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第二章 2.1向量的加法


第二章 平面向量
§2 从位移的合成到向量的加法 2.1 向量的加法

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探究点一 : 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
导引 两个向量可以相加,并且两个向量的和还是一个向量.一般地,求 两个向量和的运算,叫作向量的加法.如图所示,是上海到台北的航线 示意图:一是经香港转停到台北;二是由上海直接飞往台北.

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探究点一 : 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
通过上面地图中客机的位移,我们得到向量加法的三角形法则:

→ +AB → =OB →. OA

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探究点一 : 向量加法的三角形法则和平行四边形法则

思考 1 使用向量加法的三角形法则具体做法是什么?

答 先把两个向量首尾顺次相接,然后连接第一个向量的始点和后 一个向量的终点,并指向后一个向量的终点,就得到两个向量的和 向量.

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探究点一 : 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
思考 2 当向量 a,b 是共线向量时,a+b 又如何作出?
答 (1)当 a 与 b 同向时:

→ → → OB=OA+AB=a+b.

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探究点一 : 向量加法的三角形法则和平行四边形法则

(2)当 a 与 b 反向时:

→ =a,AB → =b,OB → =OA → +AB → =a+b. OA

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探究点一 : 向量加法的三角形法则和平行四边形法则

思考 3 |a+b|与|a|和|b|之间的大小关系如何?

1.a,b同向共线时 2.a,b反向共线时 3.a,b不共线时

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探究点一 : 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
思考 4 向量加法还可以用平行四边形法则,其具体做法是什么?
答 先把两个已知向量的起点平移到同一点,再以这两个已知 向量为邻边作平行四边形,则这两邻边所夹的对角线就是这两 个已知向量的和.
→ =a,AD → =b,以 AB、 以点 A 为起点作向量AB → AD 为邻边作?ABCD, 则以 A 为起点的对角线AC → ,如图. 就是 a 与 b 的和,记作 a+b=AC 对于零向量与任一向量 a,我们规定:a+0=0+a=a.
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探究点一 : 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
思考 5 实数的加法运算满足交换律,即对任意 a,b∈R,都有 a+b=b +a.那么向量的加法也满足交换律吗?如何检验? 答 向量的加法满足交换律,根据如图中的平行四边形 ABCD 验证向量 → =a,AD → =b). 加法的交换律:a+b=b+a.(注:AB

→ → → → ∵AC=AB+BC,∴AC=a+b. → → → → ∵AC=AD+DC,∴AC=b+a.

∴a+b=b+a.
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探究点一 : 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
思考 6 实数的加法运算满足结合律,即对任意 a,b,c∈R,都有(a+b) +c=a+(b+c).那么向量的加法也满足结合律吗?如何检验?

答 向量的加法也满足结合律,根据下图中的四边形,验证向量加法 的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).

→ → → → → → ∵AD=AC+CD=(AB+BC)+CD,
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探究点一 : 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
→ =(a+b)+c, ∴AD
→ → → → → → 又∵AD=AB+BD=AB+(BC+CD), → =a+(b+c), ∴AD

∴(a+b)+c=a+(b+c).

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探究点一 : 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
思考 7 向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系?
答 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别: ①三角形法 则中强调“首尾相连”,平行四边形法则中强调的是“共起点”;
②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和,而平行四边形仅 适用于不共线的两个向量求和.联系:当两个向量不共线时,向 量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.

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探究点一 : 向量加法的三角形法则和平行四边形法则
例 1 如图,已知向量 a、b,求作向量 a+b.

跟踪训练 1 如图,已知向量 a,b,c, 利用三角形法则作出向量 a+b+c.

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探究点一 : 向量加法的三角形法则和平行四边形法则

反思与感悟 已知向量 a 与向量 b,要作出和向量 a+b,关键是准确规 范地依据三角形法则或平行四边形法则作图.

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探究点二 : 向量加法的多边形法则 思考 向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则,即 把每个向量平移,使这些向量首尾相连,则由第一个向量的起点指向最 后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量. 即:A→ A +A→ A +A→ A +? +A A =A→ A.
1 2 2 3 3 4 n-1 n 1 n

→ → → 或A1A2+A2A3+? +An-1An+AnA1=0. 这是一个极其简单却非常有用的结论(如图).

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探究点二 : 向量加法的多边形法则
利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效.例如,在 → → → → → → 0 正六边形 ABCDEF 中,AC+BD+CE+DF+EA+FB=________.

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探究点二 : 向量加法的多边形法则
例 2 化简: → +AB → ;(2)DB → +CD → +BC →; (1)BC → → → → → (3)AB+DF+CD+BC+FA.

→ +CD → +BC →. 跟踪训练 2 化简:(1)AB → → → → (2)(MA+BN)+(AC+CB). → +(BD → +CA → )+DC →. (3)AB

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探究点二 : 向量加法的多边形法则

反思与感悟 解决该类题目要灵活应用向量加法运算律,注意各向量 的起、终点及向量起、终点字母排列顺序.

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探究点三 : 向量加法的实际应用

例 3 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡 进行运输. 如图所示, 一艘船从长江南岸 A 点出发, 以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时 江水的速度为向东 2 km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效 数字); (2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精 确到度).
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探究点三 : 向量加法的实际应用

跟踪训练 3 若 a=“向北走 8 km”,b=“向东走 8 km”,则|a+b| 8 2 km ;a+b 的方向是___________ 东北方向 =________ .

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探究点三 : 向量加法的实际应用

反思与感悟 速度、位移等物理量均为向量,因此此类问题可以通过建 模,转化为数学中的向量问题解决.

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课堂练习
1.如图,D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、CA 的中点,则下列 等式中错误的是 → → → A.FD+DA+DE=0 → +BE → +CF → =0 B.AD → → → → C.FD+DE+AD=AB → +EC → +FD → =BD → D.AD ( )

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2.设 E 是平行四边形 ABCD 外一点,如图所示,化 简下列各式: → +EA → =________; (1)DE → +AB → +EA → =______; (2)BE → +CB → +EC → =________; (3)DE → +DB → +EC → +AE → =________. (4)BA

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→ → → 3.如图所示,在四边形 ABCD 中,AC=AB+AD, 试判断四边形的形状.

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4.如图所示,P,Q 是△ABC 的边 BC 上两点,且 BP= QC. → → → → 求证:AB+AC=AP+AQ.

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1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法,两个法 则是统一的.当两个向量首尾相连时常选用三角形法则,当两个 向量共始点时,常选用平行四边形法则. 2.向量的加法满足交换律,因此在进行多个向量的加法运算时,可 以按照任意的次序和任意的组合去进行.

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