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南京市2018届高三年级第三次模拟考试(数学)试卷


南京市 2018 届高三年级第三次模拟考试


注意事项:



2018.05

1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本试卷满 分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题 .. 纸 上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. . 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位 置上) 1.集合 A={x| x2+x-6=0},B={x| x2-4=0},则 A∪B=________ ▲ . 2.已知复数 z 的共轭复数是- z .若 z(2-i)=5,其中 i 为虚数单位,则- z 的模为________ ▲ . 3.某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况,随机抽取了 500 名学生,他们的每天在校平均开销 都不低于 20 元且不超过 60 元,其频率分布直方图如图所示,则其中每天在校平均开销在[50,60]元的 学生人数为________ ▲ . S←1 I←1 While I<8

S←S+2 I←I+3 End While Print S
(第 3 题图)
(第 4 题图)

4.根据如图所示的伪代码,可知输出 S 的值为________ ▲ . 5. 已知 A, B, C 三人分别在连续三天中值班, 每人值班一天, 那么 A 与 B 在相邻两天值班的概率为________ ▲ .

?x-y-3≤0, y ? 6.若实数 x,y 满足?x+2y-5≥0,则 的取值范围为________ ▲ . x ?y-2≤0, ?
7. 已知 α,β 是两个不同的平面,l,m 是两条不同的直线,有如下四个命题: ①若 l⊥α,l⊥β,则 α∥β; ③若 l∥α,l⊥β,则 α⊥β; ②若 l⊥α,α⊥β,则 l∥β; ④若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β.

其中真命题为________ ▲ (填所有真命题的序号) .
高三数学试卷第 1 页 共 4 页

x2 y2 8.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为 2a,则 a b 该双曲线的离心率为________ ▲ . 9.若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,n∈N*,且 a1=1,S6=3S3,则 a7 的值为________ ▲ . 10.若 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数,且 f(x)=?
?x2+x+a,0≤x≤2, ? ?-6x+18,2<x≤3, ?

则 f(a+1)的值为________ ▲ .

11.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 M:x2+y2-6x-4y+8=0 与 x 轴的两个交点分别为 A,B,其中 A 在 B 的右侧,以 AB 为直径的圆记为圆 N,过点 A 作直线 l 与圆 M,圆 N 分别交于 C,D 两点.若 D 为线 段 AC 的中点,则直线 l 的方程为________ ▲ . 2 →→ →→ →→ 12.在△ABC 中,AB=3,AC=2,D 为边 BC 上一点.若 AB · AD =5, AC · AD =- ,则 AB · AC 的值为 3 ▲ . ________ c b 13.若正数 a,b,c 成等差数列,则 + 的最小值为________ ▲ . 2a+b a+2c 14.已知 a,b∈R,e 为自然对数的底数.若存在 b∈[-3e,-e2],使得函数 f (x)=ex-ax-b 在[1,3]上 存在零点,则 a 的取值范围为________ ▲ . 二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写 在答题卡的指定区域内) 15.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,锐角 α,β 的顶点为坐标原点 O,始边为 x 轴的正半轴,终边与单位圆 O 2 7 3 3 的交点分别为 P,Q.已知点 P 的横坐标为 ,点 Q 的纵坐标为 . 7 14 (1)求 cos2α 的值; (2)求 2α-β 的值. y
P Q O

x

(第 15 题图)

高三数学试卷第 2 页 共 4 页

16.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA= 6,其余棱长均为 2,M 是棱 PC 上的一点,D,E 分别为棱 AB, BC 的中点. (1)求证: 平面 PBC⊥平面 ABC; (2)若 PD∥平面 AEM,求 PM 的长.
A D B (第 16 题图) E C P M

17.(本小题满分 14 分) 如图,公园里有一湖泊,其边界由两条线段 AB,AC 和以 BC 为直径的半圆弧⌒ BC 组成,其中 AC 为 2 π 百米,AC⊥BC,∠A 为 .若在半圆弧⌒ BC ,线段 AC,线段 AB 上各建一个观赏亭 D,E,F,再修两 3 π π 条栈道 DE,DF,使 DE∥AB,DF∥AC. 记∠CBD=θ( ≤θ< ) . 3 2 (1)试用 θ 表示 BD 的长; (2)试确定点 E 的位置,使两条栈道长度之和最大. B
D F

C

E

A

(第 17 题图)

18.(本小题满分 16 分) x2 y2 8 3 3 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 P( , ),离心率为 . 已知过点 a b 5 5 2 2 M( ,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点. 5 (1)求椭圆 C 的方程; →→ (2)试问 x 轴上是否存在定点 N,使得 NA · NB 为定值.若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,请 说明理由.
y A O B (第 18 题图) 高三数学试卷第 3 页 共 4 页 M x

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f (x)=2x3-3ax2+3a-2(a>0) ,记 f'(x)为 f(x)的导函数. (1)若 f (x)的极大值为 0,求实数 a 的值; (2)若函数 g (x)=f (x)+6x,求 g (x)在[0,1]上取到最大值时 x 的值; a a+2 (3)若关于 x 的不等式 f(x)≥f'(x)在[ , ]上有解,求满足条件的正整数 a 的集合. 2 2

20.(本小题满分 16 分) 若数列{an}满足:对于任意 n∈N*,an+|an+1-an+2|均为数列{an}中的项,则称数列{an}为“T 数列”. (1)若数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2,n∈N*,求证:数列{an}为“T 数列”; (2)若公差为 d 的等差数列{an}为“T 数列”,求 d 的取值范围;
2 2 (3)若数列{an}为“T 数列”,a1=1,且对于任意 n∈N*,均有 an<an+ 1-an<an+1,求数列{an}的通项

公式.

高三数学试卷第 4 页 共 4 页


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