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江苏省常州市第一中学、江阴南菁高中2016届高三数学两校联考试题


常州市第一中学、江阴南菁高中 2016 届高三两校联考 数学试题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.已知集合 A ? {2 ? a , a} , B ? {?1 , 1 , 3} ,且 A ? B ,则实数 a 的值是 2. “ a ? 1 ”是“ (a ? 1) x ? 2 对 x ? (1, ??) 恒成立”的 充要” ) .
2







.条件(填“充分不必要、必要不充分、

3.已知 m,n 为实数,若关于 x 的不等式 x +mx+n<0 的解集为(—1,3),则 m+n 的值为





4.函数 y ? 3 sin x ? cos x ? 2( x ? 0) 的值域是



.

5.已知抛物线 y =2px 过点 M(2,2),则点 M 到抛物线焦点的距离为 6. 底面边长为 a 的正四面体的体积为 ▲ .

2





7.已知 F 是椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左焦点, A 为右顶点, P 是椭圆 a 2 b2

上一点, PF ? x 轴.若 PF ?

1 AF ,则该椭圆的离心率是 4





8 . 已 知 ?ABC 的 一 个 内 角 为 120? , 并 且 三 边 长 构 成 公 差 为 4 的 等 差 数 列 , 则 ?ABC 的 面 积 为 ▲ . 9.已知 f ( x) 是 定义在 R 上的函数,且对任意 x ? R 都有 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) ? 4 f (2) ,若函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (?1, 0) 对称,且 f (1) ? 3 ,则 f (2015) ? ▲ . 10.在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB//DC,∠ABC=60°,BC= 且 BE = ? BC , DF =

??? ?

??? ?

????

??? ? ??? ? 1 ???? DC ,则 AE · BF 的最小值为 2?

1 AB=2,动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上, 2 F
D ▲ .

C E

A 11.已知函数 f ( x) ? e ,对于实数 m 、 n 、 p 有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) , . f (m ? n ? p) ? f (m) ? f (n) ? f ( p) ,则 p 的最大值等于
x

B
(第 10 题图)

g ? x? a (a ? R ) , g ? x ? ? ln x ,若关于 x 的方程 2 ? f ? x ? ? 2e ( e 为自然对数的 x x 底数)只有一个实数根, 则 a = ▲ .
12.已知函数 f ? x ? ? x ?

1

13.设 a1 , a2 ,?, an 是各项不为零的 n ( n ? 4 )项等差数列,且公差 d ? 0 .若将此数列删去某一项 后,得到的数列(按原来顺序)是等比数列,则所有数对 ? n,

? ?

a1 ? ? 所组成的集合为 d?





14.已知 P 点为圆 O1 与圆 O2 公共点,圆 O1 : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? b2 +1,圆 O2 :( x ? c) 2 ? ( y ? d ) 2 ? d 2 +1 ,若

ac ? 8,

a c ? ,则点 P 与直线 l : 3x ? 4 y ? 25 ? 0 上任意一点 M 之间的距离的最小值为 b d





二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程 或演算步骤,并把答案写 在答题纸的指定区域内) 15. (本题满分 14 分) ?? ?? ? ? 在△ABC 中, a, b, c 分别为角 A、B、C 的对边,若 m =( sin 2 B ? C , 1 ), n ? (?2,cos 2 A ?1) ,且 m ? n . 2 (1)求角 A 的度数; (2)当 a ? 2 3 ,且△ABC 的面积 S ? ▲ ▲ ▲

a 2 ? b2 ? c2 时,求边 c 的值和△ABC 的面积。 4 3

16. (本题满分 14 分) 已 知 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , D, E 分 别 为 AA1 , CC1 的 中 点 , AC ? BE , 点 F 在 线 段 AB 上 , 且

AB ? 4AF .
(1)证: BC ? C1D ; (2)若 M 为线段 BE 上一点,试确定 M 在线段 BE 上的位置,使得 C1 D / / 平面 B1 FM . ▲ ▲ ▲ B1 C1 A1 D A
2

E C

B

F

17. (本题满分 14 分) 如图,相距 14km 的两个居民小区 M 和 N 位于河岸 l(直线)的同侧,M 和 N 距离河岸分别为 10km 和 8km.现要在河的小区一侧选一地点 P,在 P 处建一个生活污水处理站,从 P 排直线水管 PM,PN 分别到两 个小区和垂直于河岸的水管 PQ,使小区污水经处理后排入河道.设 PQ 段长为 t km(0 < t < 8) . M (1)求污水处理站 P 到两小区的水管的总长最小值(用 t 表示) ; (2)请确定污水处理站 P 的位置,使所排三段水管的总长最小,并 求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度. ▲ ▲ ▲
N

P Q 河 l

18.(本题满分 16 分)

x y 3 已知椭圆 E: 2+ 2=1 过点 D(1, ),且右焦点为 F(1,0),右顶点为 A.过点 F 的弦为 BC.直线 BA, a b 2
直线 CA 分别交直线 l:x=m,(m>2)于 P? Q 两点. (1) 求椭圆方程; (2) (2)若 FP⊥FQ,求 m 的值.
F O A B x y D C P

2

2



▲ ▲

Q 3

19. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? a x ? x 2 ? x ln a (a ? 0, a ? 1). (1)求函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 单调递增区间; (3)若存在 x 1 , x 2 ? [?1,1] ,使得 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? e ? 1(e 是自然对数的底数) ,求实数 a 的取值范围. ▲ ▲ ▲

20. (本题满分 16 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且对任意的 k ? N * , a2 k ?1 , a2 k , a2 k ?1 成等比数列,其公比为 qk . (1)若 qk =2( k ? N * ),求 a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a2 k ?1 ; (2)若对任意的 k ? N * , a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等差数列,其公差为 d k ,设 bk ? ① 求证: {bk } 成等差数列,并指出其公差; ②若 d1 =2,试求数列 {d k } 的前 k 项的和 Dk . ▲ ▲ ▲

1 . qk ? 1

一、填空题: 1.1 ; 2.充分不必要; 3.-5; 4. [-4,0] ; 5. 10. 4 6 ? l3 ;11. 2ln 2 ? ln 3 ; 12. e ?
2

5 3 2 3 a ; 7. ; 8.15 3 ; 9. ?3 ; ; 6. 2 4 12

1 ; 13. ?(4, ?4),(4,1)? ; 14.2. e
4

二、解答题:

15. (本题满分 14 分) 【解】 : (I)由于 m ? n ,所以

??

?

?? ? B?C A m ? n ? ?2sin 2 ? cos 2 A ? 1 ? 1 ? 2 cos 2 ? 2 cos 2 A ? 1 ? 2 cos 2 A ? cos A ? 1 2 2 ? (2cos A ? 1)(cos A ? 1) ? 0 . ....................................3 分 1 所以 cos A ? ? 或 1( 舍去) ,....................................5 分 2 又因为 A ? (0, ? ) . ...................................6 分 2 即角 A 的度数为 ? .....................................7 分 3 3 a 2 ? b2 ? c2 (II)由 S ? 及余弦定理得: tan C ? ,....................................9 分 3 4 3 ? 又因为 A ? (0, ? ) ∴ C ? ....................................10 分 6 a c ? 又由正弦定理 得c ? 2, ....................................12 分 sin A sin C 1 所以 ?ABC 的面积 S ? ac sin B ? 3 。 .....................................14 分 2
16. (本题满分 14 分) 【解】 : ⑴ 直 三 棱 柱 可
C
1



CC1 ?





ABC

,

AC ?





ABC,
C1





? C

A C ,....................................1 分
B1

又因为 AC ? BE, CC1 ? BE ? E , CC1 ? 平面 BCE, BE ? 平面 BCE, AC ? 面 BCE , 故

A1

E M C D F A

B ....................................4 分 又在直三棱柱中, CC1 ? BC, AC ? CC1 ? C , AC ? 平面 ACC1 , CC1 ? 平面 ACC1 ,
AC ? BC ,

故 BC ? 面 ACC1 , C1 D 在平面 ACC1 内,所以 BC ? C1D ....................................7 分 (2)连结 AE,在 BE 上取点 M,使 BE=4ME, ....................................8 分 连结 FM, B1M ,F B1 ,在 ?BEA 中,由 BE=4ME,AB=4AF....................................10 分 所以 MF//AE, ....................................11 分 又在面 AA1C1C 中,∵ C1E ? AD 且 C1E / / AD ,∴C1D//AE,又 MF//AE,所以 C1 D / / MF,

C1D ? / 平面 B1FM , FM ? 平面 B1FM , C1 D / / 平面 B1FM ....................................14 分
17. (本题满分 14 分) 【解】 : (1) 如图, 以河岸 l 所在直线为 x 轴, 以过 M 垂直于 l 的直线为 y 轴建立直角坐标系, 则可得点 M (0, 10) , 由 MN=14,MO=10,NN’=8 点 N (8 3, 8) ...................................2 分 设点 P( s, t ) ,过 P 作平行于 x 轴的直线 m,作 N 关于 m 的对称点 N ? ,则 N ?(8 3, 2t ? 8) .

5

所以 PM ? PN ? PM ? PN ?≥MN ? ? (8 3 ? 0) 2 ? (12t ? 8 ? 10) 2

y

? 2 t 2 ? 18t ? 129 (0 ? t ? 8)
求.

即 为 ...................................6 分



M N

(2)设三段水管总长为 L ,则由(1)知
m L ? PM ? PN ? PQ≥MN ? ? PQ ? t ? 2 t 2 ? 18t ? 129 (0 ? t ? 8) , P 所 以 l Q 2 2 ......................... ( L ? t ) ? 4(t ? 18t ? 129) , ' O N 河 ..........8 分 即 方 程 3t 2 ? (2L ? 72)t ? (516 ? L2 ) ? 0 在 t ? (0, 8) 上 有 解. ...................................9 分 2 2 2 故 ? ? (2L ? 72) ? 12(516 ? L )≥0 ,即 L ? 18L ? 63≥0 , 解 得 L≥21 或 L ≤ ? 3 , 所 以 L 的 最 小 值 为 21 , 此 时 对 应 的 t ? 5 ? (0, 8) . ...................................11 分

x

故 N ?(8 3, 2) , MN ? 方程为 y ? 10 ? 从 而

3 x ,令 y ? 5 得 x ? 5 3 ,即 P(5 3, 5) . 3
PM ? (5 3) 2 ? (5 ? 10) 2 ? 10


PN ? (5 3 ? 8 3) 2 ? (5 ? 8) 2 ? 6 ....................................13 分
答:满足题意的 P 点距河岸 5km,距小区 M 到河 岸的垂线 5 3 km,此时污水处理站到小区 M 和 N 的水管长 度 分 别 为 10km 和 6km. ...................................14 分 18.(本题满分 16 分) 【解】 : 1 9 2 2 2 2 (1) 2+ 2=1,a -b =1,解之得 a =4,b =3, a 4b 所以椭圆方程为 + =1; 4 3 (2)设 B(x0,y0),则 BC:y=
y D F O B A x C P

x

2

y

2

...................................4 分 (x-1),...................................5 分 x0-1
0 0

y0

Q (x-1), ?y=x y -1 与椭圆 E: + =1 联立方程组:? ...................................4 分 x y 4 3 ? 4 + 3 =1.

x2 y2

2

2





x



x0



y



y0



x



8-5x0 5-2x0



y



-3y0 5-2x0







C(

8-5x0 -3y0 , )...................................6 分 5-2x0 5-2x0 -3y0 x02 9(1- ) 2 5-2x0 4 y0 y0 3y0 3y0 kABkAC= ? = ? = = 2 =- x0-2 8-5x0 x0-2 x0+2 x02-4 x0 -4 -2 5-2x0

9 . ..................................10 分 4 显然 kAB=kAP,kAC=kAQ,所以 kAPkAQ=- 9 . ..................................12 分 4
6

y1 m-2 m-2 m-2 = ? = kAQ,同理 kFP= m-1 m-2 m-1 m-1 m-1 kAP...................................1 4 分 m-2 2 9 m-2 2 m-2 2 所以 kFP kFQ=( ) kAPkAQ=- ( ) =-1,又 m>2,所以 = ,所以 m=4............16 分 m-1 4 m-1 m-1 3 19. (本题满分 16 分) 【解】 : ⑴因为函数 f ( x) ? a x + x 2 ? x ln a (a ? 0, a ? 1) ,
设 Q(m,y1),kFQ= 所以 f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a , f ?(0) ? 0 , 又 因 为 f (0) ? 1 , 所 以 函 数 f ( x) y ? 1 ...................................3 分 在 点

y1

(0, f (0)) 处 的 切 线 方 程 为

⑵ 由⑴, f ?( x) ? a x ln a + 2 x ? ln a ? 2 x + (a x ? 1)ln a . a ? 0, a ? 1 因 为 当 时 , 总 有 在 上 R f ?( x) 数, ..................................5 分 又 f ?(0) ? 0 ,所以不等式 f ?( x) ? 0 的解集为 (0, +?) , 故 函 数 的 单 调 增 区 f ( x) ..................................7 分 (0, +?) . ⑶因为存在 x1 , x2 ? [?1,1] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥ e ? 1 成立, 而当 x ? [?1,1] 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ f ( x) max ? f ( x) min , 所以只要 f ( x) max ? f ( x) min ≥ e ? 1 即可. 分 又因为 x , f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表所示:











..................................8

x

(??,0)

0
0
极小值

(0, +?)

f ?( x)

?
减函数

+
增函数

f ( x)

所 以 f ( x) 在 [?1,0] 上 是 减 函 数 , 在 [0,1] 上 是 增 函 数 , 所 以 当 x ? [?1,1] 时 , f ? x ? 的 最 小 值

f ? x ?min ? f ? 0 ? ? 1 , f ? x ? 的最大值 f ? x ?max 为 f ? ?1? 和 f ?1? 中的最大值. .......................10
分 因为 f (1) ? f (?1) ? ( a + 1 ? ln a) ? ( + 1 + ln a) ? a ? 令

1 a

1 ? 2ln a , a
, 因 为

g (a) ? a ?

1 ? 2ln a(a ? 0) a

1 2 1 ? ? (? 1 2? ) , 0..................................11 分 2 a a a 1 所以 g (a ) ? a ? ? 2ln a 在 a ? ? 0, ?? ? 上是增函数.而 g (1) ? 0 , a 故当 a ? 1 时, g ? a ? ? 0 ,即 f (1) ? f (?1) ; g ?(a )? 1 +
g ?a? ? 0 , 即 . ..................................13 分 f (1)? f ? ( 1) 所以,当 a ? 1 时, f (1) ? f (0) ≥ e ? 1 ,即 a ? ln a ≥ e ? 1 ,函数 y ? a ? ln a 在 a ? (1, ??) 上是增函数,解 1 1 得 a ≥ e ;当 0 ? a ? 1 时, f (?1) ? f (0) ≥ e ? 1 ,即 ? ln a ≥ e ? 1 ,函数 y ? ? ln a 在 a ? (0,1) 上是减函 a a 数 , 解 得


0 ? a ?1





7

1 0 ? a≤ . e 综 上 可 知 1 a ? (0, ] ? [e, +?) . e 20. (本题满分 16 分) 【解】 :
( 1 )因为 qk ? 2 ,所以

..................................15 分 , 所 求

a













..................................16 分

a2 k ?1 ? 4 ,故 a1 , a3 , a5 ,? , a2 k ?1 是首项 a1 ? 1 ,公比为 4 的等比数列,所以 a2 k ?1

a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 k ?1 ?

1 ? 4n 1 n ? (4 ? 1) . 1? 4 3

..............................

....2 分 (2)因为 a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等差数列,所以 2 a2 k ?1 ? a2 k ? a2 k ? 2 而



a2 k ? 1

a2 k ?1 , a2 k ? 2 ? a2 k ?1 ? qk ?1 qk ?







1 ? qk ?1 ? 2 qk



..................................4 分 所以 bk ?1 ? 所 以

qk ?1 ? 1

qk ? bk ? 1 ,即 bk ?1 ? bk ? 1 , qk ? 1
成 等 差 数 列 , 其 公 差 为

{bk }

1. ................... ...............6 分 (3)因为 d1 ? 2 ,所以 a3 ? a2 ? 2 ,即 a2 2 ? a1a3 ? a2 ? 2 , 所 以

a2 ? 2
..................................7 分



a2 ? ?1 .
(ⅰ)当 a2 ? 2 时, q1 ?

a2 1 ? 2 ,所以 b1 ? ? 1 ,所以 bk ? 1 ? (k ? 1) ?1 ? k , a1 qk ? 1 a k ?1 1 k ?1 2 即 得 qk ? . 所以 2 k ?1 ? qk 2 ? ( .................................9 ?k, ) , k qk ? 1 a2 k ?1 k


a k ?1 2 k 2 2 ) ?( ) ?? ? ( ) 2 ? a1 ? ( k ? 1) 2 , a2 k ? 2 k ?1 ? k (k ? 1) , k k ?1 1 qk 所 以 , dk ? a ? 2 k ? 1 ? a2 k ? k 1 k (2 ? k ? 1) k (k ? 3) . ..................................11 分 Dk ? ? 2 2 a 1 3 1 1 (ii)当 a2 ? ?1 时, q1 ? 2 ? ?1 ,所以 b1 ? ? ? , bk ? ? ? (k ? 1) ? 1 ? k ? , 2 2 a1 qk ? 1 2 1 1 k? k? a 1 3 2 2. 2 )2 , 即 得 qk ? 所以 2 k ?1 ? qk ? ( ..................................13 ?k? , 3 3 a qk ? 1 2 2 k ? 1 k? k? 2 2
a2 k ?1 ? (


1 3 1 k? 1? 2 )2 ? ( 2 ) 2 ?? ? ( 2 ) 2 ? a ? (2k ? 1) 2 , a ? a2 k ?1 ? (2k ? 1)(2k ? 3) , a2 k ?1 ? ( 1 2k 3 5 3 qk k? k? 1? 2 2 2 d k ? a2 k ? 1? a k2 ? 4k ? 2 所 以 k?


8

k (2 ? 4k ? 2) ..................................15 分 ? 2k 2 . 2 k (k ? 3) 综合得 Dk ? , 或 Dk ? 2k 2 . ..................................16 2 Dk ?


9


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