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2016高考数学二轮复习微专题强化练习题:16不等式与线性规划


第一部分



16

一、选择题 1.(文)(2015· 唐山市一模)已知全集 U={x|x2>1},集合 A={x|x2-4x+3<0},则?UA= ( ) A.(1,3) C.(-∞,-1)∪[3,+∞) [答案] C [解析] ∵U={x|x2>1}={x|x>1 或 x<-1},A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},∴?UA= {x|x<-1 或 x≥3}. 1 (理)(2014· 唐山市一模)己知集合 A={x|x2-3x+2<0},B={x|log4x> },则( 2 A.A∩B=? C.A∩(?RB)=R [答案] A 1 [解析] A={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2},B={x|log4x> }={x|x>2},∴A∩B=?. 2 [方法点拨] 解不等式或由不等式恒成立求参数的取值范围是高考常见题型. 1.解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般 为一元二次不等式)求解. 2.解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类,关键是找到对参数进行讨论的原 因.确定好分类标准,有理有据、层次清楚地求解. 3.解不等式与集合结合命题时,先解不等式确定集合,再按集合的关系与运算求解. 4.分段函数与解不等式结合命题,应注意分段求解. 2.(文)(2014· 天津理,7)设 a、b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C [解析] (1)若 a>b,则①a>b≥0,此时 a|a|>b|b|;②a>0>b,显然有 a|a|>b|b|;③0≥a>b, 此时 0<|a|<|b|,∴a|a|>a|b|>b|b|,综上 a>b 时,有 a|a|>b|b|成立. (2)若 a|a|>b|b|,①b=0 时,有 a>0,∴a>b;②b>0 时,显然有 a>0,∴a2>b2,∴a>b; ③b<0 时,若 a≥0 时,a>b;若 a<0,则-a2>-b2,∴a2<b2,∴(a+b)(a-b)<0,∴a>b, ) B.B?A D.A?B ) B.(-∞,1)∪[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)

综上当 a|a|>b|b|时有 a>b 成立,故选 C. (理)(2014· 四川文,5)若 a>b>0,c<d<0,则一定有( a b A. > d c a b C. > c d [答案] B 1 1 1 1 [解析] ∵c<d<0,∴ < <0,∴- >- >0, d c d c a b a b 又∵a>b>0,∴- >- >0,即 < .选 B. d c d c [方法点拨] 不等式的性质经常与集合、充要条件、命题的真假判断、函数等知识结合 在一起考查,解题时,关键是熟记不等式的各项性质,特别是各不等式成立的条件,然后结 合函数的单调性求解. 2 1 3.(文)若直线 2ax+by-2=0(a、b∈R)平分圆 x2+y2-2x-4y-6=0,则 + 的最小值 a b 是( ) A.1 C.4 2 [答案] D [解析] 直线平分圆,则必过圆心. 圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=11. ∴圆心 C(1,2)在直线上?2a+2b-2=0?a+b=1. 2 1 2 1 2b a 2b a ∴ + =( + )(a+b)=2+ + +1=3+ + ≥3+2 2,故选 D. a b a b a b a b 1 2 (理)(2015· 湖南文,7)若实数 a,b 满足 + = ab,则 ab 的最小值为( a b A. 2 C.2 2 [答案] C [解析] 考查基本不等式. 1 2 1 2 根据 + = ab,可得 a>0,b>0,然后利用基本不等式 + ≥2 a b a b 1 2 1 2 值即可;∵ + = ab,∴a>0,b>0,∵ ab= + ≥2 a b a b 1 2 × =2 a b 1 2 × 求解 ab 的最小 a b 2 ,∴ab≥2 2,(当 ab B .2 D.4 ) B .5 D.3+2 2 a b B. < d c a b D. < c d )

且仅当 b=2a 时取等号),所以 ab 的最小值为 2 2,故选 C. [方法点拨] 1.用基本不等式 a+b ≥ ab求最值时,要注意“一正、二定、三相等”, 2

一定要明确什么时候等号成立,要注意“代入消元”、“拆、拼、凑”、“1 的代换”等技 巧的应用. 2.不等式恒成立问题一般用分离参数法转化为函数最值求解或用赋值法讨论求解. x-2≤0, ? ? 4.(文)(2015· 天津文,2)设变量 x,y 满足约束条件?x-2y≤0, 则目标函数 z=3x ? ?x+2y-8≤0, +y 的最大值为( A.7 C.9 [答案] C 5 1 [解析] z=3x+y= (x-2)+ (x+2y-8)+9≤9,当 x=2,y=3 时取得最大值 9,故选 2 2 C.此题也可画出可行域如图,借助图象求解. ) B .8 D.14

3x+y-6≥0, ? ? (理)设变量 x、 y 满足约束条件?x-y-2≤0, ? ?y-3≤0, A.-7 C.1 [答案] A

则目标函数 z=y-2x 的最小值为(

)

B.-4 D.2

3x+y-6≥0, ? ? [解析] 由 x,y 满足的约束条件?x-y-2≤0, ? ?y-3≤0, B(5,3),C(1,3),

画出可行域如图,容易求出 A(2,0),

由图可知当直线 z=y-2x 过点 B(5,3)时,z 最小值为 3-2×5=-7. 5.(2015· 四川文,4)设 a,b 为正实数,则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( A.充要条件 C.必要不充分条件 [答案] A [解析] 考查命题及其关系. a>b>1 时,有 log2a>log2b>0 成立,反之也正确.选 A. x y 6. (文)(2015· 福建文, 5)若直线 + =1(a>0, b>0)过点(1,1), 则 a+b 的最小值等于( a b A.2 C.4 [答案] C [解析] 考查基本不等式. 1 1 1 1 b a 由已知得, + =1,a>0,b>0,则 a+b=(a+b)( + )=2+ + ≥2+2 a b a b a b b a = ,即 a=b=2 时取等号. a b 1 (理)已知 a>0,b>0,且 2a+b=4,则 的最小值为( ab 1 A. 4 1 C. 2 [答案] C [解析] ∵a>0,b>0,∴4=2a+b≥2 2ab, 1 1 ∴ab≤2,∴ ≥ ,等号在 a=1,b=2 时成立. ab 2 B .4 D.2 ) ba · =4,当 ab B .3 D.5 ) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

x-4y≤-3 ? ? 7.设 z=2x+y,其中变量 x,y 满足条件?3x+5y≤25 ? ?x≥m 为( ) A.1 C.3 [答案] A B .2 D.4

.若 z 的最小值为 3,则 m 的值

? ?x-4y≤-3 [解析] 作出不等式组? ,表示的平面区域,由于 z=2x+y 的最小值为 3, ?3x+5y≤25 ?

作直线 l0:x=m 平移 l0 可知 m=1 符合题意. [方法点拨] 1.线性规划问题一般有三种题型:一是求最值;二是求区域面积;三是由 最优解确定目标函数中参数的取值范围. 2.解决线性规划问题首先要画出可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,数形结 合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点 问题可通过验证解决. 3.确定二元一次不等式组表示的平面区域:①画线,②定侧,③确定公共部分;解线 性规划问题的步骤:①作图,②平移目标函数线,③解有关方程组求值,确定最优解(或最 值等). 8. (文)关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1, x2), 且 x2-x1=15, 则 a=( 5 A. 2 15 C. 4 [答案] A [解析] ∵a>0,∴不等式 x2-2ax-8a2<0 化为 (x+2a)(x-4a)<0,∴-2a<x<4a, 5 ∵x2-x1=15,∴4a-(-2a)=15,∴a= . 2 (理)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,若实数 a 满 1 足 f(log2a)+f(log a)≤2f(1),则 a 的取值范围是( 2 A.[1,2] 1 C.[ ,2] 2 [答案] C ) 7 B. 2 15 D. 2 )

1 B.(0, ] 2 D.(0,2]

1 1 [解析] 因为 log a=-log2a,所以 f(log2a)+f(log a)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a), 2 2 原不等式变为 2f(log2a)≤2f(1),即 f(log2a)≤f(1),又因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在 1 [0,+∞)上递增,所以|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1,解得 ≤a≤2,故选 C. 2
? ?x+y≥a, 9.(文)(2014· 新课标Ⅰ文,11)设 x、y 满足约束条件? ?x-y≤-1, ?

且 z=x+ay 的最小值为 7,则 a=( A.-5 C.-5 或 3 [答案] B

) B .3 D.5 或-3

? ?x+y=-5, [解析] 当 a=-5 时,作出可行域,由? 得交点 A(-3,-2),则目标函 ?x-y=-1, ?

数 z=x-5y 过 A 点时取最大值,zmax=7,不合题意,排除 A、C;当 a=3 时,同理可得目 标函数 z=x+3y 过 B(1,2)时,zmin=7 符合题意,故选 B. x+y-2≥0, ? ? (理)(2014· 北京理,6)若 x、y 满足?kx-y+2≥0, ? ?y≥0, 值为( A.2 1 C. 2 [答案] D [解析] 本题考查了线性规划的应用. 若 k≥0,z=y-x 没有最小值,不合题意. 若 k<0,则不等式组所表示的平面区域如图所示. 2 由图可知,z=y-x 在点(- ,0)处取最小值-4, k ) B.-2 1 D.- 2

且 z=y-x 的最小值为-4,则 k 的

2 1 故 0-(- )=-4,解得 k=- ,即选项 D 正确. k 2

x+y-1≥0 ? ? 10.(2015· 江西质量监测)在平面直角坐标系中,若不等式组?x-1≤0 ? ?ax-y+1≥0 所表示的平面区域的面积等于 5,则 a 的值为( A.-11 C.9 [答案] C [解析] ) B .3 D.9 或-11

(a 为常数)

由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域,设为△ABC,其中

1 A(1,0),B(0,1),C(1,1+a)且 a>-1,因为 S△ABC=5,所以 ×(1+a)×1=5,解得 a=9. 2 x+1-y≥0 ? ? 11.(2015· 南昌市一模)已知实数 x,y 满足?x+y-4≤0 ? ?y≥m 大值与最小值的差为 2,则实数 m 的值为( A.4 C.2 [答案] C x+1-y≥0 ? ? [解析] ?x+y-4≤0 ? ?y≥m ) B .3 1 D.- 2

,若目标函数 z=2x+y 的最

表示的可行域如图中阴影部分所示.

将直线 l0:2x+y=0 向上平移至过点 A,B 时,z=2x+y 分别取得最小值与最大值.由
?x+1-y=0 ?x+y-4=0 ? ? ? 得 A(m-1,m),由? 得 B(4-m,m),所以 zmin=2(m-1)+m=3m ?y=m ?y=m ? ?

-2,zmax=2(4-m)+m=8-m,所以 zmax-zmin=8-m-(3m-2)=10-4m=2,解得 m=2. 12.(2015· 洛阳市期末)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导函数为 f′(x).对?x∈R,不 b2 等式 f(x)≥f′(x)恒成立,则 2 的最大值为( a +2c2 A. 6+2 C.2 2+2 [答案] B ) B. 6-2 D.2 2-2

[解析] 由已知得:f′(x)=2ax+b,f(x)≥f′(x)恒成立即 ax2+(b-2a)x+c-b≥0 恒成 -4+ ? ?a>0, a -4a2+4ac b2 c 立,∴? ∴b2≤-4a2+4ac,∴ 2 ,设 =t,令 g(t)= 2≤ 2 2 = c a a + 2 c a + 2 c ?Δ≤0, ? ? ?2 1+2· ?a? 4?t-1? 4m 4m 4 4 ,令 t-1=m,则 g(t)= = = ≤ = 6-2, 3 1+2t2 1+2?m+1?2 2m2+4m+3 2 6+ 4 2m+ +4 m 3 当且仅当 2m= ,即 m= m 二、填空题 x≥0, ? ?y≥0, 13.(文)不等式组? x+y- 2-1≤0, ? ?x-ky+k≥0 =________. [答案] ± 1 [解析] 本题可以通过画图解决,如图直线 l:x-ky+k=0 过定点(0,1).当 k=± 1 时, 所围成的图形是轴对称图形. 3 时等号成立,故选 B. 2 4c

表示的是一个轴对称四边形围成的区域,则 k

x+y≥3, ? ? ( 理 ) 设变量 x 、 y 满足约束条件 ?x-y≥-1, ? ?2x-y≤3, ________. [答案] 41 x+y≥3, ? ? [解析] 约束条件?x-y≥-1, ? ?2x-y≤3,

则目标函数 z = x2 + y2 的最大值为

画出可行域如图,

易知 x=4,y=5 时,z 有最大值,z=42+52=41. 14. (文)(2015· 天津文, 12)已知 a>0, b>0, ab=8, 则当 a 的值为________时, log2a· log2(2b) 取得最大值. [答案] 4 [解析] log2a· log2(2b)≤? log2a+log2?2b??2 2 ? ?

1 1 = [log2(2ab)]2= (log216)2=4, 4 4 当 a=2b 时取等号,结合 a>0,b>0,ab=8,可得 a=4,b=2. (理)(2015· 重庆文,14)设 a,b>0,a+b=5,则 a+1+ b+3的最大值为________. [答案] 3 2 [解析] 考查基本不等式. 由 2ab≤a2 +b2 两边同时加上 a2+ b2 ,得 (a+ b)2≤2(a2 + b2) 两边同时开方即得: a+ b≤ 2?a2+b2? (a>0 , b>0 , 当 且 仅 当 a = b 时 取 “ = ”) ; 从 而 有 a+1 + b+3 7 3 ≤ 2?a+1+b+3?= 2×9=3 2(当且仅当 a+1=b+3,即 a= ,b= 时,“=”成立)故 2 2 填:3 2. 15.(2014· 邯郸市一模)已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数且 f(1)=2,当 x1、x2∈[- f?x1?+f?x2? 1,1], 且 x1+x2≠0 时, 有 >0, 若 f(x)≥m2-2am-5 对所有 x∈[-1, 1]、 a∈[-1,1] x1+x2 恒成立,则实数 m 的取值范围是________. [答案] [-1,1] [解析] ∵f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数, ∴当 x1、x2∈[-1,1]且 x1+x2≠0 时, f?x1?+f?x2? f?x1?-f?-x2? >0 等价于 >0, x1+x2 x1-?-x2? ∴f(x)在[-1,1]上单调递增. ∵f(1)=2,∴f(x)min=f(-1)=-f(1)=-2. 要使 f(x)≥m2-2am-5 对所有 x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立, 即-2≥m2-2am-5 对所有 a∈[-1,1]恒成立,

∴m2-2am-3≤0,设 g(a)=m2-2am-3,
? ? ?g?-1?≤0, ?-3≤m≤1, 则? 即? ∴-1≤m≤1. ?g?1?≤0, ?-1≤m≤3. ? ?

∴实数 m 的取值范围是[-1,1]. 三、解答题 16.(文)(2015· 湖北文,21)设函数 f(x),g(x)的定义域均为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是 偶函数,f(x)+g(x)=ex,其中 e 为自然对数的底数. (1)求 f(x),g(x)的解析式,并证明:当 x>0 时,f(x)>0,g(x)>1; (2)设 a≤0,b≥1,证明:当 x>0 时,ag(x)+(1-a)< f?x? <bg(x)+(1-b). x

[分析] 考查 1.导数在研究函数的单调性与极值中的应用;2.函数的基本性质. (1)将等式 f(x)+g(x)=ex 中 x 用-x 来替换,并结合已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 构造方程组即可求出 f(x),g(x)的表达式;当 x>0 时,由指数与指数函数的性质知 ex>1,0<e
x


<1,进而可得到 f(x)>0.然后再由基本不等式即可得出 g(x)>1. f?x? (2)要证明 ag(x)+(1-a)< <bg(x)+(1-b),即证 f(x)>axg(x)+(1-a)x 和 f(x)<bxg(x)+ x

(1-b)x.于是构造函数 h(x)=f(x)-cxg(x)-(1-c)x,利用导数在函数的单调性与极值中的应 用即可得出结论成立. [解析] (1)由 f(x),g(x)的奇偶性及 f(x)+g(x)=ex, 得:-f(x)+g(x)=e x.


① ②

1 1 - - 联立①②解得 f(x)= (ex-e x),g(x)= (ex+e x). 2 2 当 x>0 时,ex>1,0<e
-x

<1,故

f(x)>0.

③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧

1 - - 又由基本不等式,有 g(x)= (ex+e x)> exe x=1,即 g(x)>1. 2 ex 1 x 1? 1 1 e - x ′= ?ex+ 2x?= (ex+e-x)=g(x), (2)由(1)得 f′(x)= ? e? e ? 2 2? 2? ex 1 x 1? 1 1 e + x ′= ?ex- 2x?= (ex-e-x)=f(x), g′(x)= ? e? e ? 2 2? 2? f?x? 当 x>0 时, >ag(x)+(1-a)等价于 f(x)>axg(x)+(1-a)x, x f?x? <bg(x)+(1-b)等价于 f(x)<bxg(x)+(1-b)x. x

设函数 h(x)=f(x)-cxg(x)-(1-c)x, 由⑤⑥, 有 h′(x)=g(x)-cg(x)-cxf(x)-(1-c)=(1 -c)[g(x)-1] -cxf(x). 当 x>0 时, 1° 若 c≤0, 由③④, 得 h′(x)>0, 故 h(x)在[0, +∞) 上

为增函数,从而 h(x)>h(0)=0,即 f(x)>cxg(x)+(1-c)x,故⑦成立. 2° 若 c≥1,由③④,得 h′(x)<0,故 h(x)在[0,+∞)上为减函数,从而 h(x)<h(0)=0,

即 f(x)<cxg(x)+(1-c)x,故⑧成立. f?x? 综合⑦⑧,得 ag(x)+(1-a)< <bg(x)+(1-b). x ?x-1?2 (理)(2015· 福建文,22)已知函数 f(x)=ln x- . 2 (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)证明:当 x>1 时,f(x)<x-1; (3)确定实数 k 的所有可能取值,使得存在 x0>1,当 x∈(1,x0)时,恒有 f(x)>k(x-1). [分析] 考查导数的综合应用. (1)求导函数 f′(x),解不等式 f′(x)>0 并与定义域求交集,得函数 f(x)的单调递增区间; (2)构造函数 F(x)=f(x)-(x-1),x∈(1,+∞).欲证明 f(x)<x-1,只需证明 F(x)的最大 值小于 0 即可; (3)当 k≥1 时,易知不存在 x0>1 满足题意;当 k<1 时,构造函数 G(x)=f(x)-k(x-1),x ∈(0,+∞),利用导数研究函数 G(x)的单调性,讨论得出结论. -x2+x+1 1 [解析] (1)f′(x)= -x+1= ,x∈(0,+∞). x x
? ?x>0, 由 f′(x)>0 得? 2 ?-x +x+1>0. ?

1+ 5 解得 0<x< . 2

? 1+ 5?. 故 f(x)的单调递增区间是?0, ? 2 ? ?
(2)证明:令 F(x)=f(x)-(x-1),x∈(0,+∞). 1-x2 则有 F′(x)= . x 当 x∈(1,+∞)时,F′(x)<0, 所以 F(x)在[1,+∞)上单调递减, 故当 x>1 时,F(x)<F(1)=0,即当 x>1 时,f(x)<x-1. (3)由(2)知,当 k=1 时,不存在 x0>1 满足题意. 当 k>1 时,对于 x>1,有 f(x)<x-1<k(x-1),则 f(x)<k(x-1),从而不存在 x0>1 满足题 意. 当 k<1 时,令 G(x)=f(x)-k(x-1),x∈(0,+∞), -x2+?1-k?x+1 1 则有 G′(x)= -x+1-k= . x x 由 G′(x)=0 得,-x2+(1-k)x+1=0. 1-k- ?1-k?2+4 解得 x1= <0, 2

x2=

1-k+ ?1-k?2+4 >1. 2

当 x∈(1,x2)时,G′(x)>0,故 G(x)在[1,x2)内单调递增. 从而当 x∈(1,x2)时,G(x)>G(1)=0,即 f(x)>k(x-1), 综上,k 的取值范围是(-∞,1). a 17.(文)已知函数 f(x)=lnx,g(x)=- (a>0). x (1)当 a=1 时,若曲线 y=f(x)在点 M(x0,f(x0))处的切线与曲线 y=g(x)在点 P(x0,g(x0)) 处的切线平行,求实数 x0 的值; 3 (2)若?x∈(0,e],都有 f(x)≥g(x)+ ,求实数 a 的取值范围. 2 1 1 [解析] (1)当 a=1 时,f ′(x)= ,g′(x)= 2. x x 因为函数 f(x)在点 M(x0,f(x0))处的切线与函数 g(x)在点 P(x0,g(x0))处的切线平行, 1 1 所以 = 2,解得 x0=1. x0 x0 3 (2)若?x∈(0,e],都有 f(x)≥g(x)+ . 2 3 a 3 记 F(x)=f(x)-g(x)- =lnx+ - , 2 x 2 只要 F(x)在(0,e]上的最小值大于等于 0, 1 a x -a F′(x)= - 2= 2 , x x x 则 F′(x)、F(x)随 x 的变化情况如下表: x F′(x) F(x) (0,a) - ? a 0 极小值 (a,+∞) + ?

当 a≥e 时,函数 F(x)在(0,e)上单调递减,F(e)为最小值, a 3 e 所以 F(e)=1+ - ≥0,得 a≥ ,所以 a≥e. e 2 2 当 a<e 时,函数 F(x)在(0,a)上单调递减,在(a,e)上单调递增,F(a)为最小值,所以 a 3 F(a)=lna+ - ≥0,得 a≥ e, a 2 所以 e≤a<e,综上 a≥ e. 1-a (理)设函数 f(x)=lnx-ax+ -1. x (1)当 a=1 时,求曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程; (2)讨论函数 f(x)的单调性;

1 5 (3)当 a= 时, 设函数 g(x)=x2-2bx- , 若对于?x1∈[1,2], ?x2∈[0,1], 使 f(x1)≥g(x2) 3 12 成立,求实数 b 的取值范围. 1-a 1 [解析] 函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=- -a- 2 , x x (1)当 a=1 时,f(x)=lnx-x-1, 1 ∴f(1)=-2,f′(x)= -1,∴f′(1)=0 x ∴f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=-2 1-a -ax2+x-?1-a? -?x-1?[ax-?1-a?] 1 (2)f′(x)= -a- 2 = = , f(x)的定义域为(0, + x x x2 x2 ∞) x-1 当 a=0 时,f′(x)= 2 ,f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(0,1) x 1-a 1-a 1-a 1 当 a≠0 时, >1,即 0<a< 时,f(x)的增区间为(1, ),减区间为(0,1),( , a 2 a a +∞) 1-a 1 =1,即 a= 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减 a 2 1-a 1-a 1-a 1 1 <1,即 a> 或 a<0,当 a> 时,f(x)的增区间为( ,1),减区间为(0, ),(1, a 2 2 a a +∞) 1-a 1-a 当 a<0 时,f(x)的增区间为(0, ),(1+∞);减区间为( ,1). a a 1 (3)当 a= 时,由(Ⅱ)知函数 f(x)在区间(1,2)上为增函数, 3 2 所以函数 f(x)在[1,2]上的最小值为 f(1)=- 3 对于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1],使 f(x1)≥g(x2)成立?g(x)在[0,1]上的最小值不大于 f(x)在 2 [1,2]上的最小值- (*) 3 5 5 又 g(x)=x2-2bx- =(x-b)2-b2- ,x∈[0,1] 12 12 ①当 b<0 时,g(x)在[0,1]上为增函数, g(x)min=g(0)=- 5 2 >- 与(*)矛盾 12 3

5 ②当 0≤b≤1 时,g(x)min=g(b)=-b2- , 12 5 2 1 由-b2- ≤- 及 0≤b≤1 得, ≤b≤1 12 3 2

③当 b>1 时,g(x)在[0,1]上为减函数, g(x)min=g(1)= 7 2 -2b≤- , 此时 b>1 12 3

1 综上所述,b 的取值范围是[ ,+∞). 2 [方法点拨] 注意区分几类问题的解法. ①对任意 x∈A,f(x)>M(或 f(x)<M)恒成立. ②存在 x∈A,使 f(x)>M(或 f(x)<M)成立.


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