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安徽省高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.2导数的概念教案

3.1.2 导数的概念
项目 课题 (共 内容 修改与 1 课时) 创新 1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; 教学 2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵; 目标 3.会求函数在某点的导数 教学 教学重点:瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念; 重、 教学难点:导数的概念. 难点 教学 多媒体课件 准备 一、导入新课: (一)平均变化率 (二) 探究: 计算运动员在 0 ? t ?

65 这段时间里的平均速度, 并思考以下问题: 49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗? ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 探 究 过 程 : 如 图 是 函 数 h(t)= -4.9t +6.5t+10 的 图 像 , 结 合 图 形 可 知 , 教学过 程
2

65 ) ? h(0) , 49 65 h( ) ? h(0) 所以 v ? 49 ? 0( s / m) , 65 ?0 49 65 虽然运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度为 49 h(
0(s / m) ,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可
以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. 二、讲授新课: 1.瞬时速度 o

h

t

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反

t?2 映他在某一时刻的瞬时速度, 那么, 如何求运动员的瞬时速度呢?比如,
时的瞬时速度是多少?考察 t ? 2 附近的情况:

思考:当 ?t 趋近于 0 时,平均速度 v 有什么样的变化趋势? 结论:当 ?t 趋近于 0 时,即无论 t 从小于 2 的一边,还是从大于 2 的一边趋 近于 2 时,平均速度 v 都趋近于一个确定的值 ?13.1 . 从物理的角度看,时间 ?t 间隔无限变小时,平均速度 v 就无限趋近于史的 瞬时速度,因此,运动员在 t ? 2 时的瞬时速度是 ?13.1m / s 为了表述方便,我们用 lim
?t ? 0

h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ?13.1 ?t

表示“当 t ? 2 , ?t 趋近于 0 时,平均速度 v 趋近于定值 ?13.1 ” 小结:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,

从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 2 导数的概念 从函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是:
?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? lim ?x ?0 ?x ?x
'

我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 出的导数,记作 f ' ( x0 ) 或 y |x? x0 ,即

f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

说明: (1)导数即为函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 (2) 当 ?x ? 0 时, 所以 f ?( x0 ) ? lim ?x ? x ? x0 , x ? x0 , 三.典例分析 2 例 1. (1)求函数 y=3x 在 x=1 处的导数. 2 分析:先求Δ f=Δ y=f(1+Δ x)-f(1)=6Δ x+(Δ x) 再求

?x ?0

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

?f ?f ? 6 ? ?x 再求 lim ?6 ?x ?0 ?x ?x

解:法一 定义法(略) 法二: y? |x ?1 ? lim

3x 2 ? 3 ?12 3( x 2 ? 12 ) ? lim ? lim3( x ? 1) ? 6 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
2

(2)求函数 f(x)= ? x ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化率,并求出在该点处的 导数.

?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x 解: ?x ?x f ?(?1) ? lim ?y ?(?1 ? ?x)2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? lim (3 ? ?x) ? 3 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

例 2. (课本例 1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对 原 油 进 行 冷 却 和 加 热 , 如 果 第 xh 时 , 原 油 的 温 度 ( 单 位 : C ) 为

f ( x) ? x2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8) ,计算第 2h 时和第 6h 时,原油温度的瞬时变化
率,并说明它们的意义.

解:在第 2 h 时和第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率就是 f ' (2) 和 f ' (6) 根据导数定义,

f (2 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? ?x ?x

?

(2 ? ?x)2 ? 7(2 ? ?x) ? 15 ? (22 ? 7 ? 2 ? 15) ? ?x ? 3 ?x
?x ?0

所以 f ?(2) ? lim

?f ? lim (?x ? 3) ? ?3 ?x ?x?0

同理可得: f ?(6) ? 5 在第 2 h 时和第 6 h 时,原油温度的瞬时变化率分别为 ?3 和 5,说明在 2 h 附 近, 原油温度大约以 3 C / h 的速率下降, 在第 6 h 附近, 原油温度大约以 5 C / h 的速率上升. 注:一般地, f ' ( x0 ) 反映了原油温度在时刻 x0 附近的变化情况. 四.课堂练习
2 1.质点运动规律为 s ? t ? 3 ,求质点在 t ? 3 的瞬时速度为.

2.求曲线 y=f(x)=x 在 x ? 1 时的导数.
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3.例 2 中,计算第 3h 时和第 5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意 义. 课堂小结: 1.瞬时速度、瞬时变化率的概念 2.导数的概念 布置作业: P.80 A 组,3,4 §3.1.2 导数的概念 1.瞬时速度 板书设 计 2 导数的概念 2 例 1. (1)求函数 y=3x 在 x=1 处的导数. 例 2. (课本例 1) 练习

2 1.质点运动规律为 s ? t ? 3 ,求质点在 t ? 3 的瞬时速度为.

2.求曲线 y=f(x)=x 在 x ? 1 时的导数.
3

3.例 2 中,计算第 3h 时和第 5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

用平均速度和瞬时速度、平均膨胀率和瞬时膨胀率的关系,说明瞬时变化率的概念, 教学反 以帮助学生理解瞬时变化率的意义,并由此给出导数的概念。 思 练习让学生自己独立完成,教师必要时给与指导。