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(第26课)棱柱和棱锥(2)




题:9.9

棱柱和棱锥(二)

教学目的: 1. 理解平行六面体的概念掌握平行六面体、 长方体、 正方体的概念及性质; , 弄清直平行六面体、长方体、正方体的关系. 2.掌握长方体对角线的性质,能利用其计算有关长度与角度的问题. 教学重点:平行六面体、长方体的概念及性质 教学难点:平行六面体、长方体的概念及性质 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1 多面体的概念: 由若干个多边形围成的空间图形叫多面 体;每个多边形叫多面体的面,两个面的公共边叫多面体 的棱,棱和棱的公共点叫多面体的顶点,连结不在同一面 上的两个顶点的线段叫多面体的对角线. 2.凸多面体:把多面体的任一个面展成平面,如果其余的 面都位于这个平面的同一侧,这样的多面体叫凸多面体.如 图的多面体则不是凸多面体. 3.凸多面体的分类:多面体至少有四个面,按照它的面数分 别叫四面体、五面体、六面体等 说明:我们今后学习的多面体都是凸多面体 ..
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4.棱柱的概念:有两个面互相平行,其余每相邻两个面的交线互相平行,这样 的多面体叫棱柱 两个互相平行的面叫棱柱的底面(简称底) ;其余各面叫棱柱 的侧面;两侧面的公共边叫棱柱的侧棱; 两底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高(公垂线段长也简称高) 5.棱柱的分类:侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱 侧棱垂直于底面的棱柱叫 直棱柱 底面的是正多边形的直棱柱叫正棱柱 棱柱的底面可以是三角形、四边 形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……
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设集合 A ? {棱柱} , B ? {斜棱柱} , C ? {直棱柱} , D ? {正棱柱} , 则 B ? C ? A, D ? C . 6.棱柱的性质 (1)棱柱的侧棱相等,侧面都是平行四边形;直棱柱侧面都是矩形;正棱柱侧 面都是全等的矩形; (2)棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等的多边形

(3)过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 7.直棱柱的直观图的画法 画棱柱的直观图共分四个步骤: ①画轴; ②画底面; ③画侧棱; ④成图. 底面一定要画成水平放置位置的平面图形 的直观图 二、讲解新课: 1 平行六面体、长方体、正方体 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六面体 叫直平行六面体,底面是矩形的直平行六面体长方体,棱长都相等的长方体叫 正方体.
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D' A' B'

C'
A'

D' B'

C'

D

C

D

C

A

B

A

B

2.平行六面体、长方体的性质 定理 1:平行六面体的对角线交于一点,求证:对角线 AC?, BD?, CA?, DB? 相交 于一点,且在点 O 处互相平分. 证明:设 O 是 AC ? 的中点,则 AO ?

????

? ? 1 ???? 1 ??? ???? ???? AC ? ? ( AB ? AD ? AA?) , 2 2
D' A' B' C'

设 P, M , N 分别是 BD?, CA?, DB? 的中点, 同理: AP ?

? 1 ??? ???? ???? ( AB ? AD ? AA?) , 2 ???? 1 ??? ???? ???? ? ? AM ? ( AB ? AD ? AA?) , 2 ???? 1 ??? ???? ???? ? AN ? ( AB ? AD ? AA?) , 2
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??? ?

D A B

C

所以, O, P, M , N 四点重合,定理得证

定理 2:长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和. 已知:长方体 AC ? 中, AC ? 是一条对角线,

求证: AC? ? AB ? AD ? AA? .
2 2 2 2

D' A'

C' B'

???? ??? ???? ???? ? ? 证明:∵ AC? ? AB ? AD ? AA? ,
∴ | AC? |2 ? ( AB ? AD ? AA?) ? ( AB ? AD ? AA?) , ∵ AB ? AD , AB ? AA? , AA? ? AD ,

???? ?

??? ??? ???? ? ?
??? ? ????

??? ??? ???? ? ?
????

D A B

C

??? ?

????

????

∴ | AC? |2 ? AB ? AB ? AD ? AD ? AA? ? AA? ?| AB |2 ? | AD |2 ? | AA? |2 , 即 AC? ? AB ? AD ? AA? .
2 2 2 2

???? ?

??? ??? ??? ??? ???? ???? ? ? ? ?

三、讲解范例: 例 1 如图平行六面体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, ?A?AB ? ?A?AD, ?BAD ?
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?
3



AB ? AD ? a, AA? ? b ,求对角面 BB?D?D 的面积 ??? ???? ??? ? ? 解:∵ BD ? AD ? AB ,

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D' A' D A B' C B

C'

???? ??? ???? ??? ??? ? ? ? ∴ AA? ? BD ? AA? ? ( AD ? AB) ,
∵ ?A?AB ? ?A?AD , AB ? AD ? a, AA? ? b ,

∴ AA? ? BD ? AA? ? ( AD ? AB) ? ab(cos ?A?AB ? cos ?A?AD) ? 0 , ∴ AA? ? BD ,∵ AA? // DD? ,∴ DD ? ? BD , 所以,对角面 BB ?D ?D 是矩形,它的面积是 BD ? BB? ? ab . 例 2.已知:正四棱柱 ABCD ? A?B?C ?D? 的底面边长为 2 ,侧棱长为 2 , (1)求二面角 B? ? AC ? B 的大小; (2)求点 B 到平面 AB?C 的距离 解: (1)连结 BD ,设 AC , BD 交于 O ,连结 B?O , ∵ ABCD 是正方形,∴ BO ? AC , 又∵ BB? ? 底面 ABCD , A' ∴ B?O ? AC ,∴ ?B?OB 是二面角 B? ? AC ? B 的平面角,
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???? ??? ?

???? ??? ??? ? ?

D' B' D O B H

C'

1 在 Rt ?B?OB 中, OB ? AC ? 2 ,又 BB? ? 2 , 2

C

A

∴ ?B?OB ? 45 ,∴二面角 B? ? AC ? B 为 45 .
? ?

(2)作 BH ? B ?O 于 H ,∵ AC ? 平面 B?OB ,∴ BH ? AC , ∴ BH ? 平面 AB?C ,即 BH 为点 B 到平面 AB?C 的距离, 在等腰直角三角形 B?OB 中,∵ BB? ? BO ? ∴ BH ? 1, 所以,点 B 到平面 AB?C 的距离为 1 . 例 3.棱长为 a 的正方体 OABC ? O?A?B?C ? 中, E , F 分别为棱 AB, BC 上的动 点,且 AE ? BF ? x(0 ? x ? a) , (1)求证: A?F ? C ?E ; A' ( 2 ) 当 ?BEF 的 面 积 取 得 最 大 值 时 , 求 二 面 角 B? ? EF ? B 的大小. 证: (1)以 O 为原点,直线 OA, OC, OO? 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, ∴ AE ? BF ? x ,
A x O' B' z

2,

C'

O F E B

C y

则 A?(a,0, a) , C ?(0, a, a) , E (a, x,0) , F (a ? x, a,0) , ∴ A?F ? (? x, a, ?a), C?E ? (a, x ? a, ?a) ,

???? ?

???? ?

A?F ? C?E ? ?ax ? a( x ? a) ? a 2 ? ?ax ? ax ? a 2 ? a 2 ? 0 ,
∴ A?F ? C ?E . (2)由 BF ? x, EB ? a ? x ,
A' O' B' C'

则 S?BEF

1 1 x ? a ? x 2 a2 ? x(a ? x) ? ( ) ? , 2 2 2 8

O
M

C F B E

A

a 时等号成立,此时 E , F 分别为 AB, BC 的中点, 2 取 EF 的中点 M ,连 BM ,则 BM ? EF , ? 根据三垂线定理知 EF ? B?M ,∴ ?BMB 即为二面角 B? ? EF ? B 的平面角,
当且仅当 x ? a ? x ,即 x ? 在 Rt ?BMF 中, BM ?

2 2 BF ? a, BB? ? a , 2 4

在 Rt ?B?BM 中, tan ?B?MB ?

B?B ? BM

a ?2 2, 2 a 4

所以,二面角 B? ? EF ? B 的大小是 arctan2 2 . 例 4 如图, 、 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A' B' C ' D' 的棱 BB ' 、B 'C ' M N 的中点.求异面直线 MN 与 CD' 所成的角. 解:∵ MN =

1 (CC ' ? BC ) , CD' = CC ' ? CD , 2 1 (CC ' ? BC ) · (CC ' ? CD ) 2

∴ MN ·CD' = =

1 ( | CC' |2 + CC' ·CD + BC ·CC' + BC·CD ). 2 ∵ CC ' ? CD , CC ' ? BC , BC ? CD ,
∴ CC ' ·CD ? 0 , BC ·CC ' ? 0 , BC ·CD ? 0 , ∴ MN ·CD' = 又∵ | MN |?

1 1 | CC' |2 = . 2 2

2 , | CD' |? 2 , 2

∴ cos< MN ,CD' >=

MN ·CD ' MN ·CD '
?



1 2 2 · 2 2

?

1 , 2

∴< MN ,CD' >= 60 ,即异面直线 MN 与 CD' 所成的角为 60 . 评述 由以上例题,可以看到利用向量解几何题的一般方法:把线段或角度转 化为向量表示式,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算去计算或 证明. 四、课堂练习: 1 ?正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, AA ? 1 , M 为 AD 中点, N 为 BD1 上一 1 1
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?

点, D1 N : NB ? 1: 2 , MC ? BD ? P ,

D1

(1)求证: NP ? 平面 ABCD ; (2)求平面 PNC 与平面 CC1D1D 所成的角; (3)求点 C 到平面 D1MB 的距离
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C1 A1 B1

N

M

D P

C

A

B

2.直平行六面体的两条对角线分别为 9cm 和 33cm ,底面周长为 18cm ,侧 棱长为 4cm ,求它的表面积
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五、小结 : 平行六面体的概念.直平行六面体、长方体、正方体的关系.长方
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体对角线的性质.能利用长方体对角线的性质计算有关长度与角度的问题. 解 决棱柱中有关线线、线面、面面问题时,常用的方法是推理法、向量法,推理及 运算时要灵活的结合运用棱柱的性质 六、课后作业:
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七、板书设计(略) 八、课后记:

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