当前位置:首页 >> 数学 >>

排列组合解题技巧


排列组合解题技巧
方志清 (潜山县黄铺中学,fangzhiqingwangjiang@126.com)

摘要:本文重点阐述排列组合解题技巧 引言:在学到排列组合的时候,很多同学觉得学起来较为困难, 原因是这一章节要求学生的逻辑性很强。 我想谈谈个人对于排列组合 教学的看法。 一、理解排列组合、两个计数原理的概念。 (1) 首先要区分 “分类计数原理” 和 “分步计数原理” 。 使用 “分 类计数原理”还是“分步计数原理” ,要根据我们完成某件事采取的 方式而定。如果是可以分类来完成这件事,就用“分类计数原理” , 而如果需要分步来完成这件事时就得使用“分步计数原理” 。那么, 怎么样确定是“分类”还是“分步”呢?“分类”最重要的特征是其 中任何一类都可以独立完成某件事,而“分步”必须把各步骤都完成 了才能完成某件事。 (2)排列问题常常通过画“树图” , “框图”等手段使问题直观 化,从而寻求解题途径。 例 1:3 男 3 女共 6 个同学排成一行 ①女生都排在一起,有多少种排法? ②女生与男生相间,有多少种排法? ③任何两个男生都不相邻,有多少种排法?

这就是典型的排列问题。解题技巧:①将 3 名女生排列,有 A33 种排法,再将这 3 名女生看成一个整体与另外 3 个男生,有 A44 种排 法,所以共有 A33 A44=144 种排法。②中男生自己排,女生也自己排, 各有 A33 种排法,然后相间插入有 2 种插法,所以共有 2 A33 A33=72 种 排法。③中女生先排,有 A33 种排法,女生之间及首尾共有 4 个间隙, 任取其中 3 个安插男生,有 A43 种方法,所以共有 A33 A43=144 种排法。 (3)排列与组合定义相近,要分别理解它们的定义,还要会区 别它们。而它们最主要的区别是是否与顺序有关。具体来说就是排列 与顺序有关,组合与顺序无关。在处理时要根据条件做出正确判断。 例 2:一个小组有 20 人,假期中每 2 个人互通电话一次,各通 信一次,共通了多少次电话,写了多少封信?前者甲与乙通话即是乙 与甲通话,因此与顺序无关,故是组合问题。而后者甲给乙写一封信 与乙给甲写一封信是两回事,因此是排列问题。 二、排列组合问题的解的技巧。在解排列组合问题时,我总结了 以下几点解题技巧,供大家参考: (1)特殊元素“优先安排法” :对于特殊元素的排列组合问题, 一般优先考虑特殊元素。 例 3:用 0、1、2、3、4、5 五个数字,组成没有重复数字的三 位数,其中偶数共有多少个?由于该三位数为偶数,故末尾数字必为 偶数, 又 0 不能排在首位, 故 0 就是其中的特殊元素, 应该优先安排, 按 0 排在末位和不排在末位分为两类:①0 排末位时,有 A42 个。②0 不排在末位时,则有 C21A31A31 个,由分类计数原理,共有偶数 A42+

C21A31A31=30 个。 ( 2) “捆绑法” :在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先 把相邻的 n 个元素排好,再将它们当成一个整体,然后再考虑这个整 体与其它元素的排列。 例 4:有 8 本不同的书,其中 3 本数学书,若将数学书排在一起, 共有多少种排法?把数学书排好,有 A33 种排法,再把这 3 本数学书 捆绑在一起,看成是一个元素,它与其它 5 本书共 6 个元素共有 A66 种排法,根据分步计数原理有 A33A66=450 种排法。 ( 3) “插空法” :有些不相邻问题是指要求某些元素不能相邻, 由其它元素将它们隔开,解决此类问题可以先将其它元素排好,再将 所指定的不相邻的元素插到它们的间隙及两端位置,故称插空法。 例 5:要排一张有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出,任何两 个舞蹈节目不得相邻, 问有多少种不同的排法?这个问题可以分为两 步:第一步先把 6 个歌唱节目排列,有 A66 种排法,第二步把 4 个舞 蹈节目插在 7 个空位上, 有 A74 种排法, 由乘法原理, 共有 A66 A74=604800 种不同的排法。 (4)顺序固定用除法:对于某几个元素按固定顺序排列,可先 把这几个元素与其它元素一同进行全排列, 然后用总的排列数除以这 几个数的全排列数。 例 6:7 个人坐在一排照相,其中甲、乙、丙三人的顺序固定有 多少种排法?首先这 7 个人的全排列有 A77 种排法,另外,甲乙丙三 人有 A33 种排法,所以共有 A77/ A33=420 种排法。

(5)排除法:对于含“至多”或“至少”的排列组合问题,若 直接解答需要进行复杂讨论,可以考虑“排除法” :将总体中不符合 条件的排列和组合删除掉,从而计算出符合条件的排列组合数的方 法。 例 7:从 5 名男同学 4 名女同学中选 3 人参加活动,则至少有一 名女同学的选法共有多少种?总的有 9 名同学,从这 9 名同学中选 3 人有 C93 种选法,若选中的同学都是男生,有 C53 种,所以至少有一名 女同学的选法共有 C93-C53=69 种。 (6)构造模型“隔板法” :对于较复杂的排列组合问题,可通过 设计一种情景,构造一个隔板模型解决问题。 例 8、有 8 个相同的小球,装到 4 个不同的盒子中,要求每个盒 子至少装一个小球, 共有多少种不同的装法?把 8 个相同的小球排成 一列,在它们之间的 7 个间隙中插入 3 块隔板,把球分成 4 堆,每一 种分法所得 4 堆球各堆球的数目,对应装到 4 个不同的盒子中,故共 有 C74=35 种装法。 总之,在解决排列组合的综合问题时,必须深刻理解排列组合的 概念,能熟练地对问题进行分类,牢记排列数与组合数公式与性质, 掌握它们的基本规律,我总结为以下 16 个字:分类相加、分步相乘、 排组分清、加乘明确、有序排列、无序组合、正难则反、间接排除。


赞助商链接
相关文章:
排列组合等计数题型的解题技巧_图文
排列组合等计数题型的解题技巧 - 六年级奥数讲义 排列组合等计数题型的解题技巧 教学目标 1.使学生正确理解排列、组合的意义;正确区分排列、组合问题; 2.了解排列...
排列组合解题中的八大典型错误、24种解题技巧和三大重...
排列组合解题中的八大典型错误、24种解题技巧和三大重要模型(类型全、归纳细、绝对精品)_数学_高中教育_教育专区。排列组合解题中的八大典型错误、24种解题技巧和...
☆排列组合解题技巧归纳总结
排列组合解题技巧归纳总结 - 排列组合解题技巧归纳总结 排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合 问题,首先要认真审题,弄清楚是排列...
排列组合解题技巧汇编
排列组合解题技巧汇编_高三数学_数学_高中教育_教育专区。全面总结了排列组合一些常见的题型以及解题方法龙文教育 您身边的个性化辅导专家 电话: 网址: http://longwe...
排列组合解题技巧12法
排列组合解题技巧12法 - 排列组合解题技巧 12 法 首先,谈谈排列组合综合问题的一般解题规律: 1)使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时...
高三复习:排列组合问题的解题方法
高三复习:排列组合问题的解题方法 - 排列组合问题的解题方法 一、特殊元素(或位置) “优先法” :排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关 系问题,即某个元素...
高考数学排列组合解题方法总结
高考数学排列组合解题方法总结 - 排列、组合解题方法总结 体验高考 1.(2015·四川)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中比 40 000 大的 ...
排列组合解题技巧
排列组合解题技巧 - 排列组合解题技巧 方志清 (潜山县黄铺中学,fangzhiqingwangjiang@126.com) 摘要:本文重点阐述排列组合解题技巧 引言:在学到排列组合的时候,很...
排列组合的解题技巧
排列组合解题技巧_数学_高中教育_教育专区。有关排列组合的常用解题技巧 1.相邻问题并组法 题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列. 【例...
排列组合万能解题方法
排列组合万能解题方法 - 高二二部数学内部资料 排列组合 设计人:管雨坤 审核人:毕凤翔 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列...
更多相关标签: