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空间向量巧解平行、垂直关系


高中数学 编稿老师

空间向量巧解平行、垂直关系 刘咏霞 一校 黄楠 二校 杨雪 审核 郑建彬

一、考点突破
知识点 课标要求 1. 能够运用向量的坐标判断两个向 量的平行或垂直。 空间向量巧解 平行、垂直关系 2. 理解直线的方向向量与平面的法 向量。 3. 能用向量方法解决线面、面面的 垂直与平行问题,体会向量方法在 立体几何中的作用。 选择题 填空题 解答题 注意用向量方 法解决平行和垂直 问题中坐标系的建 立以及法向量的求 法。 题型 说明

二、重难点提示
重点:用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。 难点:用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。

考点一:直线的方向向量与平面的法向量
1. 直线 l 上的向量 a 或与 a 共线的向量叫作直线 l 的方向向量。 2. 如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 α,则称这个向量垂直于平面 α,记作 a⊥α,此时向量 a 叫作平面 α 的法向量。

【核心归纳】 ① 一条直线的方向向量有无数多个,一个平面的法向量也有无数多个,且它们是共线 的。 ② 在空间中,给定一个点 A 和一个向量 a,那么以向量 a 为法向量且经过点 A 的平面 是唯一确定的。 【随堂练习】

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已知 A(1,1,0) ,B(1,0,1) ,C(0,1,1) ,则平面 ABC 的一个法向量的单位向 量是( )

A. (1,1,1) C. ( , , )

1 1 1 3 3 3

3 , 3 3 D. ( , 3
B. (

3 3 , ) 3 3 3 3 ,? ) 3 3
??? ?

思路分析:设出法向量坐标,列方程组求解。

??? ? ? AB· n ? ?y ? z ? 0 ??? ? ??? ? ? ? n ? ? x ? y ? 0 ,∴x=y=z, 1,1,0) , AC =(-1,0,1) ,则 ? BC · ???? ? n ? ?x ? z ? 0 ? ? AC ·
又∵单位向量的模为 1,故只有 B 正确。

答案:设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z) , AB =(0,-1,1) , BC =(-

??? ?

技巧点拨:一般情况下,使用待定系数法求平面的法向量,步骤如下: (1)设出平面的法向量为 n=(x,y,z) 。 (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a=(a1,b1,c1) ,b=(a2,b2,c2) 。 (3)根据法向量的定义建立关于 x,y,z 的方程组 ? (4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量。

a?0 ?n· b ? 0. ?n·

考点二:用向量法证明空间中的平行关系、垂直关系
线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 设两条不重合的直线 l,m 的方向向量分别为 a=(a1,b1,c1) ,b=(a2,b2, c2) ,则 l∥m?a∥b?(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) 设 l 的方向向量为 a=(a1,b1,c1) ,α 的法向量为 u=(a2,b2,c2) , 则 l∥α?a⊥u?a· u=0?a1a2+b1b2+c1c2=0 设 α,β 的法向量分别为 u=(a1,b1,c1) ,v=(a2,b2,c2) , 则 α∥β?u∥v?(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) 设两条不重合的直线 l,m 的方向向量分别为 a=(a1,b1,c1) ,b=(a2,b2, c2) ,则 l⊥m?a⊥b?a· b=0?a1a2+b1b2+c1c2=0 设 l 的方向向量为 a=(a1,b1,c1) ,α 的法向量为 u=(a2,b2,c2) , 则 l⊥α?a∥u?a=ku?(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) (k∈R) 设 α,β 的法向量分别为 u=(a1,b1,c1) ,v=(a2,b2,c2) , 则 α⊥β?u⊥v?u· v=0?a1a2+b1b2+c1c2=0

【核心突破】 ① 用向量法解决立体几何问题是空间向量的一个具体应用,体现了向量的工具性,这 种方法可把复杂的推理证明、 辅助线的作法转化为空间向量的运算, 降低了空间想象演绎推 理的难度,体现了由“形”转“数”的转化思想。 ② 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” :

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建立立体图形与空间 向量的联系,用空间 向量表示问题中涉及 的点、直线、平面, 把立体几何问题转化 为向量问题。

通过向量运算,研究 点、直线、平面之间 的位置关系以及它们 之间的距离和夹角等 问题。

把向量的运算结果 “翻译”成相应的几 何意义。

例题 1 (浙江改编)如图,在四面体 A-BCD 中,AD⊥平面 BCD,BC⊥CD, AD=2,BD=2 2 ,M 是 AD 的中点,P 是 BM 的中点,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ=3QC。 证明:PQ∥平面 BCD。

思路分析:利用直线的方向向量和平面的法向量垂直证明线面平行。 答案:证明:如图,取 BD 的中点 O,以 O 为原点,OD、OP 所在射线为 y、z 轴的正 半轴,建立空间直角坐标系 O-xyz。

由题意知,A(0, 2 ,2) ,B(0,- 2 ,0) ,D(0, 2 ,0) 。

?3 2 3 1? ? 4 x0 , 4 ? 4 y0 , 2 ? ?。 ? ? 1? ? 因为 M 为 AD 的中点,故 M(0, 2 ,1) ,又 P 为 BM 的中点,故 P ? 0, 0, ? , 2? ? ??? ? ?3 ? 2 3 ? y , 0 所以 PQ = ? x0 , ? 0 ?4 ?。 4 4 ? ? ??? ? 又平面 BCD 的一个法向量为 a=(0,0,1) ,故 PQ · a=0。
设点 C 的坐标为(x0,y0,0) 。因为 AQ ? 3QC ,所以 Q ?

????

??? ?

又 PQ?平面 BCD,所以 PQ∥平面 BCD。 技巧点拨: 解决此类问题的依据是要根据线面平行的判定定理, 可证直线的方向向量与 平面内某一向量平行,也可证直线的方向向量与平面的法向量垂直。

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例题 2 如图所示,正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1 的所有棱长 都为 2,D 为 CC1 的中点。求证:AB1⊥平面 A1BD。

思路分析:证明线面垂直可以通过证明线与面的法向量平行来实现。 答案: 证明: 如图所示, 取 BC 的中点 O, 连接 AO, 因为△ABC 为正三角形, 所以 AO⊥BC。

∵在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,平面 ABC⊥平面 BCC1B1,∴AO⊥平面 BCC1B1, 取 B1C1 的中点 O1,以 O 为原点,分别以 OB , OO1 , OA 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0) ,D(-1,1,0) ,A1(0,2, 3 ) ,A(0,0, 3 ) , B1(1,2,0) 。

??? ?

???? ?

??? ?

???? ??? ? ???? , BD =(-2,1,0) 。 AB1 =(1,2, ? 3 ) BA1 =(-1,2, 3 )

设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z) ,

???? ??? ? ???? ? ?? x ? 2 y ? 3 z ? 0 ?n ? BA1 ? 0 ? 因为 n⊥ BA1 ,n⊥ BD ,故 ? ??? , ?? ? ? 2 x ? y ? 0 ? n ? BD ? 0 ? ? ? 令 x=1,则 y=2,z=- 3 ,故 n=(1,2,- 3 )为平面 A1BD 的一个法向量, ???? ???? ???? 而 AB1 =(1,2,- 3 ) ,所以 AB1 =n,所以 AB1 ∥n,故 AB1⊥平面 A1BD。
技巧点拨: 解决此类问题的依据是要根据线面垂直的判定定理, 证明直线的方向向量与 平面的法向量平行。 例题 3 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E 为 BB1 的中点,求证:平面 AEC1⊥平面 AA1C1C。

思路分析:建系写出坐标,分别求出两个平面的法向量,证明两个平面垂直。 答案:证明:由题意得 AB,BC,B1B 两两垂直,以 B 为原点,分别以 BA,BC,BB1 所在直线为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

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则 A(2,0,0) ,A1(2,0,1) ,C(0,2,0) ,C1(0,2,1) ,E(0,0,

则 AA , AC =(-2,2,0) , AC1 =(-2,2,1) , AE =(-2,0, 1 =(0,0,1)

????

??? ?

???? ?

??? ?

1 ) , 2

1 ) 。 2

???? ? AA1 ? 0 ?z ? 0 ?n1 · 设平面 AA1C1C 的一个法向量为 n1=(x,y,z) ,则 ? ???? ?? AC ? 0 ??2 x ? 2 y ? 0 ? ?n1 ·
令 x=1,得 y=1,∴n1=(1,1,0) 。

???? ? ??2 x0 ? 2 y 0 ? 0z ? 0 ? AC1 ? 0 ? ?n 2 · 设平面 AEC1 的一个法向量为 n2= (x0, y0, z0) , 则 ? ??? ?? ? 1 ?2 x0 ? z0 ? 0 AE ? 0 ? ? ?n 2 · ? 2
令 z0=4,得 x0=1,y0=-1。 ∴n2=(1,-1,4) 。∵n1· n2=1× 1+1× (-1)+0× 4=0, ∴n1⊥n2.∴平面 AEC1⊥平面 AA1C1C。 技巧点拨: 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径, 一是利用两个平面垂直的 判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直; 二是直接求解两个平面的法 向量,由两个法向量垂直,得面面垂直。向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑 图形的位置关系。恰当建系或用基向量表示后,只须经过向量运算就可得到要证明的结果, 思路方法“公式化”,降低了思维难度。

利用向量解决立体几何中的探索性问题
【满分训练】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 的中点,棱 BB1 上是 否存在一点 M,使得 D1M⊥平面 EFB1。 思路分析:设出点 M 的坐标,利用线面垂直列方程组求解。 答案:建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,设正方体的棱长为 2,则 E(2,1,0) , F(1,2,0) ,D1(0,0,2) ,B1(2,2,2) 。

设 M(2,2,m) ,则 EF =(-1,1,0) , B1E =(0,-1,-2) , D1M =(2,2, m-2) 。 ∵D1M⊥平面 EFB1, ∴D1M⊥EF,D1M⊥B1E,

??? ?

????

????? ?

EF =0 且 D1M · ∴ D1M · B1E =0,
于是 ?

? ????? ? ???

????? ? ????

??2 ? 2 ? 0 ,∴m=1。 ??2 ? 2(m ? 2) ? 0
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故取 B1B 的中点为 M 就能满足 D1M⊥平面 EFB1。 技巧点拨:对于“是否存在”型问题的探索方式有两种:一种是根据条件做出判断,再进 一步论证。 另一种是利用空间向量, 先设出假设存在的点的坐标, 再根据条件求该点的坐标, 即找到“存在点”,若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”。

(答题时间:40 分钟)
1. (东营高二检测)已知平面 α 的法向量为 a=(1,2,-2) ,平面 β 的法向量为 b=(- 2,-4,k) ,若 α⊥β,则 k=( A. 4 B. -4 ) C. 5 D. -5 )

??? ? ??? ? ??? ? 2. (青岛高二检测) 若 AB =λ CD +μ CE , 则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是 (
A. 相交 B. 平行 C. 在平面内 ) C. D. 平行或在平面内

??? ? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? 3. 已知 AB =(1,5,-2) , BC =(3,1,z) ,若 AB ⊥ BC , BP =(x-1,y,-3) ,
且 BP⊥平面 ABC,则实数 x,y,z 分别为( A.

33 15 ,- ,4 7 7

B.

40 15 ,- ,4 7 7

40 ,-2,4 7

D. 4,

40 ,-15 7

4. (汕头模拟)如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 3,点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,且 AE=FC1=1。

(1)求证:E,B,F,D1 四点共面; (2)若点 G 在 BC 上,BG= 平面 BCC1B1。

2 ,点 M 在 BB1 上,GM⊥BF,垂足为 H,求证:EM⊥ 3

5. 下列命题中,正确的是________。 (填序号) ① 若 n1,n2 分别是平面 α,β 的一个法向量,则 n1∥n2 ? α∥β; ② 若 n1,n2 分别是平面 α,β 的一个法向量,则 α⊥β ? n1· n2=0; ③ 若 n 是平面 α 的一个法向量,a 与平面 α 共面,则 n· a=0; ④ 若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直。 6. 平面上有四个互异的点 A,B,C,D,已知( DB + DC -2 DA )· ( AB - AC )= 0,则△ABC 的形状是 三角形。 7. 如图,直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是矩形,AB=2,AD=1,AA1=3, M 是 BC 的中点。在 DD1 上是否存在一点 N,使 MN⊥DC1?并说明理由。

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ?

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8. (衡水调研卷)如图所示,在四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中, A1D ⊥平面 ABCD,底 面 ABCD 是边长为 1 的正方形,侧棱 A1A =2。

(1)证明:AC⊥ A1B ;

(2)是否在棱 A1A 上存在一点 P,使得 AP =λ PA1 ,且面 AB1C1⊥面 PB1C1。

??? ?

????

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1. D 解析:∵α⊥β,∴a⊥b,∴a· b=-2-8-2k=0,∴k=-5。 2. D 解析:∵ AB =λ CD +μ CE ,∴ AB 、 CD 、 CE 共面,则 AB 与平面 CDE 的位 置关系是平行或在平面内。 3. B 解析:∵ AB ⊥ BC ,∴ AB · BC =0,即 3+5-2z=0,解得 z=4, 又∵BP⊥平面 ABC, ∴ BP ⊥ AB ,BP ⊥ BC , 则?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ? ???

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

5 y? 6 0 ? ?? x ? 1? ? 1 ? ? y1 ? 2 0? ?3? x ?

40 ? x ? ? ? 7 , 解得 ? 。 15 ?y ? ? ? 7 ?

4. 证明: (1)以 B 为原点,以 BA,BC,BB1 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间 ??? ? 直角坐标系 Bxyz,则 B(0,0,0) ,E(3,0,1) ,F(0,3,2) ,D1(3,3,3) ,则 BE = ???? ? ???? ? ??? ??? ? ? ??? ? (3,0,1) , BF =(0,3,2) , BD1 =(3,3,3) ,所以 BD1 = BE + BF 。由向量共面 的充要条件知 E,B,F,D1 四点共面。

(2)设 M(0,0,z0) ,G ? 0,

? ?

??? ? 2 ? 2 ? ? , , 0 ? ,则 GM = ? 0, ? , z0 ? ,而 BF =(0,3,2) 3 ? 3 ? ?

??? ? ???? 2 由题设得 GM · 3+z0· 2=0,得 z0=1。故 M(0,0,1) ,有 ME =(3,0, BF =- ×

3

0) 。

???? ???? ???? ???? ??? ??? ? ? 又 BB1 =(0,0,3) , BC =(0,3,0) ,所以 ME · BB1 =0, ME · BC =0,

从而 ME⊥BB1,ME⊥BC。又 BB1∩BC=B,故 EM⊥平面 BCC1B1。

? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? =( AB + AC )· CB =0,故△ABC 为等腰三角形。
则 C1(0,2,3) ,M(

5. ②③④

解析:②③④一定正确,①中两平面有可能重合。

CB 6. 等腰 解析: ( DB + DC -2 DA ) · ( AB - AC ) = ( DB - DA + DC - DA ) ·
7. 解:如图所示,建立以 D 为坐标原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴的坐标系,

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

1 ,2,0) ,D(0,0,0) 。设 N(0,0,h) , 2

则 MN =(-

???? ?

???? ? 1 ,-2,h) , DC1 =(0,2,3) , 2

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1 ,-2,h)· (0,2,3)=-4+3h. 2 ???? ? ???? ???? ? ???? ? ? 4 ∴当 h= 时, MN · DC1 =0,此时 MN ⊥ DC1 。∴存在 N∈DD1,使 MN⊥DC1。 3
由 MN · DC1 =(- 8. 证明:以 DA,DC,DA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则 D (0,0,0) ,A(1,0,0) ,C(0,1,0) ,A1(0,0, 3 ) ,B(1,1,0) ,D1(-1,0, ,B1(0,1, 3 ) ,C1(-1,1, 3 ) 。 3) ??? ? ??? ? ???? ???? (1) AC =(-1,1,0) ,A ,∴ AC ·A 1B =(1,1,- 3 ) 1B =0,∴AC⊥A1B. ???? ??? ? 1 3? (2)假设存在一点 P,∵ AP =λ PA1 ,∴P( ,0, ) 。 ? ?1 ? ?1 设平面 AB1C1 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1) ,

???? ? ???? ?

???? ? ???? ???? ? AB1 ? ? x1 ? y1 ? 3z1 ? 0 ?n1 · ∵ AB1 = (-1, 1, 3 ) , AC1 = (-2, 1, 3 ) , ∴ ? ???? ? AC1 ? ?2 x1 ? y1 ? 3z1 ? 0. ? ?n1 · 令 z1= 3 ,则 y1=-3,x1=0。∴n1=(0,-3, 3 ) 。 3 同理可求面 PB1C1 的一个法向量为 n2=(0, ,-1) , ? ?1 3 3 ∴n1· n2=0,∴- - 3 =0,即 λ=-4。 ? ?1
∵P 在棱 A1A 上,与 λ>0 矛盾。∴这样的一点 P 不存在。

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