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辽宁省大连市第二十高级中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


2015-2016 学年度下学期期中考试 高二数学试卷(文)
试题分数:150 分 卷Ⅰ 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R .集合 A ? ?x | x ? 3?, B ? ?x | log2 x ? 0?,则 A ? CU B ? A. x 1 ? x ? 3 考试时间:120 分钟

?

?

B. ?x | x ? 0或1 ? x ? 3?

C. x x ? 3

?

?

D. x 1 ? x ? 3

?

?

2.复数 z ? ?i ?1? i 的虚部为 A. 1 B. ? 1 C. ? i D. i

3.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系.根据一组样本 ^ 数据(xi,yi)(i=1,2,?,n),用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71,则下 列结论中不正确的是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系 - - B.回归直线方程过( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则可推断其体重增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可推断其体重约为 58.79 kg 4. 若二次函数 f ( x) ? x2 ? (b ? 2) x 在区间 [1 ? 3a, 2a] 上是偶函数,则 a , b 的值是 A. 1,2 5.已知 B. 2,1 C. 0,2 D. 0,1 4 ,?, 15 6+ = 6 2 2 3 3 4 2+ =2 , 3+ =3 , 4+ = 4 3 3 8 8 15 (a,b 均为实数),则推测 a,b 的值分别是 A.a=6,b=18 B.a=6,b=25 C.a=6,b=30

a b

a b

D.a=6,b=35

6.函数 y= log2|x|的大致图象是 |x|

x

1

7.下列说法错误的是 A.已知 a,b,m∈R,命题“若 am <bm ,则 a<b”为真命题 B.命题“? x0∈R,x0-x0>0”的否定是“? x∈R,x -x≤0” C.命题“p 且 q”为真命题,则命题 p 和命题 q 均为真命题 D.“x>3”是“x>2”的必要不充分条件 8.函数 y ? 16 ? 4x 的值域是 A. [0, ??) B. [0, 4] C. [0, 4) D. (0, 4)
2 2 2 2

?x+3,x≤1, ? x 9.已知 f(x)=? 2 则函数 g(x)=f(x)-e 的零点个数为 ?-x +2x+3,x>1, ? A.0 B.1 C.2 D.3

10.下列四个命题:(1) y ? 1 ? x 和 y ?
2

(1 ? x) 2 表示相等函数;

(2)函数 f ( x ) 在 x ? 0 时是增函数, x ? 0 也是增函数,所以 f ( x) 是增函数;

(3) f ? x ? ? x ? 2 ? a ?1? x ? 2 在区间 ?? ?,4? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 a ? ?3 ; (4)

??1,0? 是 y ? x2 ? 2 x ? 3 的一个递增区间
B. 1 C. 2

.

其中正确命题的个数是 A. 0 D. 3

?a x ,(x ? 1) ? 11.已知 f (x ) ? ? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为 a ?(4 ? )x ? 2, (x ? 1) ? 2
A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,8) 12.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f (2 ? x) ? f ( x) ,且在 ?0,1? 上单调递减,若方程

f ( x) ? ?1 在 ?0,1? 上有实数根,则方程 f ( x) ? 1 在区间 ?? 1,7? 上所有实根之和是
2

A.12

B.14

C.6

D.7

卷Ⅱ 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.函数 f ( x) ? a x ?1 ?1 (a ? 0且a ? 1) ,无论 a 取何值,函数图像恒过一个定点,则定点 坐标为 ____.

14.读下面的流程图,当输入的值为-5 时,输出的结果是________.

15.图 1 有面积关系:

S△PA′B′ PA′·PB′ VP-A′B′C′ = ,则图 2 有体积关系: =________. S△PAB PA·PB VP-ABC

16.函数 f ( x) ?

ax ? 1 在区间 ? ?2, ?? ? 上为增函数,则 a 的取值范围为________. x?2

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分)已知复数 z ? ? (Ⅰ)复数
2 1 的模; (Ⅱ) z 的值. z

1 3 ? i ,其共轭复数为 z ,求 2 2

??

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? log 2

1? x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域; 1? x

(Ⅱ)判断 f ( x ) 的奇偶性并证明; (Ⅲ)判断 f ( x ) 在定义域上的单调性.

3

19.(本小题满分 12 分)如果非零实数 a , b , c 两两不相等,且 2b ? a ? c , 证明:

2 1 1 ? ? 不成立.(用反证法证明) b a c
2

20. (本小题满分 12 分)已知函数 y ? b ? a x

?2 x

, (a, b 是常数 a ? 0 且 a ? 1 )在区间

5 ? 3 ? ?? 2 ,0? 上有 y max ? 3, y min ? 2 ,求 a , b 的值. ? ?
21. (本小题满分 12 分)为迎接 2013 年全运会的到来,组委会在大连市招募了 100 名志 愿者,其中男、女志愿者各 50 名,调查是否喜欢运动得到如下统计数据. 由于一些原因, 丢失了其中四个数据,目前知道这四个数据 c , a , b , d 恰好成递增的等差数列. 喜欢运动 男 女 总计 不喜欢运动 总计 50 50 100

a c
30

b d
70

(Ⅰ)将联表中数据补充完整,并判断是否有 95% 的把握认为性别与运动有关? (Ⅱ)调查中显示喜欢运动的男志愿者中有 10% 懂得医疗救护,而喜欢运动的女志愿者中 有 40% 懂得医疗救护,从中抽取 2 人组成医疗救护小组,则这个医疗救护小组恰好是一 男一女的概率有多大?

n(ad ? bc)2 附: ? ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

P( ? 2 ? k )
k
2

0.05 3.841

0.001 6.635

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 5 ? a ? 1? (Ⅰ)若 f ( x ) 的定义域和值域均是 ?1, a ? ,求实数 a 的值; ( Ⅱ ) 若 f ( x ) 在 区 间 (- ∞ ,2] 上 是 减 函 数 , 且 对 任 意 的 x1 , x2 ? ?1, a ? 1? ? ,总有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 4 ,求实数 a 的取值范围.

2015-2016 学年度下学期期中考试高二数学(文科)试卷参考答案 一、选择题
4

题号 答案

1 B

2 B

3 C

4 A

5 D

6 D

7 D

8 C

9 C

10 B

11 B

12 A

二、填空题: 13.

(1, 2)

14. 2

15.

PA′·PB′·PC′ PA·PB·PC

16. ? 1

? ? , ?? ? ?2 ?

三、解答题: 17. 解: (Ⅰ)∵复数 z=﹣ i,

∴ =

=

=

=





∴| |= (Ⅱ)由题意可得 = ∴ =( ﹣ ﹣
2

=1;(也可以先求 z 的模) , i= .

) = ﹣ +2×

18. 解: (Ⅰ) (?1 , 1) (Ⅱ)奇函数(Ⅲ)增函数 2 1 1 2 a+c 2b 19. 证明:假设 = + 成立,则 = = ,

b a c
,∴?

b

ac ac

∴b =ac. 又∵b=

2

a+c

2 2 即(a-c) =0. ∴a=c,这与 a,b,c 两两不相等矛盾. 2 1 1 ∴ = + 不成立. b a c
2

?a+c? =ac,即 a2+c2=2ac, ? ? 2 ?

2

2 2 20.解: 设 t ? x ? 2 x ,则 t ? x ? 2 x ? ( x ? 1) ? 1

5

因为 x ? [ ? , 0] ,∴ t ? x ? 2 x 值域为 [?1, 0] ,即 t ?[?1,0] ,
2

3 2

? 1 5 ?a ? 2 ?b ? ? 若 a ? 1 ,函数 y ? a 在 R 上单调递增, ? , a 2 ?? b ? 2 ? ? ?b ? 1 ? 3
t

2 ? 1 ? b ? ? 3 ?a ? ? ? a ? 3 ?? 若 0 ? a ? 1 ,函数 y ? at 在 R 上单调递减, ? , ?b ? 1 ? 5 ?b ? 3 ? ? ? 2 ? 2 2 ? a ? ? ? 3 ?a ? 2 所求 a , b 的值为 ? 或? 3 ?b ? 2 ?b ? ? ? 2
2 21.解: (Ⅰ) c ? 10 , a ? 20 , b ? 30 , d ? 40 . ? K ?

100(800 ? 300) 2 ? 4.76 30 ? 70 ? 50 ? 50

由参考数据知有 95%的把握认为性别与运动有关。 (Ⅱ)懂得医疗救护的志愿者共有 6 人,设分别为 A、B、C、D、E、F,其中 A、B、C、D 为 女 性 , E 、 F 为 男 性 , 则 从 这 6 人 中 任 取 2 人 有 AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF, 共 15 种 取 法 , 其 中一男 一 女 的 有 AE,AF,BE,BF ,CE,CF,DE,DF,共 8 种。故抽出的志愿者中 2 人都能胜任医疗救护工作的 概率是 P ?

8 15
2 2

22.解: (Ⅰ)因为f(x)=(x-a) +5-a (a>1),

?f(1) ? a, ? f(a) ? 1, 所以f(x)在[1,a]上是减函数,又定义域和值域均为[1,a],所以 ?
?1-2a ? 5 ? a, ? 2 a -2a 2 ? 5 ? 1, 解得a=2. 即?
(Ⅱ)因为f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,所以a≥2, 又x=a∈[1,a+1],且(a+1)-a≤a-1, 所以f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a , 因为对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,
6
2

所以f(x)max-f(x)min≤4,即(6-2a)-(5-a )≤4,解得-1≤a≤3, 又a≥2,所以2≤a≤3.综上,实数a的取值范围是[2,3].

2

7


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