k 无解?有一解?有两解? 1 (2)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2x- |x|. 2 3 ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 ②若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 思维启迪: 方程的解的问题可转为函数图象的交点问题; 恒成立可以通过分离参数求最 值或值域来解决. 解 (1)函数 y=|3x-1|的图象是由函数 y=3x 的图象向下平移一个单位后,再把位于 x

轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的,函数图象如图所 示. 当 k<0 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图象无交点,即方程 无解;当 k=0 或 k≥1 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图象 有唯一的交点,所以方程有一解; 当 0<k<1 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图象有两个不同的交点,所以方程有两解. (2)①当 x<0 时,f(x)=0,无解; 1 当 x≥0 时,f(x)=2x- x, 2

1 3 由 2x- x= ,得 2·2x-3·x-2=0, 2 2 2 2 1 看成关于 2x 的一元二次方程,解得 2x=2 或- , 2 ∵2x>0,∴x=1. 1 1 2t t ②当 t∈[1,2]时,2t?2 -22t?+m?2 -2t?≥0, ? ? ? ? 即 m(22t-1)≥-(24t-1),∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1), ∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞). 探究提高 对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提,方程 f(x)=g(x)解的个数即 为函数 y=f(x)和 y=g(x)图象交点的个数;复合函数问题的关键是通过换元得到两个新 的函数,搞清复合函数的结构. a - 已知 f(x)= 2 (ax-a x) (a>0 且 a≠1). a -1 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围. 解 (1)因为函数的定义域为 R,所以关于原点对称.

a - 又因为 f(-x)= 2 (a x-ax)=-f(x), a -1 所以 f(x)为奇函数. (2)当 a>1 时,a2-1>0,y=ax 为增函数,y=a x 为减函数,从而 y=ax-a x 为增函数, 所以 f(x)为增函数, 当 0<a<1 时,a2-1<0, y=ax 为减函数,y=a x 为增函数, 从而 y=ax-a x 为减函数,所以 f(x)为增函数. 故当 a>0,且 a≠1 时,f(x)在定义域内单调递增. (3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数, 所以在区间[-1,1]上为增函数, 所以 f(-1)≤f(x)≤f(1), 所以 f(x)min=f(-1)=
2
- - - -

a - (a 1-a) a2-1



a 1-a · =-1, a -1 a
2

所以要使 f(x)≥b 在[-1,1]上恒成立,则只需 b≤-1,

故 b 的取值范围是(-∞,-1]. 3.利用方程思想和转化思想求参数范围

-2x+b 典例:(14 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 审题视角 (1)f(x)是定义在 R 上的奇函数,要求参数值,可考虑利用奇函数的性质,构建方 程:f(0)=0,f(1)=-f(-1). (2)可考虑将 t2-2t,2t2-k 直接代入解析式化简,转化成关于 t 的一元二次不等式.也可 考虑先判断 f(x)的单调性,由单调性直接转化为关于 t 的一元二次不等式. 规范解答 解 (1)因为 f(x)是 R 上的奇函数,

-1+b 所以 f(0)=0,即 =0,解得 b=1, 2+a -2x+1 从而有 f(x)= x+1 .[4 分] 2 +a 1 - +1 2 -2+1 又由 f(1)=-f(-1)知 =- , 4+a 1+a 解得 a=2.[7 分] -2x+1 (2)方法一 由(1)知 f(x)= x+1 , 2 +2 又由题设条件得 -2t2-2t+1 -22t2-k+1 + <0, 2t2-2t+1+2 22t2-k+1+2

即(22t2-k+1+2)(-2t2-2t+1)+(2t2-2t+1+2)(-22t2-k+1)<0.[9 分] 整理得 23t2-2t-k>1,因底数 2>1,故 3t2-2t-k>0.[12 分] 上式对一切 t∈R 均成立,从而判别式 Δ=4+12k<0, 1 解得 k<- .[14 分] 3 -2x+1 1 1 方法二 由(1)知 f(x)= x+1 =- + x , 2 2 +1 2 +2 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数, 又因为 f(x)是奇函数, 从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).因为 f(x)是 R 上的减函数, 由上式推得 t2-2t>-2t2+k.[12 分] 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0,

1 从而 Δ=4+12k<0,解得 k<- .[14 分] 3 温馨提醒 (1)根据 f(x)的奇偶性,构建方程求参数体现了方程的思想;在构建方程时,利用 了特殊值的方法,在这里要注意:有时利用两个特殊值确定的参数,并不能保证对所有 的 x 都成立.所以还要注意检验. (2)数学解题的核心是转化,本题的关键是将 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立等价转化为 t2 -2t>-2t2+k 恒成立.这个转化易出错.其次,不等式 t2-2t>-2t2+k 恒成立,即对 一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0,也可以这样做:k<3t2-2t,t∈R,只要 k 比 3t2-2t 的最小 1 1 值小即可,而 3t2-2t 的最小值为- ,所以 k<- . 3 3

方法与技巧 1.判断指数函数图象上底数大小的问题,可以先通过令 x=1 得到底数的值再进行比较. 2.指数函数 y=ax (a>0,a≠1)的性质和 a 的取值有关,一定要分清 a>1 与 0<a<1. 3.对和复合函数有关的问题,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成. 失误与防范 1.恒成立问题一般与函数最值有关,要与方程有解区别开来. 2.复合函数的问题,一定要注意函数的定义域. 3.对可化为 a2x+b·x+c=0 或 a2x+b·x+c≥0 (≤0)的指数方程或不等式,常借助换元法解 a a 决,但应注意换元后“新元”的范围.

(时间:60 分钟) A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1 1 1. 设 2a=5b=m,且 + =2,则 m 等于 a b A. 10 C.20 答案 A 解析 ∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m, 1 1 1 1 ∴ + = + a b log2m log5m B.10 D.100 ( )

=logm2+logm5=logm10=2. ∴m= 10. 1 2. 函数 y=?2?-x2+2x 的值域是 ? ? A.R C.(2,+∞) 答案 D 解析 ∵-x2+2x=-(x-1)2+1≤1, 1 1 ∴?2?-x2+2x≥ ,故选 D. ? ? 2 xax 3. 函数 y= (0<a<1)图象的大致形状是 |x| ( ) B.(0,+∞) 1 D.?2,+∞? ? ? ( )

答案 D xax x x 解析 函数定义域为{x|x∈R,x≠0},且 y= ={a ,x>0?-a ,x<0 .当 x>0 时,函 |x| 数是一个指数函数,因为 0<a<1,所以函数在(0,+∞)上是减函数;当 x<0 时,函数图 象与指数函数 y=ax(x<0,0<a<1)的图象关于 x 轴对称,在(-∞,0)上是增函数. 4. 若函数 f(x)=a|2x A.(-∞,2] C.[-2,+∞) 答案 B 1 1 1 1 解析 由 f(1)= ,得 a2= ,∴a= (a=- 舍去), 9 9 3 3 1 - 即 f(x)=?3?|2x 4|. ? ? 由于 y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增, 所以 f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.故选 B. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 已知 a= 5-1 , 函数 f(x)=ax, 若实数 m、 满足 f(m)>f(n), m、 的大小关系为________. n 则 n 2
-4|

1 (a>0,a≠1),满足 f(1)= ,则 f(x)的单调递减区间是 9 B.[2,+∞) D.(-∞,-2]

(

)

答案 m<n 解析 ∵0<a= 5-1 <1,∴函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数.又∵f(m)>f(n),∴m<n. 2

a 6. 函数 f(x)=ax (a>0,a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大 ,则 a 的值为__________. 2 答案 1 3 或 2 2

a 1 解析 当 0<a<1 时,a-a2= ,∴a= 或 a=0(舍去). 2 2 a 3 当 a>1 时,a2-a= ,∴a= 或 a=0(舍去). 2 2 1 3 综上所述,a= 或 . 2 2 7. (2012· 洛阳调研)已知函数 f(x)=ax+b (a>0 且 a≠1)的图象如图所 示,则 a+b 的值是________. 答案 -2
2 0 解析 ∵{a +b=0?a +b=-3 ,∴{a=2?b=-4 ,

∴a+b=-2. 三、解答题(共 25 分) 8. (12 分)设函数 f(x)=2|x 解
+1|-|x-1|

,求使 f(x)≥2 2的 x 的取值范围.

y=2x 是增函数,f(x)≥2 2等价于

3 |x+1|-|x-1|≥ .① 2 (1)当 x≥1 时,|x+1|-|x-1|=2,∴①式恒成立. (2)当-1<x<1 时,|x+1|-|x-1|=2x, 3 3 ①式化为 2x≥ ,即 ≤x<1. 2 4 (3)当 x≤-1 时,|x+1|-|x-1|=-2,①式无解. 3 综上,x 的取值范围是?4,+∞?. ? ? 9. (13 分)设 a>0 且 a≠1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值. 解 令 t=ax (a>0 且 a≠1), 则原函数化为 y=(t+1)2-2 (t>0). 1 ①当 0<a<1 时,x∈[-1,1],t=ax∈?a,a?, ? ? 1 此时 f(t)在?a,a?上为增函数. ? ? 1 1 所以 f(t)max=f?a?=?a+1?2-2=14. ? ? ? ? 1 1 1 所以?a+1?2=16,所以 a=- 或 a= . ? ? 5 3

1 又因为 a>0,所以 a= . 3 1 ②当 a>1 时,x∈[-1,1],t=ax∈?a,a?, ? ? 1 此时 f(t)在?a,a?上是增函数. ? ? 所以 f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14, 解得 a=3(a=-5 舍去). 1 综上得 a= 或 3. 3 B 组 专项能力提升 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分)
?1 1. 设函数 f(x)=?x ?
x ?x>0?,? e

?x≤0?, 若 F(x)=f(x)+x,x∈R,则 F(x)的值域为 ( )

A.(-∞,1] C.(-∞,1]∪[2,+∞) 答案 C 1 解析 当 x>0 时,F(x)= +x≥2; x

B.[2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞)

当 x≤0 时,F(x)=ex+x,根据指数函数与一次函数的单调性,F(x)是单调递增函数, F(x)≤F(0)=1,所以 F(x)的值域为(-∞,1]∪[2,+∞). 1 2. (2012· 山东)设函数 f(x)= ,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0).若 y=f(x)的图象与 y=g(x) x 的图象有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是 ( A.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 B.当 a<0 时,x1+x2>0,y1+y2<0 C.当 a>0 时,x1+x2<0,y1+y2<0 D.当 a>0 时,x1+x2>0,y1+y2>0 答案 B 1 解析 由题意知函数 f(x)= ,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0)的图象有且仅有两个公共 x 1 点 A(x1,y1),B(x2,y2),等价于方程 =ax2+bx(a,b∈R,a≠0)有两个不同的根 x1,x2, x 即方程 ax3+bx2-1=0 有两个不同非零实根 x1,x2, 因而可设 ax3+bx2-1=a(x-x1)2(x-x2), 即 ax3+bx2-1=a(x3-2x1x2+x2x-x2x2+2x1x2x-x2x2), 1 1 )

∴b=a(-2x1-x2),x2+2x1x2=0,-ax2x2=-1, 1 1 ∴x1+2x2=0,ax2>0, 当 a>0 时,x2>0, ∴x1+x2=-x2<0,x1<0, 1 1 x1+x2 ∴y1+y2= + = >0. x1 x2 x1x2 当 a<0 时,x2<0, ∴x1+x2=-x2>0,x1>0, 1 1 x1+x2 ∴y1+y2= + = <0. x1 x2 x1x2 2x 1 3. (2012· 上饶质检)设函数 f(x)= x- ,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 y=[f(x)] 1+2 2 的值域是 A.{0,1} C.{-1,1} 答案 B 解析 1+2x-1 1 1 1 f(x)= - = - . 2 2 1+2x 1+2x B.{0,-1} D.{1,1} ( )

1 1 ∵1+2x>1,∴f(x)的值域是?-2,2?. ? ? ∴y=[f(x)]的值域是{0,-1}. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 4. 函数 f(x)=ax2+2x-3+m (a>1)恒过点(1,10),则 m=______. 答案 9 解析 f(x)=ax2+2x-3+m 在 x2+2x-3=0 时过定点(1,1+m)或(-3,1+m),∴1+m

=10,解得 m=9. 5. 若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________. 答案 (1,+∞)

解析 令 ax-x-a=0 即 ax=x+a,若 0<a<1,显然 y=ax 与 y=x+a 的图象只有一个 公共点;若 a>1,y=ax 与 y=x+a 的图象如图所示. 3 2+3a 6. 关于 x 的方程?2?x= ? ? 5-a 有负数根,则实数 a 的取值范围为__________.

2 3 答案 ?-3,4? ? ? 3 解析 由题意,得 x<0,所以 0<?2?x<1, ? ? 2+3a 2 3 从而 0< <1,解得- <a< . 3 4 5-a 三、解答题(13 分) e x a 7. 设 f(x)= + -x是定义在 R 上的函数. a e (1)f(x)可能是奇函数吗? (2)若 f(x)是偶函数,试研究其在(0,+∞)上的单调性. 解 (1)假设 f(x)是奇函数,由于定义域为 R,
-x -

a? ex a ?e ∴f(-x)=-f(x),即 + x=-? a + -x?, a e e ? ? 1 - 整理得?a+a?(ex+e x)=0, ? ? 1 即 a+ =0,即 a2+1=0 显然无解. a ∴f(x)不可能是奇函数. (2)因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x), ex a e a 即 + x= + -x, a e a e 1 - 整理得?a-a?(ex-e x)=0, ? ? 又∵对任意 x∈R 都成立, 1 ∴有 a- =0,得 a=± 1. a 当 a=1 时,f(x)=e x+ex,以下讨论其单调性, 任取 x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1-ex2-e-x2 = ?ex1-ex2??ex1+x2-1? , ex1+x2
- -x

∵x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2, ∴ex1+x2>1,ex1-ex2<0,∴ex1+x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), e x a ∴函数 f(x)= + -x, a e 当 a=1 时,在(0,+∞)为增函数,


同理,当 a=-1 时,f(x)在(0,+∞)为减函数.


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