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高中数学排列组合问题的几种基本方法


重排问题求幂策略
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象, 元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位 置,一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位 置上的排列数为 m 种
n

例 1.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法
练习题: 1.某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节 目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各 自的一层下电梯,下电梯的方法

42

7

8

1. 分组(堆)问题 分组(堆)问题的六个模型:①无序不等分; ②无序等分;③无序局部等分;(④有序不等分; ⑤有序等分;⑥有序局部等分.) 处理问题的原则:
①若干个不同的元素“等分”为 m个堆,要将 选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ②若干个不同的元素局部“等分”有 m个均等堆, 要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ③非均分堆问题,只要按比例取出分完再用乘 法原理作积. ④要明确堆的顺序时,必须先分堆后再把堆数当 作元素个数作全排列.

1. 分组(堆)问题
例1.有四项不同的工程,要发包给三个工程队,要 求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同 的发包方式? 解:要完成发包这件事,可以分为两个步骤: ⑴先将四项工程分为三“堆”,有
2 1 1 C4 C2C1 ?6 2 A2

种分法;

⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队, 有3!=6种给法. ∴共有6×6=36种不同的发包方式.

练习题: 1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队, 其它两组 4 个队, 有多少分法? 2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另 两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有 多少种不同的分组方法 3.某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入 4 名学生,要安排到该年级的两个班级 且每班安排 2 名,则不同的安排方案种数 为______
5 13 4 8 4 4 2 2

C C C /A

1540

C C A / A ? 90
2 2 4 2 2 6 2 2

例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻,有多少 种不同的排法?
解:分两步进行: 第1步,把除甲乙外的一般人排列: 有A5 =120种排法
5

2.插空法: 解决一些不相邻问题时,可以先排“一 般”元素然后插入“特殊”元素,使问题得以 解决. ♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀ ♀ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

第2步,将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔):
2 有A6 =30种插入法

?共有120 ? 30=3600种排法

几个元素不能相邻 时,先排一般元素, 再让特殊元素插孔.

4 A5 A6 5

练习1.一个晚会的节目有4个舞蹈,2 个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续 出场,则节目的出场顺序有多少种?

A A

5 5

4 6

练习2:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个 节 目插入原节目单中,那么不同插法的种数为多 少? 练习3:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节 目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两 个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相 邻,那么不同插法的种数为多少?

42;30

特殊元素和特殊位置优先策略
? 例.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数

字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素 占了这两个位置. 先排末位共有 C31 然后排首位共有 C41 1 3 1 3 C 4 A4 C 3 最后排其它位置共有 A4 由分步计数原理得 C41C31 A43 ? 288

3.捆绑法 相邻元素的排列,可以采用“局部到整体”的 排法,即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素, 然后再进行整体排列.
例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? 解:(1)分两步进行: 第一步,把甲乙排列(捆绑): ♀♀♀♀♀♀ 甲乙 2

有A2=2种捆法

第二步,甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队:

有A =120种排法
5 5

?共有2 ?120=240种排法

几个元素必须相邻时,先 捆绑成一个元素,再与 其它的进行排列.

练习1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙 丁相邻, 共有多少种不同的排法 练习2:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中 恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 多少?

解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一 个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。 由分步计数原理可得共有 A55 A22 A22 ? 480 种不同的排法
甲 乙 丙 丁

480;20

4.消序法(留空法) 几个元素顺序一定的排列问题,一般是先排列,再 消去这几个元素的顺序.或者,先让其它元素选取位置 排列,留下来的空位置自然就是顺序一定的了. 例4. 5个人站成一排,甲总站在乙的右侧的有多少 种站法? 5 解法1:将5个人依次站成一排,有 A5 种站法, 2 然后再消去甲乙之间的顺序数 A2 A55 3 ? 5 ? 4 ? 3 ? A5 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A22 解法2:先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好, 3 有 A5 种站法,留下的两个位置自然给甲乙有1种站法 3 3 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A5 ? 1 ? A5

4.消序法(留空法) 解: 如图所示 变式:如下图所示,有5 B 横8竖构成的方格图,从 A到B只能上行或右行 共有多少条不同的路线? 也可以看作是 1,2,3,4,5,6,7,①,②,③, B A ④顺序一定的排列, 将一条路经抽象为如下的一个 11 A11 有 排法(5-1)+(8-1)=11格:
A 种排法. 其中必有四个↑和七个→组成! 所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经, 5 4 C(5??11) ? (8?1) ? C11 条不同的路径. 所以从A到B共有

A44 ? A77

→ ↑ → ↑ ↑ → → → ↑ → → 1 ① 2 ② ③ 3 4 5 ④ 6 7

练习 1:10 人身高各不相等,排成前后排,每排 5 人, 要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法?
练习 2.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定 共有多少不同的排法

C

5 10

A /A

7 7

3 3

5.剪截法(隔板法): n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手 名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个 名额,则不同的分配方案共有___种. 解: 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里, 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 3 C15 ? 455 将16个小球串成一串,截为4段有 种截断法,对应放到4个盒子里. 因此,不同的分配方案共有455种 .

5.剪截法: n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 变式: 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选 手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额 不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种. 解: 问题等价于先给2班1个,3班2个,4班3个, 再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子 至少有一个小球的放法种数问题. 3 将10个小球串成一串,截为4段有 C9 ? 84 种截断法,对应放到4个盒子里. 因此,不同的分配方案共有84种 .

练习 1.有 10 个运动员名额,分给 7 个班, 每班至少一个,有多少种分配方案?

练习 2.10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法?

C

6 9

C

4 9

6.错位法: 编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒 子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编 号都不同,这种排列称为错位排列. 特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44. 例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个 盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒 子的编号相同的放法有____种. C62 ? 15 解: 选取编号相同的两组球和盒子的方法有
种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法. 故所求方法有15×9=135种.

7.剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数,这是一 种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面 解析几何的某些知识联系,从而增加了问题的综合性,解 答这类应用题时,要注意使用相关知识对答案进行取舍.

例7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直 线方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得的经过坐标 原点的直线有_________条. 解:所有这样的直线共有
3 A7 ? 210 条, 1 2 其中不过原点的直线有 A6 ? A6 ? 180 条,

∴所得的经过坐标原点的直线有210-180=30条.

巩固练习
1.将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒, 则不同的投法 的种数是( B ) A. 3
4

B. 4

3

C. A

3 4

D. C

3 4

2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种, 分别种在不同土质的三块地上, 其中黄瓜必须种 植,不同的种植方法共有( B ) A.24 种 B.18 种 C.12 种 D.6 种

巩固练习
3. 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调 查,若每个路口 4 人,则不同的分配方案共有( A )
4 4 C12C84 C 4 种 A. 4 4 C12C84 C 4 种 B.3

4 3 C12C84 A3 种 C.

4 4 C12C84 C 4 D. 种 3 A3

4. 5个人排成一排,其中甲、乙不相邻的排法种数是 (C ) A.6 B.12 C.72 D.144

环排问题线排策略
例. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法?
解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于, 坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人 A 4 4 并从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有(8-1) !种排法即 7 !
C D E F G H B A A B C D E F G H A

一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有

1 m An n

? 练习题:6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻

石圈 ?

120

多排问题直排策略
? 例.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前

排,丙在后排,共有多少排法
解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅 子排成一排.个特殊元素有 A 2 种,再排后 4 个位置上的 4 特殊元素丙有 A14 种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排 列有 A 5 种,则共有 A 2 A14 A 5 种 5 4 5

前 排

后 排

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研

练习题:有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位, 现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐,并且 这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是

346

A ? 2 ? 17
2 20

4 C52 A 4

排列组合混合问题先选后排策略
例.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内, 每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.

解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元 共有 C52 种方法.再把 4 个元素(包含一个复合 元素)装入 4 个不同的盒内有 A 种方法,根
4 4

据分步计数原理装球的方法共有

C A

2 5

4 4

练习题:一个班有6名战士,其中正 副班长各1人,现从中选4人完成 四种不同的任务,每人完成一种任 务,且正副班长有且只有1人参加, 则不同的选法有 种

192

小集团问题先整体后局部策略
? 例.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数

其中恰有两个偶数夹在1,5两个奇数之间, 这样的五位数有多少个?

解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队 2 2 2 共有 A 2 种排法,再排小集团内部共有 A 2 A 2 种 排法,由分步计数原理共有 A A A 种排法.
2 2 2 2 2 2

小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理。

练习题: 1.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画, 4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起,并且水彩画不在两端, 那么共有陈列方式的种数为 2. 5 男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女 生也相邻的排法有 种

A A A

2 2

5 5

4 4

A A A

2 2

5 5

5 5

正难则反总体淘汰策略
? 例.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三

个数,使其和为不小于10的偶数, 不同的取法 有多少种?
解:这问题中如果直接求不小于 10 的偶数 很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有 3 个 偶数的取法有 C53 ,只含有 1 个偶数的取法
1 1 3 有 C5C52 ,和为偶数的取法共有 C5C52 ? C5 。再

淘汰和小于 10 的偶数共 9 种,符合条件的 1 3 取法共有 C5C52 ? C5 ? 9

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而 它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面, 再从整体中淘汰.

练习题:我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人, 正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽 法有多少种?

合理分类与分步策略
? 例。在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能

唱歌, 5人会跳舞。现要演出一个2人唱歌2人伴 舞的节目, 有多少选派方法

解:10 演员中有 5 人只会唱歌,2 人只会跳舞 3 人为全能演员。 选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的 5 人中没有人选上唱歌 人员共有 C32C32 种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员 C51C31C42 种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有 C52C52 种,由分类计 数原理共有 C32C32 ? C51C31C42 ? C52C52 种。

? 本题还有如下分类标准:
? *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 ? *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 ? *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 ? 都可经得到正确结果

练习题: 1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座 谈会,若这 4 人中必须既有男生又有女生,则不 同的选法共有 2. 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2 只 船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船, 这 3 人共 有多少乘船方法.

34;27

构造模型策略
例 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯, 现 要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏, 也不能关掉两端的2盏, 求满足条件的关灯方法有 多少种?

解:把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个 空隙中插入 3 个不亮的灯有 C53 种

一些不易理解的排列组合题如果能化 为非常熟悉的模型,如占位填空模型, 排队模型,装盒模型等,可使问题直 观解决
练习题:某排共有10个座位,若4人就坐, 每人左右两边都有空位,那么不同的坐法有 多少种?

120

实际操作穷举策略
例.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3, 4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内, 要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的 编号与盒子的编号相同,有多少投法

20

练习题: 1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然 后每人各拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不 同的分配方式有多少种? 2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种
1 3 2 5

对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式 进行运算, 往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到 的结果

9;72
4

可选颜色,则不同的着色方法有



练习 1 将 3 种作物种植 1 2 3 4 5

在如图的 5 块试验田里,每快种植一种作 物且相邻的试验田不能种植同一作物 , 不同的种植方法共 种(以数字作答)

42
40

2013-10-10

新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞

2.某城市中心广场建造一个花圃,花圃 6 分为个部分 (如图 3) ,现要栽种 4 种颜色的花,每部分栽种一种且 相邻部分不能栽种 同一样颜色的话,不同的栽种方法 有 种(以数字作答) .

5 6 2
2013-10-10

1 3

4

120
41

新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞

3.如图用不同的 5 种颜色分别为 ABCDE 五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但同 一种颜色可以反复使用也可以不用,则符合这 种要求的不同着色种数.

B A C D E
2013-10-10 新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞

540
42

4.如图:四个区域坐定 4 个单位的人,有四种 不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同种颜 色的服装,且相邻两区域的颜色不同,不相邻区 域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限 制,那么不同的着色方法是 种

4 1 2
2013-10-10 新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞 43

3

84

5.将一四棱锥的每个顶点染一种颜色,并使同 一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可供使 用,则不同的染色方法共 种

A B C
2013-10-10

E D

420
44

新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞

分解与合成策略
? 例.

30030能被多少个不同的偶数整除

分析:先把 30030 分解成质因数的乘积 形式 30030=2×3×5 × 7 ×11×13 依题意可知偶因数必先取 2,再从其余 5 个 因数中任取若干个组成乘积, 1 3 5 所有的偶因数为: C5 ? C52 ? C5 ? C54 ? C5

练习:正方体的8个顶点可连成多少对 异面直线

解:我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构 4 成四体共有体共 C8 ? 12 ? 58 ,每个四面体有 3 对异面直线,正方体中的 8 个顶点可连 成 3? 58 ? 174 对异面直线

化归策略
例. 25人排成5×5方阵,现从中选3人, 要求3人都不 在同一行也都不在同一列,不同的选法有多少种?
解:将这个问题退化成 9 人排成 3×3 方阵,现从中选 3 人, 要求 3 人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必 有 1 人从其中的一行中选取 1 人后,把这人所在的行列都划 1 掉,如此继续下去.从 3×3 方队中选 3 人的方法有 C31C2C11 种。 再从 5×5 方阵选出 3×3 方阵便可解决问题.从 5×5 方队中选 取 3 行 3 列有 C53C53 选法所以从 5×5 方阵选不在同一行也不
1 在同一列的 3 人有 C53C53C31C2C11 选法。

数字排序问题查字典策略
例由0,1,2,3,4,5六个数字可以组 成多少个没有重复的比324105大的数?

解: N ? 2 A ? 2 A ? A ? A ? A ? 297
5 5 4 4 3 3 2 2 1 1

数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根 据分类计数原理求出其总数。 练习:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没 有重复的四位偶数,将这些数字从小到大 排列起来,第 71 个数是

3140

树图策略
? 例.人相互传球,由甲开始发球,并作为第一

次传球,经过次传求后,球仍回到甲的手中, 则不 同的传球方式有______

N ? 10

练习: 分别编有 1,2,3,4,5 号码的人与椅, 其中 i 号人不坐 i 号椅( i ? 1,2,3,4,5 )的不同坐法 有多少种?

N ? 44


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