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江西省某知名中学高中数学奥林匹克竞赛训练题(183)(无答案)_2

江西省上饶县中学 2017-2018 学年高中数学奥林匹克竞赛训练题 (183) (无答案) 第一试 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 2 2 1. 已知互异的复数 a、 b 满足 ab ? 0 ,集合 ?a, b? ? a , b .则 a ? b ? . ? ? 2. 已知正整数 a 使得函数 f ( x) ? x ? 13 ? 2ax 的最大值也为正整数.则函数的最大值为. 3. 在正项等比数列 ?an ? 中,a5 ? 正整数 n 的值为. 4. 已知函数 f ( x) ? sin 1 , a6 ? a7 ? 3 .则满足 a1 ? a2 ? 2 ? an ? a1a2 an 的最大 ? 2 x ,任取 t ? R ,记函数 f ( x) 在区间 ?t , t ? 1? 上的最大值为 M t ,最 小值为 mt , h(t ) ? M t ? mt .则函数 h(t ) 的值域为. 5. 在直角坐标平面上,已知点 A(0, 2), B (0,1), D (t , 0)(t ? 0), M 为线段 AD 上的动点.若 AM ? 2 BM 恒成立,则正实数 t 的最小值为. 6. 记 ? x? 表 示 不 超 过 实 2 数 2 x 的 最 大 整 数 . 设 集 合 A ? ( x, y) x2 ? y 2 ? 1 , B ? ( x, y) ? x? ? ? y ? ? 1 .则 A B 所表示的平面区域的面积为. E 、 F 分别在棱 PA、PB、PC 7. 如图 1, 已知正三棱锥 P ? ABC 的所有棱长均为 4, 点 D、 上.则满足 DE ? EF ? 3, DF ? 2 的 ?DEF 共有个. ? ? ? ? 8. 已知 1 ? x、y、z ? 6 .则正整数 x、y、z 的乘积能被 10 整除的情形有种. 6EDBC319F25847 二、解答题(共 56 分) 2 9.(16 分)已知函数 f ( x ) ? x ? a ,其中, a 为正常数.若恰有两组解 (m, n) ,使得 f ( x ) 在 定义域 ? m, n ? 上的值域也为 ? m, n ? ,求 a 的取值范围. 10. (20 分) 已知数列 ?an ?n?0 满足 a0 ? 0, a1 ? 1 , 对于所有正整数 n 有 an?1 ? 2an ? 2013an?1 . 求使得 2014 an 成立的最小正整数 n . 11.(20 分)已知 ?ABC 的三个顶点在椭圆 明: ?ABC 的面积为定值. x2 y 2 ? ? 1 上,坐标原点 O 为 ?ABC 的重心.证 a 2 b2 6EDBC319F25847 加 一、 (40 分)如图 2,已知 ?ABC 内切圆 线 AD、CF 分别与 试 I 分别与边 AB、BC、AC 切于点 F、D、Q ,直 I 交于另一点 H 、K .证明: FD HK ? 3. FH DK 6EDBC319F25847 二、 (40 分)对正合数 n ,记 f ( n) 为其最小的三个正约数之和, g (n) 为其最大的两个正约数 之和.求所有的正合数 n ,使得 g (n) 为 f ( n) 的某个正整数次幂. 6EDBC319F25847 三、 (50 分)设正整数 n ? 2 .求 f ( n) 的最大值,使得对所有满足 xi ? (0,1)(i ? 1, 2, , n) ,且 1 (1 ? xi)(1 ? x)j ? (1 ? i ? j ?)n 的实数 x1 , x2 , 4 , xn 均有 ? x ? f (n) ? i ?1 i n 1?i ? j ? n (2 xi x j ? xi x j ) . 6EDBC319F25847 四、(50 分)一次循环赛中有 2n ? 1 支参赛队,其中每队与其他队均只进行一场比赛,且比赛结 果中没有平局.若三支参赛队 A、B、C 满足: A 击败 B , B 击败 C , C 击败 A ,则称它们形成 一个“环形三元组”.求 (1)环形三元组的最小可能数目; (2)环形三元组的最大可能数目. 6EDBC319F25847

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