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2018届山东省潍坊第一中学高三上学期期末模拟(三)文科数学试题及答案 精品

2018.1

新课标高三文科数学模拟试题(三)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在

每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合 M ? ?x (x ? 2)(x ?1) ? 0?, N ? ?x x ?1 ? 0?,则 M ? N ?

A. (?1,1) D. (1,2)

B. (?2,1)

C. (?2,?1)

2.已知复数 z ?1? i ,则 z 2 ?
z ?1

A. 2

B. ? 2

C. 2i

D. ? 2i

3.设 x ? R ,向量 a ? (x,1),b ? (1, ?2), 且 a ? b ,则| a ? b |?

A. 5

B. 10

C. 2 5

D.10

4.

已知函数

f

(x)

?

?(3 ? a)x ? 3,

? ?a

x?6

,

x

?

7,

x

?

7,

若数列{an

}满足

an ? f (n)(n ? N *) ,且{an }是递增数列,则实数 a 的取值范围是

A.

? ??

9 4

,

3???

B.( 9 ,3) C.(2,3)
4

5.“sin ? ? 1”是“cos2? ? 1” 的

2

2

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

D.(1,3) C.充分必要条

件 D.既不充分也不必要条件

6.已知圆 C1 : (x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ?1 ? 0 对

称,则圆C2 的方程为

A. (x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1

B. (x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1

C. (x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1

D. (x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1

7.已知双曲线 y 2 ? x2 ? 1 ,抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) ,若抛物线的焦
9 16

点到双曲线的渐近线的距离为 3 ,则 p ?

A. 15
4
D. 10

B. 5

C. 15
2

8.下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

9.甲、乙两名同学在 5 次体育测试中的成绩统计如茎叶图所





示,若甲、乙两人的平均成绩分别为 x甲,x乙 ,则下列8 结72论2正9 确72 8

的是 A. x甲 ? x乙 ;乙比甲成绩稳定

7

8

6825
B. x甲 ? x乙 ;甲比乙成绩稳



C. x甲 ? x乙 ;甲比乙成绩稳定 D. x甲 ? x乙 ;乙比甲成绩稳



10.在区间[0,1] 上任意取两个实数 a ,b ,则函数 f (x) ? 1 x3 ? ax ? b 在
2
区间 [?1,1] 上有且仅有一个零点的概率为

A. 1

B. 1

C. 7 D. 3

8

4

8

4

x
二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分.)

2

11

正视图 侧视图

俯视图

11.在等差数列 {an } 中,若

a1

?

a5

?

a9

?

? 4

,则

tan(a4

?

a6 )

?

_______.

12. 某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则

正视图中的 x 的值是



? x? y ?1
13. 已 知 x 、 y 满 足 约 束 条 件 ??x ? y ? ?1 , 若 目 标 函 数
??2x ? y ? 2

z ? ax ? by (a ? 0,b ? 0) 的最大值为 7,则 3 ? 4 的最小值为



ab

14.已知直线 Ax ? y ? C ? 0 ,其中 A,C, 4 成等比数列,且直线经过

抛物线 y2 ? 8x 的焦点,则 A ? C ?



15.设定义域为[0,1]的函数 f (x) 同时满足以下三个条件时称

f (x) 为“友谊函数”:

(1)对任意 x ?[0,1],总有 f (x) ≥0; (2) f (1) ? 1;

(3)若 x1≥0, x2 ≥0 且 x1+ x2 ≤1,则有 f ( x1+ x2 )≥ f ( x1)+

f ( x2 )成立,则下列判断正确的有



① f (x) 为“友谊函数”,则 f (0) ? 0 ; ②函数 g(x) ? x 在区间[0,

1]上是“友谊函数”;③若 f (x) 为“友谊函数”,且 0≤ x1< x2 ≤1,则 f ( x1)≤ f ( x2 )。

三、解答题(共 85 分)

16. (本小题满分 12 分)向量 a ? (1 , 1 sin x ? 3 cos x) , b ? (1, y),已

22

2

知 a //b ,且有函数 y ? f (x).

(1)求函数 y ? f (x)的周期;(2)已知锐角 ?ABC的三个内角分

别为 A, B,C ,若有 f (A ? ? ) ? 3 ,边 BC ? 7 , sin B ? 21 ,求 AC 的

3

7

长及 ?ABC的面积.

17.(本小题满分 12 分)从某学

校高三年级 800 名学生中随机抽

取 50 名测量身高,据测量被抽取

的 学 生 的 身 高 全 部 介 于 155cm 和

195cm 之间,将测量结果按如下方 式分成八组:第一组?155,160? .第二组?160,165? ;…第八组?190,195? , 下图是按上述分组方法得到的条.形.图..

(1)根据已知条件填写下面表格:

组别 1 2 3 4 5 6 7 8 样本 数

(2)估计这所学校高三年级 800 名学生中身高在180cm 以上(含

180cm )的人数; (3)在样本中,若第二组有1人为男生,其余为女生,第七组

有1人为女生,其余为男生,在第二组和第七组中各A1 选一名

同学组成实验小组,问:实验小组中恰为一男一女的概O1 率

是多少?

B1

D E

18.(本小题满分 12 分)如图, AA1、 BB1为圆柱 OO1 的母线,

A

BC 是底面圆 O 的直径, D 、 E 分别是 AA1、 CB1的中点, O C

B

DE ? 面CBB1 . (1)证明: DE // 面ABC ; (2)证明: 面A1B1C ? 面A1 AC ; (3)求四棱锥 C ? ABB1A1与圆柱 OO1 的体积比.
19、(本小题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ,数列 {Sn ?1}是公比为 2 的等比数列, a2 是 a1 和 a3 的等比中项. (1)求数列 {a n } 的通项公式;
(2)求数列?nan?的前 n 项和Tn .
20.(本小题满分 12 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在 x 轴上,半径为 4 的

圆 C 位于 y 轴右侧,且与 y 轴相切.[:]

(1)求圆 C 的方程;

(2)若椭圆

x2 25

?

y2 b2

? 1 的离心率为

4 5

,且左右焦点为

F1, F2

.试

探究在圆 C 上是否存在点 P ,使得 ?PF1F2 为直角三角形?若存

在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出

这些点的坐标).

21. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 函 数 f (x) ? ln x ? a , g(x) ? f (x) ? ax ? 6ln x ,其中 a ?R.
x
(1)讨论 f (x) 的单调性;
(2)若 g(x) 在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围;

(3)设函数 h(x) ? x2 ? mx ? 4 ,当 a ? 2 时,若 ?x1 ? (0,1) , ?x2 ?[1,2] , 总有 g(x1) ? h(x2) 成立,求实数 m 的取值范围.

新课标高三文科数学模拟试题(2) 参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号 答C A B B A B D C D C 案 二、填空题:(每小题 5 分,共 15 分)

11. 3
3

12. 16?
3

13. 7

14. a ?1或a ? 0

15.

①②③

三、解答题:(共 85 分)

16.







a //b



1 y ? (1 sin x ? 3 cos x) ? 0

22

2

即 y ? f (x) ? 2sin(x ? ? )
3

………………………3 分 ………5 分

( 1 ) 函 数 f (x) 的 周 期 为

T ? 2?

……………………………………6 分

(2)由 f (A ? ? ) ? 3 得 2sin(A ? ? ? ? ) ? 3

3

33

即 sin A ? 3
2

∵ ?ABC 是 锐 角 三 角 形 ∴ A ? ? ………………………………………8 分
3

由正弦定理: BC ? AC 及条件 BC ? 7 , sin B ? 21

sin A sin B

7

得 AC ? BC ? sin B ?
sin A

7 ? 21
7 ?2,
3 2

………………………10 分

又∵ BC2 ? AB2 ? AC2 ? 2AB? AC ? cos A



7 ? AB2 ? 4 ? 2? AB? 2? 1

2





AB ? 3 ………………………………11 分



?ABC







S ? 1 AB ? AC ? sin A ? 3 3

2

2

………………………12 分

17.解:(1)由条形图得第七组频率为

1? (0.04? 2 ? 0.08? 2 ? 0.2? 2 ? 0.3) ? 0.06 ,0.06?50 ? 3 .

∴第七组的人



.…………………………1 分

组别 1 2 3 4 5

数为 3 67 8

样本中

111

2

24

43

人数

005

……………………………4 分

(2)由条形图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)

×5=0.82,后三组频率为 1-0.82=0.18.估计这所学校高三年

级 身 高 在 180cm 以 上 ( 含 180cm) 的 人 数 800 ×

0.18=144(人). ………………8 分 (3)第二组四人记为 a 、b 、 c 、 d ,其中 a 为男生,b、c、d

为女生,第七组三人记为 1、2、3,其中 1、2 为男生,3 为

女生,基本事件列表如下:

a

b

C

d

1

1a

1b

1c

1d

2

2a

2b

2c

2d

3

3a

3b

3c

3d

所以基本事件有 12 个,恰为一男一女的事件有 1b,1c,1d,

2b,2c,2d,3a 共 7 个,因此实验小组中,恰为一男一女的概

率是 7
12

………………………………12 分

18.(1)证明:连结 EO, OA .? E,O 分别为 B1C, BC 的中点,∴

EO // BB1 .



DA

//

BB1

,且

DA

?

EO

?

1 2

BB1

.∴四边形

AOED是平行四边形,

即 DE //OA, DE ? 面ABC . ∴ DE //面ABC. ………………4 分

(2) 证 明 : AA1 、 BB1 为 圆 柱 OO1 的 母 线 , 所 以 AB // A1B1 且 AA1 ? 圆O ,即 AA1 ? AB ,又 BC 是底面圆 O 的直径,所以 AB ? AC , AC ? AA1 ? A , 所 以 AB ? 面A1 AC 由 AB // A1B1 , 所 以 A1B1 ? 面A1 AC , A1B1 ? 面A1B1C ,
所以 面A1B1C ? 面A1 AC ……9 分 (3)解:由题 DE ? 面CBB1 ,且由(1)知 DE //OA.∴ AO ? 面CBB1,
∴ AO ? BC ,∴ AC ? AB.

因 BC 是底面圆 O 的直径,得 CA ? AB,且 AA1 ? CA ,

∴ CA ? 面AA1B1B ,即 CA 为四棱锥的高.设圆柱高为 h ,底半径为

r,

则 V柱

?

?r 2h

, V锥

?

1 h( 3

2r) ? (

2r) ?

2 3

hr

2



V锥



V柱

?

2 3?

.

12 分

…………

19.(1)解:∵{Sn ?1}是公比为 2 的等比数列, . Sn ? 1 ? (S1 ? 1) ? 2n?1 ? (a1 ? 1) ? 2n?1 … 1分

…………

∴ Sn ? (a1 ? 1) ? 2n?1 ?1.从而 a2 ? S2 ? S1 ? a1 ? 1, a3 ? S3 ? S2 ? 2a1 ? 2 .…… 3分

∵ a2 是 a1 和 a3 的 等 比 中 项 ∴ (a1 ?1)2 ? a1 ? (2a1 ? 2) , 解 得 a1 ? 1 或

a1 ? ?1 当 a1 ? ?1 时 , S1 ? 1 ? 0 , {Sn ?1} 不 是 等 比 数 列 , ∴

a1 ? 1. Sn ? 2n ?1. ………… 6 分

当 n ? 2 时 , an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 .

∵ a1 ? 1 符 合 an ? 2n?1 , ∴

. an ? 2n?1

… 8分

( 2 ) 解 : ∵ nan ? n ? 2n?1 , ∴ Tn ? 1?1 ? 2 ? 21 ? 3? 22 ? ? ? n ? 2n?1 .

① … 9分

2Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n

.



…………… 10 分

① ? ②得 ? Tn ? 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n

? 1? 2n ? n? 2n 1? 2

… 12 分

? (1 ? n) ? 2n ?1. ∴Tn ? (n ?1)2n ? 1 .

… 13 分

20.(本小题满分 13 分)

解:(1)依题意,设圆的方程为 ? x ? a?2 ? y2 ?16?a ? 0? .

…………………1 分

∵圆与 y 轴相切,∴ a ? 4 ∴圆的方程为 ? x ? 4?2 ? y2 ?16 …………………4 分

(2)∵椭圆

x2 25

?

y2 b2

? 1 的离心率为

4 5

∴e

?

c a

?

25 ? b2 ? 4 解得 b2 ? 9

5

5

∴ c ? a2 ?b2 ? 4 ∴ F1 ??4,0?, F2 ?4,0?, ∴ F2 ?4,0? 恰为圆心 C ………8



(i)过 F2 作 x 轴的垂线,交圆 P1, P2 ,则 ?P1F2F1 ? ?P2F2F1 ? 90 ,符 合题意; …10 分 (ii)过 F1 可作圆的两条切线,分别与圆相切于点 P3, P4 , 连接 CP3,CP4 ,则 ?F1P3F2 ? ?F1P4F ? 90 ,符合题意.
……………………12 分

综上,圆 C 上存在 4 个点 P ,使得 ?PF1F2 为直角三角形.

…………………………13 分

21.解:(1) f (x) 的定义域为 (0,??) ,且

f

'(x)

?

x?a x2



…………………1分

① 当 a ? 0 时 , f '(x) ? 0 , f (x) 在 (0,??) 上 单 调 递

增;

………………2 分

②当 a ? 0 时,由 f '(x) ? 0 ,得 x ? ?a ;由 f '(x) ? 0 ,得 x ? ?a ;

故 f (x) 在 (0,?a) 上 单 调 递 减 , 在 (?a,??) 上 单 调 递

增.

………………4 分

(2) g(x) ? ax ? a ? 5ln x , g(x) 的定义域为 (0,??)
x

g'(x)

?

a

?

a x2

?

5 x

?

ax2

? 5x x2

?

a



……………5 分

因为 g(x) 在其定义域内为增函数,所以 ?x ?(0,??) , g'(x) ? 0

?

ax 2

? 5x

?

a

?

0

?

a(x2

? 1)

?

5x

?

a

?

5x x2 ?1

?

a

?

? 5x ? ?? x2 ? 1??max



5x x2 ?1

?

x

5 ?

1

?

5 2

,当且仅当

x ?1

时取等号,所以

x

a? 5

………………8 分

2

(3)当

a

?

2 时,

g(x)

?

2x

?

2 x

?

5 ln

x



g'(x)

?

2x2

? 5x x2

?

2

由 g'(x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? 2 当 x ?(0, 1) 时 , g'(x) ? 0 ; 当 x ? (1 ,1) 时 ,

2

2

2

g'(x) ? 0 .







g

(

x)max

?

g(

1) 2

?

?3

?

5

ln

2

(0,1)





…………………10 分

而“ ?x1 ? (0,1) , ?x2 ?[1,2],总有 g(x1) ? h(x2) 成立”等价于 “ g(x) 在 (0,1) 上的最大值不小于 h(x) 在[1,2]上的最大值” 而 h(x) 在[1,2]上的最大值为 max{h(1),h(2)}

所以有

???g ? ???g

( (

1 2 1 2

) )

? ?

h(1) h(2)

?

?? ???

3? 3?

5ln 5ln

2 2

? ?

5 8

? ?

m 2m

?

??m ???m

? ?

8 ? 5ln 1 (11 ? 2

2 5 ln

2)

?

m

?

8

? 5ln

2

所以实数 m 的取值范围是

[8 ? 5ln 2, ? ?)

……………14 分

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