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专题四中档大题(五)


中档大题(五) π? 1.(2013· 高考广东卷)已知函数 f(x)= 2cos? ?x-12?,x∈R. π? (1)求 f? ?3?的值; 3π 3 ? ? π? (2)若 cos θ= ,θ∈? ? 2 ,2π?,求 f?θ-6?. 5

2.

(2013· 高考广东卷)某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎 叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (1)根据茎叶图计算样本均值; (2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间 12 名工人 中有几名优秀工人? (3)从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率.

3.(2013· 河北省普通高中高三教学质量检测)如图,在空间几何体中,平面 ACD⊥平面 ABC, AB=BC=CA=DA=DC=BE=2.BE 与平面 ABC 所成的角为 60° , 且点 E 在平面 ABC 内的射影落在∠ABC 的平分线上. (1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求二面角 EBCA 的余弦值.

π 4.(2013· 江南十校联考)将函数 y=sin x 的图象向右平移 个单位,再将所得图象上各点 3 的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 4 倍,这样就得到函数 f(x)的图象,若 g(x)=f(x)cos x + 3. π π (1)将函数 g(x)化成 g(x)=Asin(ωx+φ)+B(其中 A、ω>0,φ∈[- , ])的形式; 2 2 π (2)若函数 g(x)在[- ,θ0]上的最大值为 2,试求 θ0 的最小值. 12

5.(2013· 武汉市高三 2 月调研测试)某射手射击一次所得环数 X 的分布列如下: X 7 8 9 10 P 0.1 0.4 0.3 0.2 现该射手进行两次射击,以两次射击中最高环数作为他的成绩,记为 ξ. (1)求 ξ>7 的概率; (2)求 ξ 的分布列与数学期望.

6.(2013· 湖北省高三 5 月高考模拟)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a5=6,且 a1,a3,a7 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=4n-(-1)nλ· 2an(n∈N*),问:是否存在非零整数 λ,使数列{bn}为递增数列.

中档大题(五) π ? 1. 【解】(1)因为 f(x)= 2cos? ?x-12?, π? π 2 ?π π ? 所以 f? ?3?= 2cos?3-12?= 2cos 4= 2× 2 =1. 3π 3 ? (2)因为 θ∈? ? 2 ,2π?,cos θ=5, 3?2 4 所以 sin θ=- 1-cos2θ=- 1-? ?5? =-5. π? ? π π? ? π? 所以 f? ?θ-6?= 2cos?θ-6-12?= 2cos?θ-4? 2 2 = 2×? cos θ+ sin θ? 2 2 ? ? 3 4 1 =cos θ+sin θ= - =- . 5 5 5
- 1 2. 【解】(1)由茎叶图可知,样本数据为 17,19,20,21,25,30,则x = (17+19+20+21+25 6 +30)=22, 故样本均值为 22. 2 1 (2)日加工零件个数大于样本均值的工人有 2 名,故优秀工人的频率为 = ,该车间 12 6 3 1 名工人中优秀工人大约有 12× =4(名),故该车间约有 4 名优秀工人. 3 1 (3)记“恰有 1 名优秀工人”为事件 A,其包含的基本事件总数为 C1 4C8=32,所以基本 32 16 事件的总数为 C2 . 12=66,由古典概型概率公式,得 P(A)= = 66 33 16 所以恰有 1 名优秀工人的概率为 . 33 3. 【解】(1)证明:易知△ABC,△ACD 都是边长为 2 的等边三角形,

取 AC 的中点 O,连接 BO,DO, 则 BO⊥AC,DO⊥AC, ∵平面 ACD⊥平面 ABC, ∴DO⊥平面 ABC. 作 EF⊥平面 ABC,则 EF∥DO, 根据题意,点 F 落在 BO 上, ∴∠EBF=60° ,易求得 EF=DO= 3, ∴四边形 DEFO 是平行四边形,DE∥OF. ∵DE?平面 ABC,OF?平面 ABC,∴DE∥平面 ABC. (2)法一:作 FG⊥BC,垂足为 G,连接 EG, ∵EF⊥平面 ABC,∴EG⊥BC, ∴∠EGF 就是二面角 EBCA 的平面角. 1 ∵FG=BFsin∠FBG= ,EF= 3, 2 13 FG 13 ∴EG= EF2+FG2= ,∴cos ∠EGF= = . 2 EG 13

即二面角 EBCA 的余弦值为

13 . 13

法二:建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz,可求得平面 ABC 的一个法向量为 n1= (0,0,1). 可得 C(-1,0,0),B(0, 3,0), E(0, 3-1, 3), → → 则CB=(1, 3,0),BE=(0,-1, 3). 设平面 BCE 的法向量为 n2=(x,y,z), → → 则可得 n2· CB=0,n2· BE=0, 即(x,y,z)· (1, 3,0)=0,(x,y,z)· (0,-1, 3)=0, 可取 n2=(-3, 3,1), n 1· n2 13 故 cos〈n1,n2〉= = . |n1|· |n2| 13 又由图知,所求二面角的平面角是锐角, 13 故二面角 EBCA 的余弦值为 . 13 π 4. 【解】(1)由题意可得 f(x)=4sin(x- ), 3 π ∴g(x)=4sin(x- )cos x+ 3 3 1 3 =4( sin x- cos x)cos x+ 3 2 2 =2(sin xcos x- 3cos2x)+ 3 π =2sin(2x- ). 3 π π π π (2)∵x∈[- ,θ0],∴2x- ∈[- ,2θ0- ]. 12 3 2 3 π 要使函数 g(x)在[- ,θ0]上的最大值为 2, 12 π π 当且仅当 2θ0- ≥ , 3 2 5π 解得 θ0≥ , 12 5π ∴θ0 的最小值为 . 12 5. 【解】(1)P(ξ>7)=1-P(ξ=7)=1-0.1×0.1=0.99. (2)ξ 的可能取值为 7,8,9,10. P(ξ=7)=0.12=0.01, P(ξ=8)=2×0.1×0.4+0.42=0.24, P(ξ=9)=2×0.1×0.3+2×0.4×0.3+0.32=0.39, P(ξ=10)=2×0.1×0.2+2×0.4×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36. ∴ξ 的分布列为 ξ 7 8 9 10 P 0.01 0.24 0.39 0.36 ∴ξ 的数学期望 E(ξ)=7×0.01+8×0.24+9×0.39+10×0.36=9.1.

6. 【解】(1)设公差为 d(d≠0), 2 由题意,知 a1· a7=a3 ,a5=6. ? a ? a + 6 d ? = ? a + 2d?2, ? 1 1 1 ? 于是 解得 a1=2,d=1. ?a1+4d=6. ? ∴an=n+1. (2)因为 an=n+1, - + 所以 bn=4n+(-1)n 1λ· 2n 1. 要使数列{bn}为递增数列,则 bn+1>bn(n∈N*)恒成立. + + - + ∴bn+1-bn=4n 1-4n+(-1)nλ· 2n 2-(-1)n 1λ· 2n 1>0 恒成立, n n-1 n+1 ∴3· 4 -3λ· (-1) 2 >0 恒成立, - - ∴(-1)n 1λ<2n 1 恒成立. - ①当 n 为奇数时,即 λ<2n 1 恒成立, - 当且仅当 n=1 时,2n 1 有最小值为 1, ∴λ<1. - - ②当 n 为偶数时,即 λ>-2n 1 恒成立,当且仅当 n=2 时,-2n 1 有最大值-2, ∴λ>-2. 即-2<λ<1,又 λ 为非零整数,则 λ=-1. 综上所述,存在 λ=-1,使数列{bn}为递增数列.


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