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第二部分 专题一 第五讲 导数的简单应用(选择、填空题型)


第 二 部 分 专 题 一

导练感悟高考

第 五 讲

热点透析高考

创新预测

第二部分
专题一

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第五讲

导数的简单应用

(选择、填空题型)

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[导练感悟高考]
1 1 B 函数y= x2-ln x的定义域为(0,+∞),y′=x- = 1.选 2 x ?x-1??x+1? ,令y′≤0,则可得0<x≤1. x 2.选 D 求导得f′(x)=ex+xex=ex(x+1),令f′(x)=ex(x+1)

=0,解得x=-1,易知x=-1是函数f(x)的极小值点.

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3.选 A 设f(x)=x3-3x+c,对f(x)求导可得,f′(x)=3x2-3, 令f′(x)=0,可得x=±1,易知f(x)在(-∞,-1),(1, +∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减.若f(1)=1-3+c= 0,可得c=2;若f(-1)=-1+3+c=0,可得c=-2.

4.解析:y′=3ln x+1+3,所以曲线在点(1,1)处的切线斜率
为4,所以切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3. 答案:y=4x-3

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5.解析:因曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为 0-?-4? - 2 =2 2 - 2 = 2 ,则曲线C1与直线l不能相 2 交,即x2+a>x,所以x2+a-x>0. 设C1:y=x2+a上一点为(x0,y0), |x0-y0| -x0+x2+a 0 则点(x0,y0)到直线l的距离d= = = 2 2
? 1?2 1 ?x0- ? +a- 2? 4 ?

2

4a-1 9 ≥ = 2,所以a=4. 4 2

9 答案:4

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6.解析:由已知得 S= 4 所以 a=9.

?a ? ? ?

0

1 2 3a 2 3 2 2 | = a 2 =a2,所以 a 2 = , xdx=3x 0 3 3

4 答案:9

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[热点透析高考]
x+1 2 例1:解析:(1)由于y= ,所以y′=- 2 ,于是曲线y= x-1 ?x-1? x+1 1 在点(3,2)处的切线的斜率k=y′|x=3=-2,因此所求直线的斜 x-1 率等于2,于是所求直线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0. (2)由题易知,直线y=kx+1和曲线y=x3+ax+b均过点A(1,3),则 k=2,a+b=2;又y′=3x2+a,则k=y′|x=1=3+a=2,所以 a=-1,b=3.

答案:(1)A (2)A
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例2:解析:(1)∵函数f(x)=ax3+(a-1)x2+48(b-3)x+b的图像 关于原点成中心对称,∴a=1,b=0,则f′(x)=3(x2-48),由 f′(x)>0可解得x>4 3或x<-4 3,∴f(x)在(-∞,-4 3)上为增 函数,在(4 3,+∞)上也为增函数. k (2)由题意知f′(x)=2+ x2 ≥0在(1,+∞)上恒成立,即k≥-2x2在 (1,+∞)上恒成立,所以k≥(-2x2)max,又y=-2x2在(1,+∞) 上单调递减,所以(-2x2)max=-2,所以k≥-2,即k的取值范围 是[-2,+∞).

答案:(1)D

(2)[-2,+∞) 返回

例3:解析:(1)求导,得f′(x)=-3x2+2ax,由f(x)在x=2处取

得极值知f′(2)=0,即-3×4+2a×2=0,所以a=3.由此可得
f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x.由此可得f(x)在(-1,0)上 单调递减,在(0,1)上单调递增,所以当m∈[-1,1]时,f(m)min= f(0)=-4.又f′(x)=-3x2+6x的图像开口向下,且对称轴为x=1, 所以当n∈[-1,1]时,f′(n)min=f′(-1)=-9.于是,f(m)+f′(n)的

最小值为-13.

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(2)若a=0,则f′(x)=0,函数f(x)不存在极值;若a=-1,则
f′(x)=-(x+1)2≤0,函数f(x)不存在极值;若a>0,当x∈ (-1,a)时,f′(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,所以函数 f(x)在x=a处取得极小值;若-1<a<0,当x∈(-1,a)时, f′(x)>0,当x∈(a,+∞)时,f′(x)<0,所以函数f(x)在x=a处取

得极大值;若a<-1,当x∈(-∞,a)时,f′(x)<0,当x∈(a,
-1)时,f′(x)>0,所以函数f(x)在x=a处取得极小值.所以 a∈(-1,0). 答案:(1)A (2)(-1,0)

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例 4:解析:(1)由微积分基本定理可得 ? 2 f(x)dx= x2dx+
e2

?1 ? ? ?

0

?

e2
1

2 1 1 31 7 | 0+ln x| e = . 1 xdx=3x 3

(2)由题意可得 sin xdx=|OA|· |AB|,
0

?π ? ? ?

即(-cos

2 π x)|0 =π|AB|,解得|AB|= . π

2 答案:(1)C (2)π

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创新预测 1.选 A 由题意可知,f′(x)= ,g′(x)=axa-1, 2 x 1

1 ∵l1、l2 过点 P(1,1),∴kl1=f′(1)=2,kl2=g′(1)=a. 1 又∵l1⊥l2,∴kl1·l2=2a=-1,∴a=-2. k 2. D 选 考虑当点 C 运动到与 AB 共线附近时, 三角形面积减 n

少的速率和三角形面积增大的速率相同,因此,共线点两侧, 导数值互为相反数.又因为共线点两侧,面积的变化率不会 为 0,因此结合各选项知,选 D.

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1 2 3.解析:因为f(x)=x(e -1)-2x ,
x

所以f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)· (x+1). 令f′(x)>0,即(ex-1)(x+1)>0, 解得x∈(-∞,-1)或x∈(0,+∞). 所以函数f(x)的单调增区间为(-∞,-1]和[0,+∞).

答案:(-∞,-1]和[0,+∞)

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1 4.解析:因为f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=4x-x, 1 ? ?k-1< <k+1, 1 2 由f′(x)=0,得x=2.据题意得? ?k-1≥0, ? 3 解得1≤k<2.
? 3? 答案:?1,2? ? ?

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5.解析:选 C 依题意得,f′(x)=x2+ax+b,x1,x2是方程 f′(x)=0的两个根,于是有 ?f′?-1?=?-1?2+a?-1?+b=1-a+b>0, ? ? f′?1?=12+a+b=1+a+b<0, ? ? ?f′?2?=22+2a+b=4+2a+b<0, ? ?f′?4?=42+4a+b=16+4a+b>0, ?

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如图,在坐标平面内画出该不等式组表示的

平面区域,阴影部分表示的四边形的四个顶
点的坐标分别为(-3,-4),(-1,-2), (-3,2),(-5,4),经验证得:当a=-5, b=4时,z=a+2b取得最大值3;当a=-3, b=-4时,z=a+2b取得最小值-11.于是z=a+2b的取值范

围是(-11,3).

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6.解析:从图像上可以看到:当x∈(0,1)时,f′(x)>0;当 x∈(1,2)时,f′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,所以 f(x)有两个极值点1和2,且当x=2时函数取得极小值,当 x=1时函数取得极大值.只有①不正确.

答案:①
7.选 B 由题中图象易知 f(x)=-x2+1,则所求面积为
?1 2? ?0 ? x3 ?1 4 2 (-x +1)dx=2?- 3 +x?|0=3. ? ?

8.选 C 由题意可得 S=
?1 ? ? ?

-2

(x+2)dx+? 2cos xdx=4. ?
0

? ?2

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