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北京市西城区2013年高三一模试题—数学文

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北京市西城区 2013 年高三一模考试

数学(文)试题
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸 上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.已知全集 U ? {x ? Z | | x | ? 5} ,集合 A ? {?2,1,3, 4} , B ? {0, 2, 4} ,那么 A ? ?U B ? (A) {?2,1, 4} 2.复数 (B) {?2,1,3} (C) {0, 2} (D) {?2,1,3, 4}

?1 ? i ? i (A) 1 ? i

(B) ? 1 ? i

(C) ? 1 ? i

(D)1 ? i

3.执行如图所示的程序框图.若输出 y ? ? 3 ,则输入角 ? ? (A)

π 6 π 6

(B) ? (C)

π 3 π 3

(D) ?

4.设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 0 .若 S2 ? 2a3 ,则 q 的取值范围是

1 2 1 (C) (??, ?1) ? ( , ??) 2
(A) ( ?1, 0) ? (0, )

(B) (? , 0) ? (0,1) (D) (??, ? ) ? (1, ??)

1 2

1 2

5.某正三棱柱的三视图如图所示,其中正(主)视图是边长 为 2 的正方形,该正三棱柱的表面积是 (A) 6 ? 3 (C) 12 ? 2 3 (B) 12 ? 3 (D) 24 ? 2 3

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? x ? 1 ? 0, ? 6.设实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 y ? 4 x 的最大值是 ? x ? y ? 2 ? 0, ?
(A) ?4 (B) ?

1 2

(C) 4

(D) 7

7.已知函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c ,则“ c ? 0 ”是“ ?x0 ?R ,使 f ( x0 ) ? 0 ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

8.如图,正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E 是棱 B1C1 的 1 中点,动点 P 在底面 ABCD 内,且 PA1 ? A1E ,则 点 P 运动形成的图形是 (A)线段 (B)圆弧 (C)椭圆的一部分 (D)抛物线的一部分

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知向量 i ? (1, 0) , j ? (0,1) .若向量 i ? ? j 与 ? i ? j 垂直,则实数 ? ? ______. 10.已知函数 f ( x ) ? ?
2

?log 2 x, x ? 0, ?2 ,
x

x ? 0,

则 f ( ) ? f ( ?2) ? ______.

1 4

11.抛物线 y ? 2 x 的准线方程是______;该抛物线的焦点为 F ,点 M ( x0 , y0 ) 在此抛物线上,且

MF ?

5 ,则 x0 ? ______. 2

12.某厂对一批元件进行抽样检测.经统计,这批元件 的长度数据 (单位: mm )全部介于 93 至 105 之间. 95) 将长度数据以 2 为组距分成以下 6 组: [93, , [95, ) , [97, , [99, 97 99) 101) , [101, 103) , [103,105] ,得到如图所示的频率分布直方图.若长 度在 [97,103) 内的元件为合格品,根据频率分布直 方图,估计这批产品的合格率是_____. 13.在△ ABC 中,内角 A , B , C 的对边边长分别为 a , b , c ,且 则△ ABC 的面积是______.

cos A b 3 ? ? .若 c ? 10 , cos B a 4

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? an an是偶数, ? , 14.已知数列 {an } 的各项均为正整数,其前 n 项和为 Sn .若 an ?1 ? ? 2 且 S3 ? 29 , ?3an ? 1, an是奇数, ?
则 a1 ? ______; S3n ? ______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的一个零点是 (Ⅰ )求实数 a 的值; (Ⅱ )设 g ( x) ? [ f ( x)]2 ? 2sin 2 x ,求 g ( x) 的单调递增区间.

3π . 4

16. (本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中,面 CDEF 为正方形,面 ABCD 为等腰梯形, AB // CD , AC ? 3 ,

AB ? 2 BC ? 2 , AC ? FB . (Ⅰ )求证: AC ? 平面 FBC ; (Ⅱ )求四面体 FBCD 的体积; (Ⅲ)线段 AC 上是否存在点 M ,使 EA //平面 FDM ?
证明你的结论.

17. (本小题满分 13 分) 某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过 1 小时收费 6 元, 超过 1 小时的部分每小时收费 8 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) .现有甲、乙二人在该商区 临时停车,两人停车都不超过 4 小时. (Ⅰ)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为

1 5 ,停车付费多于 14 元的概率为 ,求甲 3 12

停车付费恰为 6 元的概率; (Ⅱ) 若每人停车的时长在每个时段的可能性相同, 求甲、 乙二人停车付费之和为 36 元的概率.

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax , g ( x) ? ax ? ln x ,其中 a ? 0 .
x

(Ⅰ)求 f (x) 的极值; (Ⅱ)若存在区间 M ,使 f (x) 和 g ( x) 在区间 M 上具有相同的单调性,求 a 的取值范围.

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19. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 如图,已知椭圆 ? ? 1 的左焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点,线段 AB 的中 4 3
点为 G , AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点. (Ⅰ)若点 G 的横坐标为 ?

1 ,求直线 AB 的斜率; 4

(Ⅱ)记△ GFD 的面积为 S1 ,△ OED ( O 为原点)的面 积为 S2 .试问:是否存在直线 AB ,使得 S1 ? S2 ?说明理由.

20. (本小题满分 13 分) 已知集合 Sn ? {X | X ? ( x1, x2 ,?, xn ), xi ? N* , i ? 1, 2,?, n} (n ? 2) . 对于 A ? (a1 , a2 ,?, an ) , B ? (b1 , b2 ,?, bn ) ? Sn ,定义 AB ? (b1 ? a1 , b2 ? a2 ,?, bn ? an ) ;

??? ?

? (a1, a2 ,?, an ) ? (?a1, ?a2 ,?, ?an ) (? ?R) ; A 与 B 之间的距离为 d ( A, B) ? ? | ai ? bi | .
i ?1

n

(Ⅰ)当 n ? 5 时,设 A ? (1, 2,1, 2,5) , B ? (2, 4, 2,1,3) ,求 d ( A, B) ; (Ⅱ)证明:若 A, B, C ? Sn ,且 ?? ? 0 ,使 AB ? ? BC ,则 d ( A, B) ? d ( B, C ) ? d ( A, C ) ; (Ⅲ)记 I ? (1,1,?,1) ? S20 .若 A , B ? S20 ,且 d ( I , A) ? d ( I , B) ?13 ,求 d ( A, B) 的最大 值.

??? ?

??? ?

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