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【数学】河北省衡水中学11-12学年高一上学期期末考试(理)

2011—2012 学年度第一学期期末考试 高一年级数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。 一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案 的序号填涂在答题卡上) 1. 已知集合 A ? {x ? Z || x ? 1 |? 2}, B ? {x | log2 ( x ? 1) ? 1} , 则集合 A∩B 的元素个数 ( )

A 0

B 2

C 5

D 8 )

2. 已知定义在 R 上的函数 f(x)关于直线 x=1 对称, f(x)=x(1-x)(x≥1), f(-2)= 若 则 ( A 0 B -2 C -6 D -12 3. 设函数 f(x)=x +2(a-1)x+2 在区间 (-∞,4 ? 上是减函数, 则实数 a 的范围是 (
2



A

a≥-3

B a≤-3

C a≥3

D a≤5

4. 一个几何体的三视图如右图所示(单位长度: cm ) , 则此几何体的体积是(
3 A 112 cm

) B

224 cm3 3

3 C 96 cm

3 D 224 cm

a 5.若 a、b是任意实数,且 ? b ,则下列不等式成立的是(
A a ?b
2 2

) D ( ) ?( )
a

B

b ?1 a

C lg( a ? b) ? 0

1 3

1 3

b

6.过点(2,1)且在 x 轴、y 轴截距相等的直线方程为( A x ? y ?3?0



B x ? y ? 3 ? 0 或 x ? y ?1? 0

C x ? y ? 3? 0或 y ?

1 x 2

D

x ? y ?1? 0或 y ?

1 x 2
) D ?

7.已知点 A(-3,-4) ,B(6,3)到直线 l : ax ? y ? 1 ? 0 的距离相等,则 a 的值( A

?

7 9

B ?

1 3

C ?

7 1 或? 9 3

7 或1 9

8.在正三棱锥 A ? BCD 中, E , F 分别是 AB , BC 的中点, EF ? DE 且 BC ? 2 ,若此正三 棱锥的四个顶点都在球 O 的面上,则球 O 的体积是( A ) D 3 3?

3 ? 6

B

3 ? 2

C

3 ? 3

y 最大值是( ) x ?1 3 3 A 3 B C 1 D 3 2 2 2 2 2 10. 圆 C 1 : x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 与 圆 C 2 : x ? y ? 4x ? 4 y ? 1 ? 0 的 公 切 线 有 几 条
9.如果实数 x、y 满足 x 2 ? y 2 ? 6x ? 8 ? 0 ,那么 ( ) A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 )

11.函数 f (x ) ? x 2 ? 2x ? 2 ? x 2 ? 4x ? 8 的最小值为( A 2 12.已知直线 B3 2 C 10 D 2?2

x y ? ? 1 ( a, b 是非零常数)与圆 x 2 ? y 2 ? 1 有公共点,且公共点的横坐 a b

标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有( ) A 4条 B6条 C0条 D 10 条

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上) 13. 若直线 mx ? y ? 5 ? 0 与直线 (2m ? 1)x ? my ? 6 ? 0 互相垂直,则实数 m =_____
2 2 14.已知点 P( x, y ) 是直线 kx ? y ? 4 ? 0(k ? 0) 上一动点,PA、PB 是圆 C : x ? y ? 2 y ? 0

的两条切线,A、B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为 15.如果直线 l : y ? kx ? 5与圆x ? y ? 2x ? my ? 4 ? 0 交于 M、N 两点,且 M、N 关于直
2 2

线 2 x ? y ? 0 对称,则直线 l 被圆截得的弦长为



16.函数 f (x ) 的定义域为 A,若 x 1 , x 2 ? A 且 f (x 1 ) ? f (x 2 ) 时总有 x 1 ? x 2 ,则称 f (x ) 为 单函数.例如,函数 f (x ) =2x+1( x ? R )是单函数.下列命题: ① 函数 f (x ) ? x 2 (x ? R)是单函数; ② f (x ) 为单函数, x 1 , x 2 ? A 且 x 1 ? x 2 ,则 f (x 1 ) ? f (x 2 ) ; 若

③ f:A→B 为单函数,则对于任意 b ? B ,它至多有一个原象; 若 ④ 函数 f (x ) 在某区间上具有单调性,则 f (x ) 一定是单函数. 其中的真命题是_________. (写出所有真命题的编号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出证明过程或演算步骤,写在答题纸的 相应位置) 17. (本小题满分 10 分)已知不等式 x ? 3x ? t ? 0 的解集为 x 1 ? x ? m, x ? R
2

?

?

(1)求 t 、 m 的值; (2) 若 函 数 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? 4 在 区 间 (??,1] 上 递 增 , 求 关 于 x 的 不 等 式

loga (?mx2 ? 3x ? 2 ? t ) ? 0 的解集。
18.本小题满分 12 分)如图(1) ,边长为 2 的正方形 ABEF 中, D, C 分别为 EF , AF 上的 点 , 且 ED ? CF , 现 沿 DC 把 ?CDF 剪 切 、 拼 接 成 如 图 ( 2 ) 的 图 形 , 再 将

?BEC, ?CDF, ?ABD 沿 BC , CD, BD 折起,使 E , F , A 三点重合于点 A ? 。
(1)求证: B A ? ? CD ; (2)求四面体 B ? A ?CD 体积的最大值。

B A E D
图() 1

B

B A E C (D) D(C) F 图(2)

A?
C
图(3)

C F

D

19. (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 的顶点 A(0, 1) , AB 边上的中线 CD 所在的直线方 程为 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 , AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 y ? 0 . (1)求 ?ABC 的顶点 B 、 C 的坐标; (2)若圆 M 经过 A 、 B 且与直线 x ? y ? 3 ? 0 相切于点 P (-3,0) ,求圆 M 的方程.

20. (本小题满分 12 分)已知圆 C 的圆心为原点,且与直线 x ? y ? 4 2 ? 0 相切。 (1)求圆 C 的方程; (2)点 P 在直线 x ? 8 上,过 P 点引圆 C 的两条切线 PA, PB ,切点为
A y P

O B

x

A, B ,求证:直线 AB 恒过定点。

21.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PD=AD,∠DAB=60°, PD⊥底面 ABCD. (1)求作平面 PAD 与平面 PBC 的交线,并加以证明; (2)求 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值; (3)求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的正切值。

22. (本小题满分 12 分) 过圆 C : ( x ? 6)2 ? ( y ? 4)2 ? 8 上一点 A(4,6)作圆的一条动弦 AB,点 P 为弦 AB 的中点. (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设点 P 关于 x ? 1的对称点为 E,关于 y ? x 的对称点为 F,求|EF|的取值范围.

1—5 BDBBD 13.1 或 0

6—10 CCBBC 14.2
2

11—12 CA 9 15. (文) (理)4. 2

16. ②③

17.解 (1)因为不等式 x ? 3x ? t ? 0 的解集为 x 1 ? x ? m, x ? R ,所以 ? 解得 m=2,t=2 (4 分) (2) 因 为 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? 4 在 区 间 ( ? ?,1] 上 递 增 , 所 以

?

?

?1 ? m ? 3 , m?t ?

a ?1? a ? 2 , 又 2 l o a (?mx2 ? 3x ? 2 ? t ) ? l o a (?2x 2 ? 3x) ? 0 , 由 a ? 2 ? 0 ? ?2 x 2 ? 3x ? 1 , 解 得 g g

? 1 ? x 0 ? x ? 或1 ? x ? 2 ?

3? ? 2?

(10 分)

18.(1)证明:折叠前, BE ? EC, BA ? AD ,折叠后 BA? ? A?C, BA? ? A?D 又 A?C ? A?D ? A? ,所以 BA? ? 平面 A?CD ,因此 BA? ? CD 。 (2)解:设 A?C ? x ? 0 ? x ? 2? ,则 A?D ? 2 ? x 。因此 S? A?CD ? (4 分)

1 x ? 2 ? x ? , (8 分) 2

1 1 1 1 2 ?VB ? A?CD ? BA? ? S? A?CD ? ? 2 ? x ? 2 ? x ? ? ? ? ? x ? 1? ? 1? ? 3? 3 3 2 1 所以当 x ? 1 时,四面体 B ? A?CD 体积的最大值为 。 (12 分) 3
19.解: (1) AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 y ? 0 ,所以, AC : x ? 0 , 又 CD : 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,所以, C (0, ? ) ,设 B(b,0) ,则 AB 的中点 D ( , ) ,代入方程

1 2

b 1 2 2

2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,解得 b ? 2 ,所以 B(2, 0) . (4 分)
(2)由 A(0, 1) , B(2, 0) 可得,圆 M 的弦 AB 的中垂线方程为 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,① 由与 x-y+3=0 相切,切点为(-3,0)可得,圆心所在直线为 y+x+3=0,② ① ②联立可得, M ( ? 半径 MA ?

1 5 ,? ), 2 2

(8 分)

1 49 50 ,所以所求圆方程为 x2 ? y 2 ? x ? 5 y ? 6 ? 0 。 (12 分) ? ? 4 4 2

20.解: (1)依题意得:圆 C 的半径 r ? 分)

4 2 (4 ? 4 ,所以圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 16 。 1?1

(2)? PA, PB 是圆 C 的两条切线,?OA ? AP, OB ? BP 。? A, B 在以 OP 为直径的圆 上。 设点 P 的坐标为 ?8, b? , b ? R ,则线段 OP 的中点坐标为 ? 4, ? 。

? ?

b? 2?

b? 2 ? ?b? ? 以 OP 为直径的圆方程为 ? x ? 4? ? ? y ? ? ? 42 ? ? ? , b ? R (8 分) 2? ? ? 2?
2 2 化 简 得 : x ? y ? 8x ? by ? 0, b ? R ? AB 为 两 圆 的 公 共 弦 , ? 直 线 AB 的 方 程 为

2

2

8x ? by ? 16, b ? R
所以直线 AB 恒过定点 ? 2, 0 ? 。 (12 分) 21. ( 文 )( 1 ) ? 底 面 ABCD ABCD,? AC ? PD ,? PD ? BD ? D ( 2 ) 设 PD=AD=1, 设 A 为 菱 形 , ? AC ? BD , ? PD ⊥ 底 面

? AC ? 平面PDB ,? AC ? PB (4 分)
到 平 面 PBC 的 距 离 为 h , 则 由 题 意 PA=PB=PC= 2 , S ?ABC ?

1 1 3 ? 3? ? 2 2 4

在等腰 ? PBC 中,可求 S ?PBC ?

1 1 7 ? 1? ( 2 ) 2 ? ( ) 2 ? 2 2 4

1 7 1 3 21 ,可得 h= , ? ? 1? ?VA? PBC ? VP? ABC ,? ? h ? 3 4 3 4 7 21 h 42 (12 分) ? sin ? ? ? 7 ? PA 14 2 BC (理)1) P 作 BC 的平行线 L 即为所求。2 分) ( 过 ( 因为 BC∥AD, ? 面PAD , AD ? 面PAD , 所以 BC∥平面 PAD,因为平面 PAD ? 平面 PBC=L,所以 BC∥L (5 分)
(2) 设 PD=AD=1,由题意可知,PA=PB=PC= 2 ,取 BC 中点 M,连 PM、DM,则 PM⊥BC,因为 PD ⊥ BC, 又 BC ∥ L , 所 以 ?DPM 为 所 求 。( 8 分 ) 在 Rt?PDM 中 ,

3 DM 3 t a ?DPM ? n ? 2 ? (12 分) PD 1 2
22. (1)连结 PC,由垂径分弦定理知,PC⊥AB,所以点 P 的轨迹是以线段 AC 为直径的 圆(除去点 A).因为点 A(4, C(6, 则其中点 C1 坐标为(5, 又圆半径 r ? 6), 4), 5), 故点 P 的轨迹方程是 ( x ? 5)2 ? ( y ? 5)2 ? 2 (x≠4,y≠6).(4 分) (2)设点 P( x0 , y0 ) ,因为点 P、E 关于 x=1 对称,,则点 E(2 ? x0 , y0 ) 因为 P、F 关于 y=x 对称,则点 F ( y0 , x0 ) (6 分) 所以 EF ?

AC ? 2. 2

(2 ? x0 ? y 0 ) 2 ? ( y 0 ? x0 ) 2 ? 2 ( x0 ? 1) 2 ? ( y 0 ? 1) 2

设点 M(1,1),则 EF ? 2 | PM | .

MC1 ? r ? PM ? MC1 ? r

即 3 2 ? PM ? 5 2 ,所以 6 ? EF ? 10 (12 分)


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