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2011年数学(文)原创预测题:专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数(新课标)


专题一:集合、常用逻辑用语、不等式、 专题一:集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 (新课标文) 新课标文
一、选择题 1.设 A = {x | ?1 < x < 1} , B = {x | x ? a > 0} ,若 A ? B ,则 a 的取值范围是 . ( ?∞, 1) ?
2



) . (1, ∞ ) + )

. ( ?∞, 1] ?∞, ?

. [1,+∞ )

2.命题“存在 x ∈ R , 使x + ax ? 4a < 0 为假命题”是命题“ ? 16 ≤ a ≤ 0 ”的( .充要条件 .充分不必要条件 .必要不充分条件 .既不充分也不必要条件

4 3.若曲线 y = x ? x 在点 P 处的切线垂直于直线 x + 3 y = 0 ,则点 P 的坐标为(



. (1,0)

. (0,?1)
x

. (0,1)

. (?1,0)

4.已知函数 f ( x ) = a + log a x ( a > 0 且 a ≠ 1) 在 [1, 2] 上的最大值与最小值之和为 log a 2 + 6 ,则 a 的值 为( . )

1 2

.

1 4
2 5

. 2 )

.4

5.设 a = log 5 4,b = log5 3) c = log 4 ,则 ( ( , .a < c < b
x 2

. b<c<a

. a<b<c

.b < a < c ( )

6. a 是 f ( x ) = 2 ? log 1 x 的零点,若 0 < x 0 < a ,则 f ( x 0 ) 的值满足 . f ( x0 ) = 0 . f ( x0 ) < 0 . f ( x0 ) > 0

. f ( x 0 ) 的符号不确定

7.设奇函数 f ( x ) 在 ( 0, +∞ ) 上为增函数,且 f ( 2 ) = 0 ,则不等式 . ( ?2, 0 ) U ( 2, +∞ ) . ( ?∞, ?2 ) U ( 2, +∞ ) . ( ?∞, ?2 ) U ( 0, 2 ) . ( ?2, 0 ) U ( 0, 2 )

f ( x) ? f (?x) x

< 0 的解集为(



8.函数 y = f (x ) 在定义域( ?

3 , 3 )内可导,其图象如图所示,记 y = f (x) 的导函数为 y = f ' ( x) ,则 2

不等式 f ' ( x ) ≤ 0 的解集为( .[ ?



1 , 1] U [2 , 3) 3

. [ ?1 ,

1 4 8 ]U[ , ] 2 3 3
第 1 页(共 8 页)

. [?

3 1 , ] U [1 , 2] 2 2

9. 已知函数

f ( x) . (2, +∞ )

3 1 4 8 , ? 1] U [ , ] U [ , 3) 2 2 3 3 =| lg x | ,若 a < b ,且 f (a ) = f (b) ,则 a + 4b 的取值范围是(
. (? . (2



2, +∞)

. (4, +∞ )

. (5, +∞)

10.如图,正方形 ABCD 的顶点 A(0,

2 2 ) , B( , 0) ,顶点 C、D 位于第一象限,直线 2 2 l : x = t (0 ≤ t ≤ 2) 将正方形 ABCD 分成两部分,记位于直线 l 左侧阴影部分的面积为 f (t ) ,则函数

s = f ( t ) 的图象大致是

二、填空题 11.若函数 f ( x) = e x ? 2 x ? a 在 R 上有两个零点,则实数 的取值范围是________.

?y ≥ 0 ? 12. 设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y + 1 ≥ 0 ,则 z = 3 x + y 的最大值为_____________. ?x + y ? 3 ≤ 0 ?
13.已知 a > 0, b > 0 ,则

1 1 + + 2 ab 的最小值是_____________. a b

14.定义在 R 上的函数 y = f ( x) 是减函数,且函数 y = f ( x ? 1) 的图象关于 (1, 0) 成中心对称,若 s , t 满足
t 不等式 f ( s 2 ? 2 s ) ≤ ? f (2t ? t 2 ) ,则当 1 ≤ s ≤ 4 时, 的取值范围是___________. s 三、解答题
15.已知函数 f ( x ) = x + 2 x ? ax + 1 .
3 2

(I)若函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 4,求实数 a 的值; (II)若函数 g ( x ) = f ′( x ) 在区间 (?1,1) 上存在零点,求实数 a 的取值范围. 16.已知函数 f ( x ) = ax + bx + cx + d 在 (?∞,1) 上单调递减,在(1,3)上单调递增,在 (3,+∞) 上单调
3 2

递减,且函数图象在 ( 2, f ( 2)) 处的切线与直线 5 x + y = 0 垂直. (Ⅰ)求实数 a 、 b 、 c 的值; (Ⅱ)设函数 f (x ) =0 有三个不相等的实数根,求 d 的取值范围. 17.设函数 f ( x ) =

1 2 x x e . 2

(Ⅰ)求函数 f (x ) 的单调区间;

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(Ⅱ)若当 x ∈ [? 2,2] 时,不等式 f ( x ) < m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 18.已知函数 f ( x ) =

ln x + 1 ? a ,a∈ R. x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)若 ln x ? kx < 0 在 (0,+∞) 上恒成立,求 k 的取值范围; (Ⅲ)已知 x1 > 0 , x 2 > 0 ,且 x1 + x 2 < e ,求证: x1 + x 2 > x1 x 2 . 19.已知函数 f ( x ) = ln x ?

a ( x ? 1) . x +1 m?n m+n < . ln m ? ln n 2

(Ⅰ)若函数 f ( x)在(0, +∞) 上为单调增函数,求 的取值范围; (Ⅱ)设 m, n为正实数, 且m ≠ n, 求证 :

20.已知函数 f ( x ) =

ln x + a (a ∈ R) x .

(Ⅰ)求 f (x ) 的极值; (Ⅱ)若函数 f (x ) 的图象与函数 g (x ) =1 的图象在区间 (0, e ] 上有公共点,求实数 a 的取值范围.
2

答案解析(专题一) 答案解析(专题一)
一、选择题 1.选 .集合 B = ( a, +∞ ) , A ? B ,则只要 a ≤ ?1 即可,即 a 的取值范围是 (?∞, ?1] . “存在 x ∈ R , 使x 2 + ax ? 4a < 0 为假命题”得 ? = a + 16a ≤ 0 ,解得 ? 16 ≤ a ≤ 0 ,所 2.选 .依题意,
2

以命题“存在 x ∈ R , 使x 2 + ax ? 4a < 0 为假命题”是命题“ ? 16 ≤ a ≤ 0 ”的充要条件. 3.选 . y′ = 4 x 3 ? 1 ,当 y′ = 3 时,即 4 x ? 1 = 3 ,解得 x = 1 ,此时点 P 的坐标为 (1,0) .
3

4. 选
2

. 依 题 意 , 函 数 f ( x ) = a + log a x ( a > 0 且 a ≠ 1) 在 [1, 2] 上 具 有 相 同 的 单 调 性 , 因 此
x

a + a + log a 2 = log a 2 + 6 ,解得 a = 2 ( a
.选 ,

= 3

-

).

数函数 y = log 5 x 的图象,可得 0 < log 5 3 < log 5 4 < 1 ,

∴ b = (log 5 3) 2 < log 5 4
x

= a,

c = log 4 5 > 1,∴ b < a < c .
函数有 点, 点是 一的, 函 ,即 f ( x0 ) < 0 . 函数 f ( x ) 的 意图( 图) ,

.选 .函数 f ( x ) = 2 + log 2 x 在 (0, +∞ ) 上是单调 增的, 数是单调 增性,在 (0, a ) 上 .选 .依题意, 函数的函数值

f ( x) ? f (?x) x

<0



f ( x) x

< 0,

第 3 页(共 8 页)

由图知,不等式的解集为 ( ?2, 0 ) U ( 0, 2 ) . 8.选 .依题意,当 f ' ( x ) ≤ 0 时,函数 y = f (x ) 是减函数,由图象知,x∈[ ? 所以 a + 4b = a + 9.选 .由题意知 ab = 1(0 < a < b) , 上为减函数,所以 f ( a ) > f (1) = 5 .

1 , 1] U [2 , 3) . 3

4 4 , f ( a ) = a + (0 < a < 1) , 令 则 f (a ) 在 (0,1) a a

?2 2 ) ?t , (0 ≤ t ≤ ? 2 10.选 .依题意得 S = f (t ) = ? ??(t ? 2)2 + 1, 2 < t ≤ 2) ( ? 2 ?
11.【解析】考查 y = e x 和 y = 2 x + a 的交点情况,由于直线 y = 2 x + a 的方向确定,画出图象易知,当直 线 y = 2 x + a 和 y = e x 相切时,仅有一个公共点,这时切点是 (ln 2, 2) ,切线方程是 y = 2 x + 2 ? 2ln 2 ,将 直线 y = 2 x + 2 ? 2ln 2 向上平移,这时两曲线必有两个不同的交点. 【答案】 (2 ? 2ln 2, +∞) 12.【解析】 约束条件确定的区域如图阴影所示,

目标函数 z

= 3 x + y 在点(3,0)处取得最大值

zmax = 3 x + y = 3 × 3 + 0 = 9 .
【答案】9 13.【解析】因为

1 1 1 1 1 1 1 = ab , + + 2 ab ≥ 2 + 2 ab = 2( + ab ) ≥ 4 当且仅当 = ,且 a b ab a b ab ab

即 a = b 时,取“=”. 【答案】 4 14. 【解析】由 f ( x ? 1) 的图象关于 (1, 0) 中心对称知 f ( x) 的图象关于 (0, 0) 中心对称,故 f ( x) 为奇函数
w. w.w. k.s.5.

第 4 页(共 8 页)

得 f ( s 2 ? 2 s ) ≤ f (t 2 ? 2t ) , 从而 t 2 ? 2t ≤ s 2 ? 2 s , 化简得 (t ? s )(t + s ? 2) ≤ 0 , 1 ≤ s ≤ 4 , 2 ? s ≤ t ≤ s , 又 故
从而

2 2 t ? 1 ? 1 ≤ ≤ 1 ,等号可以取到,而 ? 1 ∈ ? ? , s s s ? 2 ? 1? . ?
2

t ? 1 ? 1? ,故 ∈ ? ? , s ? 2 ?

? 1? . ?

? 1 【答案】 ? ? , ? 2

15.【解析】由题意得 g ( x ) = f ′( x ) = 3 x + 4 x ? a . (I) f ′(1) = 3 + 4 ? a = 4 ∴ a = 3 . (II)讨论: (1)当 g ( ?1) = ? a ? 1 = 0, a = ?1 时, g ( x ) = f ′( x ) 的零点 x = ? ∈ ( ?1,1) ; (2)当 g (1) = 7 ? a = 0 时, f ′(x ) 的零点 x = ? (3)当 g (1) g ( ?1) < 0 时, ?1 < a < 7 .

1 3

7 ? (?1,1) ,不合题意; 3

?? = 4(4 + 3a ) ≥ 0 ? ? ?1 < ? 2 < 1 4 ? 时,∴? ≤ a < ?1 , (4)当 ? 3 3 ? g (1) > 0 ? ? g (?1) > 0 ?
综上所述, a ∈ [ ?

4 , 7) . 3
2

16.【解析】 (Ⅰ) f ' ( x) = 3ax + 2bx + c ,
∵函数图象在 ( 2, f ( 2)) 处的切线与直线 5 x + y = 0 垂直, ∴ f ' ( 2) = 12a + 4b + c = 由已知可知, x

1 . 5



= 1 和 x = 3 为方程 f ' ( x) = 0 的两根,所以
② ③

f '(1) = 3a + 2b + c = 0,
f ' (3) = 27 a + 6b + c = 0. 1 2 3 ,b = ,c = ? . 15 5 5 1 3 2 2 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) = ? x + x ? x+d , 15 5 5
由①、②、③解得 a = ?

当 x = 1 和 x = 3 时函数 f (x ) 分别取得极小值和极大值,且当 x 取负值且绝对值足够大时, y 取正值, 当 x 取正值且足够大时, y 取负值. 所以方程 f ( x ) = 0 有三个不相等的实数根的充要条件为

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? 4 ? f (1) < 0, ?? + d < 0, 4 即 ? 15 所以 d 的取值范围为 0 < d < . ? 15 ? f (3) > 0, ?d > 0, ?
17.【解析】 (1)

f ′( x) = xe x +

1 2 x 1 x x e = e x( x + 2) , 2 2



f ′( x) = xe x +

1 2 x 1 x x e = e x( x + 2) > 0 ,得 x > 0 或 x < ?2 , 2 2

∴ f (x ) 的单调增区间为 ( ?∞,?2) 和 (0,+∞) .


f ′( x) = xe x +

1 2 x 1 x x e = e x( x + 2) < 0, ? 2 < x < 0 , 得 2 2

∴ f (x ) 的单调减区间为 (?2,0) .
(2)Q x ∈ [? 2,2] , 令 f ′( x ) = 0 ,得 x

= ?2或x = 0 ,

又由(1)知, x = ?2, x = 0 分别是 f (x ) 的极大值点和极小值点,

Q f ( ?2 ) =

2 , f ( 2 ) = 2 e 2 , f ( 0) = 0 , e2

当 x ∈ [? 2,2] 时

f ( x) ∈ ?0, 2e 2 ? ,∴ m > 2e 2 . ? ?
a ? ln x a ,令 f ′( x ) = 0 ,得 x = e . 2 x

18.【解析】 (Ⅰ) f ′( x ) =

当 x ∈ (0, e a ), f ' ( x ) > 0, f ( x) 为增函数; 当 x ∈ (e a ,+∞), f ' ( x ) < 0, f ( x ) 为减函数, 可知 f (x ) 有极大值为 f (e a ) = e ? a . (Ⅱ)欲使 ln x ? kx < 0 在 (0,+∞) 上恒成立,只需 设 g ( x) =

ln x < k 在 (0,+∞) 上恒成立, x

ln x ( x > 0) . x

由(Ⅰ)知, g (x ) 在 x = e 处取最大值

1 1 ,所以 k > . e e ln x (Ⅲ) e > x1 + x 2 > x1 > 0 ,由上可知 f ( x ) = 在 (0, e) 上单调递增, x

所以

ln( x1 + x2 ) ln x1 x ln( x1 + x 2 ) > ,即 1 > ln x1 , x1 + x 2 x1 + x2 x1
第 6 页(共 8 页)

同理

x 2 ln( x1 + x 2 ) > ln x 2 ,两式相加得 ln( x1 + x 2 ) > ln x1 + ln x 2 = ln( x1 x 2 ) , x1 + x 2

所以 x1 + x 2 > x1 x 2 . 19. 【解析】 (I) f ′( x ) =

1 a ( x + 1) ? a ( x ? 1) ? x ( x + 1) 2

( x + 1)2 ? 2ax x 2 + (2 ? 2a ) x + 1 = = . x( x + 1) 2 x( x + 1) 2 因为 f ( x)在(0, +∞) 上为单调增函数, 所以 f ′( x) ≥ 0在(0, +∞) 上恒成立. 即x 2 + (2 ? 2a ) x + 1 ≥ 0在(0, +∞)上恒成立.

当x ∈ (0, +∞)时,由x 2 + (2 ? 2a ) x + 1 ≥ 0, 1 得 2a ? 2 ≤ x + . x 1 设g ( x) = x + , x ∈ (0, +∞). x 1 1 g ( x) = x + ≥ 2 x ? = 2. x x 1 所以当且仅当x = , 即x = 1时, g ( x)有最小值2. x 所以2a ? 2 ≤ 2. 所以 的取值范围是 (?∞, 2]. 所以a ≤ 2. m?n m+n (II)要证 < , ln m ? ln n 2 m m ?1 +1 n n 只需证 < , m 2 ln n m m 2( ? 1) 2( ? 1) m m n 即证 ln > , 只需证 ln ? n > 0. m m n n +1 +1 n n 2( x ? 1) 设h( x) = ln x ? . x +1 m 由(I)知 h( x)在(1, +∞) 上是单调增函数,又 > 1 , n m 所以h( ) > h(1) = 0. n m 2( ? 1) m 即 ln ? n > 0成立. m n +1 n
第 7 页(共 8 页)

所以

m?n m+n < . ln m ? ln n 2
1 ? (ln x + a ) x2 ,

20.【解析】 (Ⅰ) f ( x )的定义域为(0,+∞ ), f ′( x ) = 令 f ′( x) = 0得x = e 当 x ∈ (0, e 当 x ∈ (e
1? a 1? a



)时, f ′( x) > 0, f ( x) 是增函数,

1? a

,+∞)时, f ′( x) < 0, f ( x) 是减函数,
1? a

∴ f ( x)在x = e

处取得极大值, f ( x) 极大值 = f (e1?a ) = e a ?1



(Ⅱ) (i)当 e1? a < e 2 时,即 a > ?1时 ,由(Ⅰ)知 f ( x)在(0, e1? a ) 上是增函数,在 (e1? a , e 2 ] 上是减函 数

∴ f ( x)max = f (e1? a ) = ea ?1
又 当

.

x = e ? a时, f ( x) = 0, 当x ∈ (0, e ? a ]时f ( x) < 0.当x ∈ (e ? a , e 2 ] 时 ,

f ( x) ∈ (0.e a ?1 ) 所 以

f ( x)与图象g ( x) = 1 的图象在 (0, e 2 ] 上有公共点,等价于 e a ?1 ≥ 1 .
解得 a ≥ 1, 又a > ?1, 所以a ≥ 1 . (ii)当 e
1? a

≥ e 2即a ≤ ?1 时, f ( x)在(0, e 2 ] 上是增函数,
2+a e2 ,

∴ f ( x )在(0, e 2 ]上的最大值为 f (e 2 ) =

所以原问题等价于

又Q a ≤ ?1 ,∴无解. 综上,实数 a 的取值范围是 a ≥ 1 .

2+a ≥ 1, 解得a ≥ e 2 ? 2. e2

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