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行列式-习题解答 (2)_图文

第一章

行列式

习题(A)
1.用定义计算行列式

1 log b a ① ? 1 ? log a log b ? 1 ? 1 ? 0 b a log a b 1
a ?1 a
3 2



1 a ?a ?1

? (a ? 1)(a 2 ? a ? 1) ? a 3 ? 1

2 7 ?3 ③ ?5 ?4 1 10 3 7 ? 2 ? ( ?4) ? 7 ? 7 ? 1 ? 10 ? (?5) ? 3 ? (?3) ? (?3) ? (?4)

?10 ? 2 ? 1 ? 3 ? 7 ? 7 ? ( ?5) ? 120 ? 6 ? 245 ? 178 ④ 1 ?c ?b

c b

1 a

?a 1

? 1 ? 1 ? 1 ? ( ? b ) ? c ? a ? b ? ( ? a ) ? ( ? c ) ? ( ? b) ? 1 ?b ? 1 ? (?a ) ? a ? 1 ? (? c ) ? c ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 1

0

?a 0 c

⑤ a ?b ⑥
1 1 a ⑦ b c

? c ? 0 ? abc ? abc ? 0 0

b

0 1 1 0 1 ? 1?1 ? 2 1 0 a2 a3 2 3 b b c2 c3

? ab2c 3 ? a 3bc 2 ? a 2b3c ? a 3b2c ? ab3c 2 ? a 2bc 3 ? abc(c ? b)(b ? a )(c ? a )

1? t2 2 1 ? t ⑧ ?2 t 1? t2

2t 2 2 2 2 1? t 2 2t 2 (1 ? t ) 1? t ?( ) ?( ) ?( )?1 2 2 2 2 2 1? t 1? t (1 ? t ) 1? t 1? t2 x?3 1 ?1 2.已知 D ? 1 x?5 1 ? 0 , 求x

?1


1

x?3

因为 D ? ( x ? 3)( x ? 5) ? 1 ? 1 ? ( x ? 5)

?( x ? 3) ? ( x ? 3) ? ( x ? 2)( x ? 3)( x ? 6) ? 0
所以 x ? 2 或 x ? 3 或 x ? 6

? ?1
3.已知 D ?

2

?a 3 ?0,求? ? ?1

3 ?a

? ?a
2

解 因为 D ? (? ? 1)2 (? ? a) ? 6a ? 6a ? a 2 (? ? a)

?6(? ? 1) ? 6(? ? 1)

? (? ? 1)2 (? ? a) ? 12a ? 12(? ? 1) ? a 2 (? ? a)
? (? ? 1 ? a )(? ? a ? 3)(? ? a ? 4) ? 0
所以 ? ? 1 ? a 或 ? ? a ? 3 或 ? ? a ? 4

a 1 0
4. 1

a 0 ? 0 的充分必要条件是什么? 4 1 1 解 因为 a 1 0 2 1 a 0 ? a ?1

4 1 1
令 a 2 ? 1 ? 0 得 a ? 1 或 a ? ?1

a 1 0
所以 1

a 0 ? 0 的充分必要条件是a ? 1或 a ? ?1 4 1 1

5. 求下列排列的逆序数,并讨论其奇偶性 ① 38162754 ② 3712456 ③ 246 (2n)135 ④ 135

(2n ? 1)

(2n ? 1)246 (2n) 解 ① ? (38162754) ? 2 ? 3 ? 0 ? 4 ? 3 ? 1 ? 1 ? 14 所以 38162754 为偶排列 ② ? (3712456) ? 2 ? 2 ? 0 ? 1 ? 1 ? 1 ? 7 所以 3712456 为奇排列
③ ? ? 246

(2n)135 (2n ? 1)? n( n ? 1) ? n ? ( n ? 1) ? ? 2 ? 1 ? 2 所以当 n ? 4k 或 n ? 4k ? 3 时为偶排列;当 n ? 4k ? 1
或 n ? 4k ? 2 时为奇排列.

6.选择 i , j , k ,使排列 21i 36 jk 97为偶排列. 解

? (214368597 ? 6), 为 当 i ? 4, j ? 8, k ? 5 时, ? (215364897 ? 6), 为偶排列,当 i ? 5, j ? 4, k ? 8时, 为偶排列,当 i ? 8, j ? 5, k ? 4时, ? (218365497 ? 10), 为偶排列.
in ) ? k , 则 ? (in in?1

7.设? (i1i2


i2 i1 )是多少?

假设在原排列i1i2 in中,i1后面比 i1 小的数码个数为 k1,则比 i1大的数码个数为(n ? 1) ? k1,于是在新排列

in in?1

i2i1中 i1前面比 i1 大的数码个数为(n ? 1) ? k1; in中 i 2 小的数码个数为 k2 ,则比

同理,设原排列 i1i2

i 2 大的数码个数为 (n ? 2) ? k2 ,于是在新排列 in in?1
新排列中 in ? 1 前面比 in ? 1 大的数码个数为

i2i1

中 i 2 前面比 i 2大的数码个数为(n ? 2) ? k2 ;依次类推,可得

? n ? (n ? 1)? ? kn?1 , 于是
? ( in in ? 1

i2 i1 ) ? ? ? ?(n ? i ) ? ki ? ?
i ?1

n ?1

?? ?(n ? 1) ? k1 ? ?? ? ?(n ? 2) ? k2 ? ?? ? ?(n ? 1) ? (n ? 2) ?
n( n ? 1) ? ?k 2

? ?n ? (n ? 1) ? kn?1 ? ? kn?1 )

? 2 ? 1? ? (k1 ? k2 ?

8.下列各题,哪些是五阶行列式 D ? aij 中的一项? 若是,试决定该项的符号.
① a13a25a32a41a54 ③ a43a21a35a12a54 解 ② a31a12a43a52a24

④ a12a23a34a45

①因为 a13 , a25 , a32 , a41 , a54是五阶行列式中位于

不同的行与不同的列的五个元素,所以 a13a25a32a41a54 是五阶行列式中的一项,且? (12345) ? ? (35214) ? 6 于是该项带正号. ②因为 a31 , a12 , a43 , a52 , a24 这五个元素中有两个 元素 a12与 a52位于同一列,所以 a31a12a43a52a24 不是
五阶行列式中的一项.

③因为 a43 , a21 , a35 , a12 , a54是五阶行列式中位于不同 的行与不同的列的五个元素,所以 a43a21a35a12a54 是五阶行列式中的一项.且 ? (42315) ? ? (31524) ? 9 于是该项带负号. ④因为a12 , a23 , a34 , a45 是五阶行列式中位于不同的行 与不同的列的四个元素.所以a12a23a34a45 不是五阶行列 式的一项. 9.在六阶行列式 D ? aij 中,下列各项应取什么符号?

① a15a23a32a44a51a66
③ a21a53a16a42a65a34

② a11a26a32a44a53a65 ④ a51a32a13a44a65a26

⑤a61a52a43a34a25a16



①因为? (123456) ? ? (532416) ? 0 ? 8 ? 8 ,所以
②因为? (123456) ? ? (162435) ? 0 ? 5 ? 5 ,所以

该项取正号. 该项取负号. ③因为? (251463) ? ? (136254) ? 5 ? 5 ? 11,所以 该项取负号. ④因为? (531462) ? ? (123456) ? 8 ? 0 ? 8 ,所以 该项取正号. ⑤因为? (654321) ? ? (123456) ? 15 ? 0 ? 15,所以 该项取负号.

10.写出四阶行列式中所有带负号并且包含因子 a23 的项. 解 四阶行列式中包含因子 a23 的所有项为:

a11a23a32a44 ;a11a23a34a42 ; a12a23a31a44 ;a12a23a34a41 ; a14a23a31a42 ; a14a23a32a41 带有负号并且包含因子 a23 a11a23a32a44 ; a12a23a34a41 ; a14a23a31a42 ; 的项为:
11.设 n 阶行列式中有 n2 ? n个以上的元素为零,证明 该行列式的值为零. 证明 因为 n 阶行列式共有 n2 个元素,已知 n2 ? n 个以上元素为零,所以非零元素不足 n个.而n 阶行列 式的每一项都是由取自不同的行不同列的 n 个元素的 的乘积构成.因此每一项中至少有一个元素取零,于

是该项为零,从而该行列式的值也为零.

12.用行列式定义计算行列式 ① a

1 a

1


a

①此行列式有位于不同的行与不同的列的 n个非 零元素的乘积 a n与 a n? 2 ,他们所带的符号分别为

(?1)

? (123 n )

? 1 与 (?1)
n n? 2

? ? n 23 ( n?1)1?

? (?1)2n?3 ? ?1

因此 D ? a ? a

0 0


1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 n?1 0

0 n


②此行列式刚好只有处在不同的行与不同的列的

n个非零元素 a12 , a23 , a(n ? 1)n , an1 , 故非零项只有一项 a12a23 a(n ? 1)n an1 ,该项所带的符号为
(?1)
? ? 23 n1?

? (?1)

n?1

,
? (n ? 1) ? n ? (?1)n?1 n!

因此 D ? (?1)n?11? 2 ?

0 0


0 0 0 0

0 0 0 0

0 2 0 0

1 0 0 0

0 0 0 n

n?1 0


②此行列式刚好只有处在不同的行与不同的列的

n个非零元素 a1( n?1) , a2( n?2) ,
有一项 a1( n?1)a2( n?2)

, a( n?1)1 , ann , 故非零项只

a( n?1)1ann ,该项所带的符号为

( ?1)

? ? ( n ?1)( n ? 2) 1 n?

( n ? 1)( n ? 2) ? ( ?1) , 因此 2

( n ? 1)( n ? 2) D ? ( ?1) 1? 2 ? 2 ( n ? 1)( n ? 2) ? ( ?1) n! 2 0 0 0 1 0 0 2 0


? ( n ? 1) ? n

0 n


n?1 0

0 0

0 0

④此行列式刚好只有处在不同的行与不同的列的 n 个非零元素 a1n , a2( n?1) , , a( n?1)2 , an1 ,故非零项只有

一项 a1na2( n?1)
? ? n ( n ?1) 21?

a( n?1)2an1 , 该项所带的符号为

n( n ? 1) ( ?1) ? ( ?1) , 因此 2 n( n ? 1) n( n ? 1) D ? ( ?1) 1 ? 2 ? ? ( n ? 1) ? n ? ( ?1) n! 2 2
13.由行列式定义计算

1 2 1 ?1 中 x 4与 x 3 的系数 x 1 1 x 4 3 解 此行列式中涉及 x 与 x 的项分别为:a11a22a33a44 与a12a21a33a44 , 所带的符号分别为 (?1)? (1234) ? 1 与

2x 1 f ( x) ? 3 1

x x 2 1

(?1)? (2134) ? ?1, 所以 x 4 与 x 3 的系数分别为 2 与 ? 1
x ?1 2 2 14.多项式 f ( x ) ? ?7 10 1 7 0 x 3 x 中的常数项是多少? 4 3 1 x 解 此行列式中的常数项应是 a12a21a34a43与a12a23a34a41 ,
所带的符号分别为 (?1)? (2143) ? 1 与 (?1)? (2341) ? ?1, 所以

f ( x ) 中的常数项是 (?1) ? 2 ? 3 ? 1 ? (?1) ? 3 ? 3 ? 1 ? 3

x 0 15.已知 0 4 x 0 解 0 4

0 0 x 0 0 0 x 0

3 0 0 0 3 0 0 0

0 2 ? 1, 求 x 0 0 0 1 2 ? ?24 x ? 1, 所以 x ? ? 24 0 0

16.用行列式性质证明下列等式

a1 ? kb1
证明 ① a2 ? kb2

b1 ? c1 b2 ? c2 b3 ? c3
(?k ) 2 ? 1

c1

a3 ? kb3 a1 ? kb1 a2 ? kb2 a3 ? kb3 b1 b2 b3 c1

c2 ???????? c3 a1 b1 b2 b3 c1 c2 c3

( ?1) 3 ? 2

c2 ????????? a2 c3 a3

y?z
②x? y

z? x y?z x? y

x? y

z? x

z ? x ????????? (1) 3 ? 1 y?z

(1) 2 ? 1

x? y?z 2 x? y?z x? y?z

z? x y?z x? y

x? y

z ? x ??????????? ( ?1) 1 ? 3 y?z ?z
(1) 2 ? 1

( ?1) 1 ? 2

x? y? z ?y

x ?y

?z

2 x ? y ? z ? x ? y ???????? 2 y ? x ? y (1) 3 ? 1 x ? y ? z ?z ? x z ?z ? x x ?2 y z y x z z y x

③ a?b

b?c c?a

b ? c c ? a a ? b ??????? a ? c b ? a c ? b c?a a?b b?c c?a a?b b?c a?b b?c c?a ? ? c?a a?b b?c ? 0 c?a a?b b?c
a11


(1)?1? ? ? 2?

a?b b?c c?a

a12 a22 ? ?

0 0 b11 b21

0 0 b12 b22 ? M 1 A1 ? a11 a21 a12 b11 a22 b21 b12 b22

a21 ? ?

a b ⑤ c b?c 2

b c a c?a 2

c a b a?b 2

1 a 1 1 ( ? 2 )? 2???4? b 1 ????????? 1 ( ? )? 3? ? ? 4? c 2 1 0

b c a 0

c a b 0

1 1 ?0 1 0



1 a ? 2 a 1 2 b ? 2 b 1 2 c ? 2 c 1 2 d ? 2 d
2

a b c d

1 a 1 b 1 c 1 d

1 1 ? 1 1

a

2

a b c d

b2 c2 d
2

1 a 1 b 1 c 1 d

1 1 2 a 1 1 b2 ? 1 1 c2 1 1 2 d

a b c d

1 a 1 b 1 c 1 d

1 1 1 1

a 1 b 1 ? abcd c 1 d 1

1 2 a 1 2 b 1 c2 1 d2

1 1 2 a a 1 1 2 b b ? 1 1 c c2 1 1 d d2

a b c d

1 a 1 b 1 c 1 d

1 1 1 1

1 a2 1 2 b ?? 1 2 c 1 d2

a b c d

1 a 1 b 1 2 c 1 d

1 1 a2 1 1 2 b ? 1 1 2 c 1 1 d2

a b c d

1 a 1 b 1 c 1 d

1 1 ?0 1 1

17.用行列式性质计算下列行列式

34215 35215 34215 34215 ? 1000 ① ? 28092 29092 28092 28092 ? 1000 34215 1000 ? ? 6123000 28092 1000
1 1 1 1 ② ?1 1 ?1 ?1 1 ?1 ?1 ?1 1 1 (1)?1??? 2? ???????? 1 (1)?1??? 3? (1)?1? ? ? 4? 1 1 0 0 0 1 2 0 0 1 2 2 0 1 2 ?8 2 2

x


y x? y x 1 x

x? y x y x y y

y x? y

????????
(1) 3 ? 1

(1) 2 ? 1

x? y

2( x ? y ) 1 x ? y 1 x 1 0

????????
(? x) 1 ? 3

(? y) 1 ? 2

2( x ? y ) 1 x 1 x? y

0 ??????? y? x

(? y) 1 ? 3

1

0

0

2( x ? y ) 1 x ? y ? 2( x ? y )( ? x 2 ? xy ? y 2 ) 1 x ? y ? x ? ?2( x 3 ? y 3 )
1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 1 (1)? 2???1? 2 ??????? 10 2 (1)? 3???1? 3 (1)? 4? ? ?1? 3 4 1 3 4 1 1 4 1 2 1 1 ( ?2)?1??? 2? ??????? 2 ( ?3)?1??? 3? ( ?4)?1? ? ? 4 ? 3



1 1 1 1 1 0 1 2 ?1 ( ?1)? 2??? 3? 0 10 ??????? 10 0 1 ?2 ?1 (3)? 2??? 4? 0 0 ?3 ?2 ?1 0

1 1 1 1 2 ?1 0 ?4 0 0 4 ?4

1 1 1 1 (1)? 3? ? ? 4? 0 1 2 ?1 ?????? 10 ? 160 0 0 ?4 0 0 0 0 ?4 3 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 (1)? 2???1? 1 3 1 ⑤ ??????? 6 1 1 3 1 (1)? 3???1? 1 1 3 (1)? 4? ? ?1? 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 0 2 0 0 6 ? 48 0 0 2 0 0 0 0 2

1 1 ( ?1)?1??? 2? ???????? 1 ( ?1)?1??? 3? ( ?1)?1? ? ? 4 ? 3

1 ⑥ ?3 2 4

2 ?5 1 1 2 ?5 1 1 0 ?6 ( 3)?1??? 2? 0 7 ?15 ?3 ???????? 0 ?1 2 ( ?2)?1??? 3? 0 ?4 9 0 ( ?4)?1? ? ? 4? 1 ?7 6 0 ?7 13 2

1 2 ?5 1 1 4 7 15 ?3 ( ? )? 2? ? ? 3? 0 7 30 ??????? ? 3 12 (1)? 2? ? ? 4? 70 0 0 ? 7 7 0 0 0 ?2 ?1

2 ?5 1 7 ?15 ?3 0 1 ?4 0 ? 2 ?1

1 (2)? 3? ? ? 4? 30 ??????? 70 0

2 ?5 1 7 ?15 ?3 3 ? ? 1 ? 7 ? 1 ? (? 9) ? ?27 0 1 ?4 7 0 0 ?9 ?2 0 0 0 2 ?4 0 3 ?5 5 4 ?8 ?3 2 1 1

?2 2 ?4 0 (2)?1? ? ? 2? 4 ?1 3 5 ????????? ⑦ 3 1 ?2 ?3 ( ? 3 )?1??? 3? 2 (1)?1? ? ? 4? 2 0 5 1

??????? 0 2
( ? )? 2? ? ? 4? 3

4 ( ? )? 2? ? ? 3? 3

?2 2 0 3

0 ?2 2 0 3 0 0 ?4 ?5 4 0 ? 3 0

?4 ?5 4 0 ? 3 13 0 3

0 5 13 ( )? 3? ? ? 4? 4 29 ???????? ? 3 7 ? 3

0

0 5 29 ? ( ?2) ? 3 ? ( ? 4 ) ? ( ? 135 ) ? 3 4 3 135 ? ?270 ? 4

0


4

5

?1

2

?5 0 2 0 1 7 2 0 3 ?4 ?3 ?1 ?1 ?5 0 2 ?3 0 1 4 0 2 1 ?3 3 6 ?2 2 2 0 1 0 3 ?4 ?1 ?5 0 0 1 3 1 ?5 (1)? 2? ? ?1? ??????? 7 (1)? 3? ? ?1? (1)? 4? ? ?1? ? 3 (1) 5 ? 1
? ? ??

2

1
(5)?1? ? ? 2?

4

6

?2

2

0 20 32 ?10 11 ???????? 0 ?26 ?42 17 ?18 ( ?7)?1? ? ? 3? ( 3)?1? ? ? 4? 0 13 17 ? 11 ? 6 ( ?2) 1 ? 5
?? ? ?

0 ?11 ?12

5

?1

1 4 6 ?2 2 0 20 32 ? 10 11 ( 2)? 4? ? ? 3? ??????? 0 0 ?8 ?5 30 (1)? 4? ? ? 5? 0 13 17 ?11 ?6 0 2 5 ?6 ?7

1 4 0 0
( ?10)? 5? ?? 2?

6 ?18

?2 50

2 84

?8 ?5 ?30 ???????? 13 ( ? )? 5? ?? 4? 31 79 2 0 0 ? 28 2 2 0 2 5 ? 6 ?7 1 4 6 ?2 2 0 0

0 2
? 2,5?

5

?6

?7

?8 ?5 ?30 ??????? 31 79 0 0 ? 28 2 2 0 0 ?18 50 84 0 0

a ? b ? 2c


a

b

c c
(1) 2 ? 1

b ? c ? 2a b a c ? a ? 2b 1 a b

??????? 2(a ? b ? c ) 1 b ? c ? 2a b (1) 3 ? 1 1 a c ? a ? 2b ??????? 2(a ? b ? c ) 1 a ? b ? c 0 (?b) 1 ? 3 1 0 a?b?c
? 2(a ? b ? c )3
(?a) 1 ? 2

1

0

0

1? x 1 1 1 ( ?1)? 2? ? ?1? 1 1 ? x 1 1 ⑩ ???????? ( ?1)? 4? ? ? 3? 1 1 1? y 1 1 1 1 1? y x x 1 1? x 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1? x ? xy y y 0 0 1 1? y 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1? y

1 1 1 1? x ? xy 0 0 1 1

0 0 1 1 1 1 0 ?x xy 1 1 0 0 1 1? y 0 0

0 0 1 1 1 1 1 1? y

1 1 ( ?1)? 3? ? ? 4? 0 ?x ??????? xy 0 0 0 0

0 0 1 1 ? x2 y2 1 1 0 ?y

18.计算下列行列式



1 2 ?1 0 ?1 ?2

3 3 0

n?1 n?1 n?1 0 ?( n ? 1)

n n n n 0

?1 ?2 ?3 ?1 ?2 ?3

????????
i ? 2,3, , n

(1)?1? ? ? i ?

1 0 0 0 0

2 2 0 0 0

3 6 3 0 0

n?1 n n ? 1 2n n ? 1 2n n ? 1 2n 0 n

? 1? 2 ? 3 ?

? (n ? 1) ? n ? n !

1 1
② 1

a1 a1 ? b1 a1 a1 1 1

a2 a2 a2 ? b2 a2 0 b1 0 0 0 0 b2 0

an an an an ? bn 0 0 0 ? b1b2 bn bn

1

??????? 1
i ? 2,3, , n

( ? ai ) 1 ? i

1

x a1


a1 x a2 a2 a2

a2 a2 x a3 a3

an ? 1 an ? 1 an ? 1 x an

1 1 1 1 1 ????????
i ?1,2, , n ( ai ) n ? 1 ? i

a1 a1 a1

x ? a1 0 0 0 0

a1 ? a2 x ? a2 0 0 0

a2 ? a3 a2 ? a3 x ? a3 0 0

a n ?1 ? a n a n ?1 ? a n a n ?1 ? a n x ? an 0

1 1 1 1 1

? ( x ? a1 )( x ? a2 )( x ? a3 )

( x ? an )

1


a1 ?1 0

0 a2 1 ? a2 0

0 0 0 1 ? an ?1 ?1 0 0 0 1 ? an ?1 ?1

0 0 0 an 1 ? an 0 0 0 an 1 ? an

?1 1 ? a1 0 0 0

0 0 1 a1 0 0 1 a2 0 0 0 ?1 1 ? a 2 0 0 0 0

????????

(1)?1? ? ? 2?

1 0 ???????
(1)? 2? ? ? 3?

a1 1 0 0 0

0 a2 1 0 0

0 0 0 1 ? an ?1 ?1

0 0 0 an 1 ? an

0 0 0

????????

(1)? i ? ? ? i ? 1?

1 0 ?????????
(1)? n ? 2? ? ? n ?1?

a1 1 0 0
a1 1 0 0 0

0 a2 1 0
0 a2 1 0 0

0 0 0 1 ?1 0 0 0
1 0

0 0 0 an 1 ? an 0 0 0 ?1
an 1

0 0

?????????

(1)? n ?1? ? ? n?

1 0 0 0 0

0

0

0

a0 1 1


1 a1 0 0 0

1 0 a2 0 0

1 0 0 a n ?1 0

1 0 0 0 an
(? 1 ) i ?1 ? 1 ai

??????????
i ?1,2, 3, n

1 1

1 1 a0 ? ? a1 a2 0 0 0 0

1 ? an

1 a1 0 0 0

1 0 a2 0 0

1 0 0 an ?1 0

1 0 0 0 an

1 1 1 ? (a0 ? ? ? )a1a2 a1 a2 an n 1 ? (a0 ? ? )a1a2 an i ?1 ai

an

1


2 2 2 2

2 2 3 2 2 2 0 0

2 2 2 2 2 2 1 0

2 2 2 n 2 2 0 0 2 2 0 n?2

2 2 2

1 2 ( ?1)? 2? ? ? i ? ????????? 0 0

1 ??????? 0 0 1 1 1,2 ? ? ??????? 0 0
?1,2?

1 2 0 0 1 2 0 0

1 2 1 0 1 2 1 0

1 2 0 0 1 2 0 0

1 2 0 n?2 1 2 0 n?2

1

1 0 ( ?1)?1? ? ? 2? ????????? 2 0 0
? ?2 ? 1 ? 2 ?

1 1 0 0 1 1 0 1

1 1 1 0 1 1 1 0

1 1 0 0

1 1 0 n?2

? (n ? 2) ? ?2( n ? 2)!



0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 ????????( n ? 1) 1
(1)? i ? ? ?1? i ? 2,3, , n

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0 1 0 0 ?1

1 1 0 ( ?1)?1? ? ? i ? ???????? ( n ? 1) 0
i ? 2,3, , n

1 1 ?1 0 0 ?1 0 0

0

? (n ? 1)n?1 (n ? 1)

x1 ? 1
⑧ x1 ? 1

x1 ? 2 x2 ? 2

x1 ? n x2 ? n xn ? n ?????????
( ?1)?1? ? ? 3? ( ?1)?1? ? ? 2?

xn ? 1 xn ? 2

x1 ? 1 x2 ? x1 x3 ? x1 xn ? 1

x1 ? 2 x2 ? x1 x3 ? x1

x1 ? n x2 ? x1 x3 ? x1 ? 0( n ? 3)

xn ? 2 xn ? n 当n ? 2 时 x1 ? 1 x1 ? 2 ? ( x2 ? x1 )( ?1) ? x1 ? x2 x2 ? 1 x2 ? 2

19.求行列式 5

0 3 中元素 2 和 ? 2的代数余子式 2 ?2 1 4 3 ?1 0 解 A31 ? ( ?1) ?0 0 3 4 3? 2 ?3 A32 ? (?1) ? 29 5 3

?3

0

4

20.已知四阶行列式 D 中第三列元素依次为 ?1, 2, 0,1 他们的余子式依次是 5, 3, ?7, 4, 求 D 解 D ? (?1)(?1)3?1 ? 5 ? 2 ? (?1)2? 3 ? 3 ? 0 ? (?1)3? 3

?(?7) ? 1? (?1)4? 3 ? 4 ? ?15

1 2 2 1 0 0 21.设行列式 D ? 3 ?1 ?4 1 2 ?1
和第四列展开,计算其值.

4 2 分别按 D 的第二行 0 5

2 2 1 2 2

2

4

按第二行展开 解 D ????? ? 1 ? ( ?1)2?1 ?1 ?4

0 ?1 5

?2 ? ( ?1)2? 4 3 ?1 ?4 ? ?6 ? 2 ? 21 ? 36 1 2 ?1

1
按第四行展开

0 2

0 ?1 1
4? 4

D ????? ? 4 ? ( ?1)1? 4 3 ?1 ?4

1 1 ?2 ? ( ?1)
2? 4

2

2

2

2

3 ?1 ?4 ? 5 ? ( ?1) 1 2 ?1

1 0 0 3 ?1 ?4

? ?4 ? 9 ? 2 ? 21 ? 5( ?6) ? ?6 ? 2 ? 21 ? 36

22.计算行列式



2? x 2 2 2 ( ?1)? 2? ? ?1? 2 2? x 2 2 ① ????????? ( ?1)? 4? ? ? 3? 2 2 2? y 2 2 2 2 2? y x x 2 2? x 0 0 2 2 0 0 1 1 2 2 2 2? x ? xy y y 0 0 2 2? y 2 2 0 0 2 2 1 1 2 2? y

1 1 ( ?2)?1? ? ? 2? 0 ?x ??????? ( ?2)?1? ? ? 4? 0 0 0 0 1 1 ( ?2)? 3? ? ? 4? 0 ?x ????????? xy 0 0 0 0

0 0 2 2 1 1 2 2? y 0 0 2 2 2 2 ?x y 1 1 0 ?y

a 0


0 a 0 0 0 a 0 0

0 0 0 0 0 0 a 0 0 0

0 0 a 0

1 0 0 a 0 a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0 1 0 0 a ????????
按第1列展开

0 1 a 0 a 0 0

? ( ?1)n?1 0 a

? a?a

n?1

? ( ?1)

n?1

( ?1)

1? n ? 1

a 0 0

0 a 0

0 0 a

? a ?a
n

n? 2

a0
③ Dn ?

?1 x 0 0 0

0 ?1 x 0 0

0 0 0 x 0

0 0 0 ?1 x

a1 a2 an ? 2 a

解法一:将 Dn 按第 n 行展开得:

Dn ? an ?1 ( ?1)

n?1

?1 0 x ?1 0 0

0 0 x

0 0 ?1

a0 a1 ? x ( ?1)
n? n

?1 x 0 0

0 ?1 x 0

0 0 0 x

a2 an ? 2

? an ?1 ( ?1)n ?1

?1 0 0 ?1 0 0

0 0 0

0 0 ?1

? xDn ?1 ? an?1 xDn?1

同理可得: Dn?1 ? an? 2 ? xDn? 2

于是: Dn ? an?1 ? x(an? 2 ? xDn? 2 )

? an?1 ? xan?2 ? x 2 Dn?2 ) ? 2 ? an?1 ? xan?2 ? x an?3 ? ? an?1 ? xan?2 ? x an?3 ?
2

?x

n?1 n?1

D1

? x a0

解法二:将 Dn 按第 1 列展开得:

x 0 0 0

?1 0 x ?1 0 0 0 0

0 0 x 0

0 0 ?1 x 0 0 ?

Dn ? a0 ( ?1)

1? 1

?1 0 ? a1 ( ?1)
2?1

0 x 0 0

0 ?1 0 0

0 0 x 0

0 0

?1 x

?1 ? an ?1 ( ?1)
n?1

0

0

0 0 0 x

0 0 ? a0 x n ?1 ? a1 x n ? 2 0 ? ? an ? 2 x ? an ?1 ?1

x 0 0

?1 0 x ?1 0 0

④ D2 n ?

a 0 0 0 b

0 a 0 b 0

0 0 a 0 0

0 0 b 0 0

0 b 0 a 0

b 0 0 0 a

a ??????? a (?1)
按第1列展开

0 a 0 0 0 0 b 0 0 b 0 a

0 b 0 0 b 0 0 0

b 0 a 0

0 0 0 a

0
1? 1

b 0 0 a 0 b 0 0 a 0

? b( ?1)2 n ?1

? a ( ?1)
2

2 n ? 1? 2 n ? 1

a 0 b

0 a 0

0 b 0

b 0 a

? b ( ?1)
2

1? 2 n ? 1

a 0 b
2

0 a 0
2 n?1

0 b 0

b 0 a
2

? (a2 ? b2 )D2( n?1)

于是 D2n ? (a2 ? b2 )D2( n?1) ? (a 2 ? b2 )2 D2( n?2) ?

? (a ? b )

D2 ? (a ? b )

2 n?1

(a ? b )
2 2

? (a 2 ? b2 )n



a ax 2 ax ax n

?1 a ax ax n ?1 ?1 a ax ax n ?1

0 ?1 a ax n ? 2 0 ?1 a ax n ? 2

0 0 0 a 0 0 0 a

1 x 2 ?a x xn

1 x 2 ? a( x ? a ) x xn 1 x ? a( x ? a ) x 2 x
n

0 1 x x n ?1 0 1 x x
n ?1

0 ?1 a ax n? 2 0 0 x?a x
n? 2

0 0 0 a 0 0 0 a

( x ? a)

1 x 2 ? a ( x ? a )( x ? a ) x xn

0 1 x x n ?1

0 0 1 x n? 2

0 0 0 a

?

? a( x ? a )

n

a ? b ab 0 1 a ? b ab ⑥ 0 1 a?b 0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

a ? b ab 1 a?b a 2 ? b2 当 n ? 1 时, D1 ? a ? b ? a ? b ? a?b 3 3 a ? b ab a ?b 2 2 D2 ? ? a ? ab ? b ? 当 n ? 2 时, 1 a?b a?b
假设当 n ? k 时结论成立,则当 n ? k 时,将 Dk 按第

k 列展开得:

a?b 1 Dk ? 0 0 0

ab a?b 1 0 0
a?b 1

0 ab a?b 0 0
ab a?b 1 0 0 ab a?b 0

0 0 0 a?b 1

0 0 0 ab a?bk
0 0 0 1

? ab( ?1)

k ? 1? k

0 0

k ?1

a?b 1 ? (a ? b)( ?1)
k?k

ab a?b 1

0 ab a?b 0
k ?1

0 0 0 a ? b k ?1
a
k ?1 k ?1

0

0 0 ? (a ? b) Dk ?1 ? abDk ? 2
a ?b a ?b ? (a ? b) ? ab a?b a?b
k k k ?1

?b ? a?b 因此由数学归纳法知,对任意的正整数 n, 有

Dn ?

a

n ?1

?b a?b

n ?1

n 23.试证:如果 n 次多项式 f ( x) ? c0 ? c1 x ? ? cn x 对 n ? 1个不同的 x 值都是零,则此多项式恒等于零.

证明

则 f ( xi ) ? 0 即 c0 ? c1 xi ? c2 xi2 ? 这可看成是以 c0 , c1 , c2 ,

设 n ? 1 个不同的 x 值分别为 x0 , x1 , x2 ,

, xn ,

? cn xin ? 0(i ? 0,1, 2, , n) , cn ,为未知量的齐次线性方程
x x x ? x
n n n 0 n 1 n 2

组,其系数行列式为:

1 1 D? 1 1

x0 x1 x2 xn

x x x x

2 0 2 1 2 2

(0? j ? i ? n )

?

( xi ? x j ) ? 0

2 n

于是由克莱姆法则知上述齐次线性方程组仅有零解. 即 c0 ? c1 ? c2 ?

? cn ? 0 也即 f ( x ) ? 0
(a ? 2)3 (a ? 2) a?2 1
2

24.利用范德蒙行列式计算.

a3
① a
2

(a ? 1)3 (a ? 1) a ?1 1
2

(a ? 3)3 (a ? 3) a?3 1
2

a 1

? ?(a ? 3) ? (a ? 2)??(a ? 3) ? (a ? 1)??(a ? 3) ? a?

?(a ? 2) ? (a ? 1)??(a ? 2) ? a??(a ? 1) ? a?
? (?1)(?2)(?3)(?1)(?2)(?1) ? 12

1
② x1 ( x1 ? 1)

1 x2 ( x2 ? 1) 2 x2 ( x2 ? 1)

1 x3 ( x3 ? 1) 2 x3 ( x3 ? 1) x3 ? ( x3 ? 1) x3 ( x3 ? 1) 2 x3 ( x3 ? 1) x3 x3 ( x3 ? 1) 2 x3 ( x3 ? 1)

x12 ( x1 ? 1) x1 ? ( x1 ? 1) ? x1 ( x1 ? 1) 2 x1 ( x1 ? 1) x1 ? x1 ( x1 ? 1) 2 x1 ( x1 ? 1)

x2 ? ( x2 ? 1) x2 ( x2 ? 1) 2 x2 ( x2 ? 1) x2 x2 ( x2 ? 1) 2 x2 ( x2 ? 1)

x1 ? 1 ? x1 ( x1 ? 1) 2 x1 ( x1 ? 1) x1
2 ? x1 3 x1 3

x2 ? 1 x2 ( x2 ? 1) 2 x2 ( x2 ? 1)
3

x3 ? 1 x3 ( x3 ? 1) 2 x3 ( x3 ? 1) 1 1 x2 2 x2 1 1 x3 2 x3 1 x2 2 x2 1 x3 2 x3

x2
2 x2 3 x2

2 x3 ? ? ( xi ?1) x1 i ?1 3 2 x3 x1

x3

1
xi

1 x2 2 x2

1

??

x3 ? ? ( xi ?1) x1 i ?1 i ?1 2 2 x3 x1 3 ? 3 ? ? ?? xi ?? ( xi ?1) ? ? ( xi ? x j ) i ?1 ? i ?1 ? 1? j ? i ? 3 x1 2 x1

3

*25.利用拉普拉斯展开定理计算下列行列式.

a1


0 c1 0 d2

b1 0 a2 0

0 d1 0 c2

0 b2 0

解 ①取定第一行,第二行可组成6个二阶式,它们是

M1 ?

a1 0

0 c1

? a1c1 ,

M2 ?

a1 b1 0 0

? 0,

a1 M3 ? 0

0 ? a1d1 , d1

M4 ?

0 c1

b1 0

? ? b1c1 ,

0 M5 ? c1

0 ? 0, d1
(1? 2) ? (1? 2)

b1 M6 ? 0

0 ? b1d1 , d1

A1 ? ( ?1) A2 ? ( ?1)

a2 0 0 d2

0 c2 0 c2 a2 0 0 c2

? a 2 c2 ?0 ? ? a2 d 2 ? b2c2

(1? 2) ? (1? 3)

A3 ? (?1) A4 ? ( ?1)

(1? 2) ? (1? 4)

0 d2 b2 0

(1? 2) ? (2 ? 3)

A5 ? (?1)

(1? 2)? (2? 4)

b2 0

a2 ?0 0

A6 ? ( ?1)

(1? 2) ? (3 ? 4)

b2 0

0 d2

? b2d 2

由拉普拉斯定理知:

D ? a1c1a2c2 ? a2d1a2d2 ? b1c1b2c2 ? b1d1b2d2 ? a1a2 (c1c2 ? d1d2 ) ? b1b2 (c1c2 ? d1d2 ) ? (a1a2 ? b1b2 )(c1c2 ? d1d2 )

5 6 0 0 0 1 5 6 0 0
② 0

1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5

解 ②取定第一行,第二行第三行可组成9个三阶式,它 们是: 5 6 0 5 6 0

M1 ? 1 5 6 ? 65 M 2 ? 1 0 1 5 0 5 5 6 0 M 3 ? 1 5 0 ? 0 M4 ? 1 0 0 1 0

5 0 ? 114 1 6 0 0 6 0 ? 180 5 6

5 0 0 M5 ? 1 6 0 ? 0 0 5 0 6 0 0 M7 ? 5 6 0 ? 0 1 5 0 0 0 0 M9 ? 6 0 0 ? 0 5 6 0

6 0 0 M 6 ? 5 6 0 ? 216 1 5 6 6 0 0 M8 ? 5 0 0 ? 0 1 6 0

A1 ? (?1)

(1? 2? 3)? (1? 2? 3)

5 6 ? 19 1 5

A2 ? (?1)

(1? 2? 3)? (1? 2? 4)

1 6 ? ?5 0 5 0 6 ?0 0 5 0 6 ?0 0 5

A3 ? (?1) A4 ? (?1)

(1? 2? 3) ? (1? 3? 4)

(1? 2? 3)? (2? 3? 4)

由拉普拉斯定理知:

D ? 65 ? 19 ? 114 ? (?5) ? 180 ? 0 ? 216 ? 0 ? 665

26.解下列方程组:

? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 5 ? ? x1 ? 2 x2 ? x3 ? 4 x4 ? ?2 ①? ? 2 x1 ? 3 x2 ? x3 ? 5 x4 ? ?2 ? 3 x ? x ? 2 x ? 11 x ? 0 2 3 4 ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ?1 4 0 1 ?2 3 ? 解 D? 2 ? 3 ? 1 ? 5 0 ?5 ?3 ?7 3 1 2 11 0 ?2 ?1 8

1 0 ? 0 0

1 1 1 1 1 1 1 0 1 ?2 3 1 ?2 3 ? 0 0 ?13 8 ? ?142 0 ?13 8 0 ?5 14 0 0 0 142 13
1 5 1 1 2 ?2 ?1 4 ?3 ?2 ?1 ?5 1 0 2 11

5 1 1 1 ?2 2 ?1 4 D1 ? ?? ?2 ?3 ?1 ?5 0 1 2 11

1 0 0 0 1 0 0 0 2 ?12 ?3 2 2 1 ?3 ?12 ? ?2 ?3 13 2 ?2 ?3 ?1 2 13 0 1 2 11 1 5 1 ?5

1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 2 1 0 0 ?2 ?2 ? ?142 ?3 ?1 ?1 1 ?3 ?1 ?1 0 1 5 16 55 1 5 16 71

1 5 1 1 1 5 1 1 1 ?2 ?1 4 0 ?7 ?2 3 D2 ? ? 2 ?2 ?1 ?5 0 ?12 ?3 ?7 3 0 2 11 0 ?15 ?3 8 1 1 5 1 1 1 5 1 0 ?1 ?15 8 0 ?1 ?15 8 ? ? 0 ?3 ?12 ?7 0 0 33 ?31 0 ?2 ?7 3 0 0 23 ?13

1 1 5 0 ?1 ?15 ? 0 0 33 0 0 0

1 8 ?31 ? ?284 284 33

1 1 5 1 1 1 5 1 1 2 ?2 4 0 1 ?7 3 D3 ? ? 2 ?3 ?2 ?5 0 ?5 ?12 ?7 3 1 0 11 0 ?2 ?15 8

1 0 ? 0 0

1 1 5 1 5 1 0 1 ?7 1 ?7 3 ? 0 0 ?47 0 ?47 8 0 ?29 14 0 0 0

1 3 8 ? ?426 426 47

1 1 1 5 1 1 1 5 1 2 ?1 ?2 0 1 ?2 ?7 D4 ? ? 2 ?3 ?1 ?2 0 ?5 ?3 ?12 3 1 2 0 0 ?2 ?1 ?15

1 0 ? 0 0
所以

1 1 1 5 1 1 5 0 1 ?2 ?7 1 ?2 ?7 ? 0 0 13 ?47 ? 142 0 ?13 ?47 0 ?5 ?29 0 0 0 ? 142 13

D3 D1 D2 D4 x1 ? ? 1, x2 ? ? 2, x3 ? ? 3, x4 ? ? ?1 D D D D

? 2 x1 ? x2 ? 5 x3 ? x4 ? 8 ? ? x1 ? 3 x2 ? 6 x4 ? ?5 ② ? ? 2 x 2 ? x 3 ? 2 x4 ? ? 5 ?1 x ? 4 x ? 7 x ? 6 x ? 0 2 3 4 ? 1
2 1 ?5 1 1 ?3 0 ?6 解 D? ?? 0 2 ?1 2 1 4 ?7 6 1 ?3 0 ?6 2 1 ?5 1 0 2 ?1 2 1 4 ?7 6

1 ?3 0 ?6 1 ?3 0 0 7 ?5 13 0 2 ?1 ?? ? 0 0 ?3 0 2 ?1 2 2 0 7 ?7 12 0 0 ?2

?6 2 6 ?1

?

1 ?3 0 2 0 0 0 0

0 ?1 3 ? 2 0

?6 2 6 ?9

? 27

8 1 ?5 1 9 ?3 0 ?6 D1 ? ?? ?5 2 ?1 2 0 4 7 6

1 8 ?5 1 ?3 9 0 ?6 2 ?5 ?1 2 4 0 ?7 6 1 0 0 0 ?3 ?3 ?15 33 2 0 9 ?21 4 2 13 ?32

1 0 0 0 ?3 33 ?15 ?3 ?? ?? 2 ?21 9 0 4 ?32 13 2

1 0 0 0 ?3 ?3 0 0 ?? ?? 2 0 9 ?21 4 2 13 ?10
2 8 ?5 1 1 9 0 ?6 D2 ? ?? 0 ?5 ?1 2 1 0 ?7 6

1 0 0 ?3 ?3 0 2 0 9 4 2

0 0 0 ? 81 3 ?9 3

1 9 0 ?6 0 ?10 ?5 13 0 ?5 ?1 2 0 ?9 ?7 12

1 9 0 ?5 ? 0 0 0 0

0 ?1 ?3 26 ? 5

?6 1 9 0 2 0 ?5 ?1 9 ? 0 0 ?3 42 5 0 0 0

?6 2 9 ? ?108 36 ? 5

2 1 8 1 1 ?3 9 ?6 D3 ? ?? 0 2 ?5 2 1 4 0 6

1 ? 3 9 ?6 0 7 ?10 13 0 2 ?5 2 0 7 ?9 12

1 ?3 9 ?6 0 2 ?5 2 ? ?? 15 0 0 6 2 0 0 1 ?1

1 ?3 0 0 0 2 0 0

9 ?5 1 0

?6 2 ?1 ? ?27 27 2

2 1 ?5 8 1 ?3 0 9 D4 ? ?? 0 2 ?1 ?5 1 4 ?7 0

1 ?3 0 9 0 7 ?5 ?10 0 2 ?1 ?5 0 7 ?7 ?9

?

1 ?3 0 2 0 0 0 0

0 ?1 ?3 2 ?2

9 1 ?3 0 ?5 0 2 ?1 15 ? 0 0 ? 3 2 2 1 0 0 0

9 ?5 15 ? 27 2 ?9

所以

D3 D1 D2 D4 x1 ? ? 3, x2 ? ? ?4, x3 ? ? ?1, x4 ? ?1 D D D D

? x1 ? x2 ? x3 ? 2 x4 ? 2 ? ? 2 x1 ? x3 ? 4 x4 ? 4 ③ ? ? 3 x1 ? 2 x2 ? x3 ? ?1 ? ? x ? 2 x ? x ? 2 x ? ?4 2 3 4 ? 1
1 ? 1 1 ?2 1 ?1 1 ?2 2 0 ?1 4 0 2 ?3 8 ? 解 D? 3 2 1 0 0 5 ?2 6 ? 1 2 ?1 2 0 1 0 0

1 ?1 1 ?2 0 1 0 0 ? ?? 0 5 ?2 6 0 2 ?3 8

1 ?1 1 ?2 0 1 0 0 ? ?2 0 0 ?2 6 0 0 ?3 8
?1 2 1 0 4 0 ?1 4 2 ?1 1 ?2 ?4 2 1 2

2 ?1 1 ?2 4 0 ?1 4 D1 ? ?? ?1 2 1 0 ?4 2 ?1 2

?1 2 1 0 ?1 2 1 0 0 8 3 4 0 3 3 ?2 ? ? 0 3 3 ?2 0 8 3 4 0 ?6 ?5 2 0 ?6 ?5 2

?

?1 2 0 3 0 0

0 ?1 ?2 0 ? 0 28 0 ?5 3 0 0 1 ?2 1 3

2 1 0 3 3 ?2 0 1 ?2 ? ? 2 0 0 2 3

1 2 1 ? 2 1 2 1 ?2 2 4 ?1 4 0 0 ?3 8 D2 ? ? 3 ?1 1 0 0 ?7 ?2 6 ?1 ?4 ?1 2 0 ?2 0 0

1 2 1 ?2 0 ?2 0 0 ?? ?? 0 0 ?2 6 0 0 ?3 8

1 2 1 ?2 0 ?2 0 0 ?4 0 0 ?2 6 0 0 0 ?1

1 ? 1 2 ? 2 1 ? 1 2 ?2 2 0 4 4 0 2 0 8 D3 ? ? 3 2 ?1 0 0 5 ?7 6 ?1 2 ?4 2 0 1 ?2 0

1 ?1 2 ?2 1 ?1 2 ?2 0 2 0 8 0 2 0 8 ? ? ?0 0 0 ?7 ?14 0 0 ?7 ?14 0 0 ?2 ?4 0 0 0 0

1 ?1 1 2 1 ?1 1 2 2 0 ?1 4 0 2 ?3 0 D4 ? ? 3 2 1 ?1 0 5 ?2 ?7 ? 1 2 ? 1 ? 4 0 1 0 ?2 1 ? 1 1 2 1 ?1 1 2

??

0 0 0

1 0 0

0 ?2 ?3

?2

??0 3 0 4

0

1 0 0

0 ?2 0

?2

3 ? ?1

?1 2

所以

D3 D1 D2 D4 1 x1 ? ? 1, x2 ? ? ?2, x3 ? ? 0, x4 ? ? D D D D 2

? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0 ? ? x 2 ? x 3 ? x4 ? x5 ? 0 ? ④ ? x1 ? 2 x2 ? 3 x3 ? 2 ? x ? 2 x ? 3 x ? ?2 3 4 ? 2 ? ? x 3 ? 2 x4 ? 3 x5 ? 2
1 0 D? 1 0 1 1 2 1 1 1 3 2 1 1 0 3 0 1 1 0 0? 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ?1 2 3 2 0 1 0 0 3

0 0 1 2 3

0 0 1

1 1 1 0 1 1

1 1

0 1

1 1 1 0 1 1

1 1

0 1

? 0 0 1 ?2 ?1 ? 0 0 1 ?2 ?1 ? 16 0 0 1 2 ?1 0 0 0 4 0 0 0 1 0 0 D1 ? 2 ?2 2 1 1 2 1 1 1 3 2 2 1 1 0 3 3 0 1 0 ?? 0 0 0 0 2 0 0 0 2 1 1 3 3 1 1 5 0 0 1 1 3 4 0 1 0 0

0 1 2 3

0 ?2 ?2 2 3

2 2 3 0 0 1 1 1

0 1

2 2 3 0 0 1 1 1

0 1

? 0 0 0 0 ?1 ? ? 0 0 2 0 ?3 ? 16 0 0 2 0 ?3 0 0 0 4 5 0 0 0 4 1 0 0 0 D2 ? 1 2 0 ?2 0 2 1 1 3 2 1 1 0 3 5 0 1 0 ?? 0 0 0 0 0 ?1 1 0 0 0 0 2 0 ?2 0 2 1 1 1 1 2 ?1 2 3 1 2 0 1 0 0 3

1 2 3

1 0 0 2 ??0 0 0 0 1 0 ??0 0 0 2 0 0

1 2 1 4

1 1 2 3

0

1 0 1

1

0 0

?1 0

0 2 2 ?1

1 ??0 0 1 1 1 0 0 0 0 ?2 ?4 3 0 0 0 4 4

0 0 ?1

1 1 0 2 ?1 0 1 1 1 ? ?16 0 ?2 ?4 0 ?4

0 0 0

1 1 0 1

0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

0 0

1 1

0 1

D3 ? 1 2 2 0 0 ? 0 1 2 ?1 0 0 1 ? 2 3 0 0 1 ?2 3 0 0 0 1 0 ??0 0 2 2 3 0 0 1 1 0 0 2 2 0 1 0 1 2 ?2 0 4 0 3 0 1 1 ? 16 4 ?2

1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 2 ?2 ?1 ? 0 0 ?2 2 ?1 0 2 2 3

0 0

0 0 0

1 1 1 0 1 1

0 0

0 1

1 1 1 0 1 1

0 0

0 1

D4 ? 1 2 3 2 0 ? 0 1 2 2 0 0 1 2 ? 2 0 0 1 2 ?2 0 0 0 1 1 0 ? 0 0 1 1 0 0 2 3 0 0 1 1 1 0 0 2 3 1 0 0 1 1 0 1 0 1 2 ?1 ? 0 1 ?2 ?1 0 2 3 1 0 0 1 0 1 1 2 ?1 ? ?16 0 ?4 0 0 4

0 0 1

0 0 0

1 1 1 1 0 1 1 1

0 0

1 1 1 0 1 1

1 1

0 0

D5 ? 1 2 3 0 2 ? 0 1 2 ?1 2 0 1 2 3 ?2 0 1 2 3 ?2 0 0 1 2 1 0 ? 0 0 1 1 0 0 2 0 0 1 1 1 0 0 2 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 ?2 2 ? 0 1 2 ?2 0 2 2 1 1 0 1 1 0 1 ?2 2 0 4 ?4 4 0

0 0 1

0 0 0

1 1 1 0 1 1

1 1

0 0

? 0 0 1 ?2 2 ? 16 0 0 0 4 ?4 0 0 0
所以

0

4

D3 D1 D2 x1 ? ? 1, x2 ? ? ?1, x3 ? ? 1, D D D D5 D4 x4 ? ? ?1, x5 ? ?1 D D

? bx ? ay ? 2ab ? 0 ? ⑤ ? ?2cy ? 3bz ? bc ? 0(其中a , b, c , ? 0); ? cx ? az ? 0 ? b
解 D? 0

?a

0

?2c 3b ? ?2abc ? 3abc ? ?5abc c 0 a ?a 0 ?2c 3b ? 4a 2bc ? a 2bc ? 5a 2bc 0 a

?2ab D1 ? bc 0

b ?2ab D2 ? 0 c b bc 0 ?a

0 3b ? ab c ? 6ab c ? ?5ab c a
2 2 2

?2ab bc ? ? abc 2 ? 4abc 2 ? ?5abc 2 0

D3 ? 0 ?2c c 0
所以

D3 D1 D2 x1 ? ? ? a , x2 ? ? b, x3 ? ?c D D D

? x 2 ? x 3 ? x4 ? 1 ? ? x1 ? x3 ? x4 ? 2 ⑥ ? ? x1 ? x2 ? x4 ? 3 ?x ? x ? x ? 4 2 3 ? 1
0 1 D? 1 1
? ?3

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1 1 0 ?3 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1 1 1 0 ?1 0 0 ?3 1 0 0 ?1 0 0 0 0 0 ?1

1 2 D1 ? 3 4

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1 1 1 0 ?2 ?1 ?1 ? 1 0 ? 2 ? 3 ?2 0 0 ? 3 ?3 ?4

1 1 0 ?2 ? 0 0 0 0

1 ?1 ?2 ?3 2

1 1 1 1 1 ?1 0 ?2 ?1 ?1 ?1 ? 0 0 ?2 ?1 ? ?7 ?5 0 0 0 ?7 4 2

0 1 D2 ? 1 1 1 0 ?? 0 0

1 2 3 4

1 1 0 1

1 1 2 1 1 1 0 1 1 1 ? 1 0 1 ?1 0 0 0 2 0 ?1 2 1 1 1 1 1 ? ?4 0 ?2 ?1 0 0 ?2

2 1 1 1 1 1 1 0 ?? 0 ?2 ?1 0 0 ?2 ?3 0

0 1 D3 ? 1 1 1 0 ?? 0 0

1 0 1 1 0 1 0 0

1 2 3 4

1 1 ?? 1 0

1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 1 1 0 1 0 0

2 1 1 1 1 0 2 ?1 2 1 1 1 ? ?1 1 ?2 0 ?1

2 1 1 1 ?? 0 ?1 1 ?2

0 1 D4 ? 1 1 1 0 ?? 0 0
所以

1 0 1 1

1 1 0 1

1 2 ?? 3 4

1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 1 1 1 ?1 1 0 0 1 1 1 0 ?2 0 0

2 1 1 2 2 1 ?2 0 1

0 1 1 1 0 ?2 0 ?1

2 1 ?? 0 1

D3 1 D1 7 D2 4 D4 x1 ? ? , x2 ? ? , x3 ? ? , x4 ? ??2 D 3 D 3 D 3 D 3

27.对于三次多项式 f ( x ), 已知 f (0) ? 0, f (1) ? ?1, f (2) ? 4, f (?1) ? 1, 求 f ( x ) 解 设 f ( x) ? a3 x 3 ? a2 x 2 ? a1 x ? a0



f (0) ? a0 ? 0

f (1) ? a3 ? a2 ? a1 ? a0 ? ?1

f (2) ? 8a3 ? 4a2 ? 2a1 ? a0 ? 4 f (?1) ? ?a3 ? a2 ? a1 ? a0 ? 1 ? a3 ? a2 ? a1 ? ?1 ? 即 ? 8a3 ? 4a2 ? 2a1 ? 4 ? ?a ? a ? a ? 1 2 1 ? 3
解之得 a1 ? ?2, a2 ? 0, a3 ? 1, a0 ? 0 所以

f ( x) ? x ? 2 x
3

f (1) ? a3 ? a2 ? a1 ? a0 ? ?3 f (2) ? 8a3 ? 4a2 ? 2a1 ? a0 ? 5 f (3) ? 27a3 ? 9a2 ? 3a1 ? a0 ? 35 f (?1) ? ?a3 ? a2 ? a1 ? a0 ? 5 即求以 a0 , a1 , a2 , a3 为未知数的线性方程组的解: ? a3 ? a2 ? a1 ? a0 ? ?3 ? ? 8a3 ? 4a2 ? 2a1 ? a0 ? 5 ? ? 27a3 ? 9a2 ? 3a1 ? a0 ? 35 ? ?a ? a ? a ? a ? 5 2 1 0 ? 3

28.有一个多项式 f ( x) ? a3 x 3 ? a2 x 2 ? a1 x ? a0 当 x ? 1, 2, 3, ?1 时 f ( x ) 的值分别为 ?3,5, 35,5, 试求 f ( x ) 在 x ? 4 时的值. 解 由已知得:

因为

1 8 D? 27 ?1

1 1 4 2 9 3 1 ?1

1 1 ? ?24 1 1

?3 5 D1 ? 35 5

1 1 4 2 9 3 1 ?1

1 1 ? ?84 1 1 1 1 ? 276 1 1

1 ?3 1 8 5 2 D2 ? 27 35 3 ?1 5 ?1

1 1 1 ?3 1 8 4 5 ? ?24 D3 ? 1 27 9 35 1 ?1 1 5

1 8 D4 ? 27 ?1
所以

1 1 ?3 4 2 5 ? ?24 9 3 35 1 ?1 5

D3 D1 7 D2 D4 23 a3 ? ? , a2 ? ? 1, a1 ? ? ? , a0 ? ?1 D 2 D D 2 D
于是

f ( x ) ? 7 x 3 ? x 2 ? 23 x ? 1 2 2

3 2 23 7 f (4) ? ? 4 ? 4 ? ? 4 ? 1 ? 195 2 2

习题(B)
1.是非判断 2 ① n 阶行列式中,若有 n ? n 个以上元素为零,则 行列式的值必为零; 解 ①对 因为 n 阶行列式共有 n2 个元素,若有 n2 ? n 个以 上元素为零,则非零元素不足 n 个,而行列式中的 每一项都是由取自不同的行与不同的列的 n 个元素 之积所构成,因此每一项至少有一个元素取零,于 是该项为零,从而行列式的值也为零. ② n 阶行列式主对角线上元素乘积必带正号 解 ②对 因为 n 阶行列式主对角线上的元素分别为 a11 , a22 , 且 ? (12 n) ? 0, 所以 a11a22 ann 前必带正号

, ann ,

③ n 阶行列式次对角线上元素乘积必带负号 解 ③错 因为 n 阶行列式主次角线上的元素分别为 a1n , a2( n?1) ,

a( n?1)2 , an1 , 且 ? ? n( n ? 1)

n( n ? 1) 21? ? 所以 2
n( n?1) 2

,

a1na2( n?1)


a( n?1)2an1 前带符号 (?1)
a2 ? b2 ? a1 a2 c1 ? c2 a1 c1 ?

,未必是负.

a1 ? b1
④错

b1

b2

c1 ? d1 c2 ? d 2 a2 ? b2 ?

d1 d 2 b2 d2 ? b1 d1 a2 c2 ? b1 b2



a1 ? b1

a1 a2 c1 c2

c1 ? d1 c2 ? d 2

d1 d 2

⑤ aij的代数余子式与aij 所处的行,列有关,与 aij 的值亦有关; 解 ⑤错 因为 aij 的代数余子式与 aij 所处的行,列有关,与 aij 的值无关. ⑥ 任一方程组均可由克莱姆法则求解 解 . ⑥错 n 个未知量的方 因为克莱姆法则只能应用于 n 个方程, 程组,并且系数行列式还不等于零.

⑦ 三阶行列式共有 3 项.
解 ⑦错 因为三阶行列式共有 3! ? 6 项.

2

⑧ 每个元素之和为零的行列式值为零. 解 ⑧对

a11 a12 因为 a21 a22 a n1 a n 2 a11 ? a12 ? ? a1n a12 a21 ? a22 ? ? a2 n a22
a n1 ? a n 2 ?
?0

a1n (1) i ? 1 a2 n ??????? i ? 2,3, , n ann a1n 0 a12 a2 n 0 a22 ?
ann 0 an 2

a1n a2 n ann

? ann

an 2

⑨ 将行列式 D 的第 i 行各元素乘以 ? 1 后加于第 i 行的对应元素上,设所得的行列式为 D1 , 则 D1 ? D 解 因为 ⑨错

a11 D ? ai 1 a n1
?0

a12 ai 2 an 2

a1n
( ?1)? i ? ? ? i ?

a11

a12 0 an 2

a1 n 0 ann

ain ??????? 0 ann a n1

a11
⑩设 D ?

a12 a22 an 2 a11

a1n a2 n ann a12 a22 an 2


a1n a2 n ann a1n a2 n ann

a12 a22 an 2

a11 a21 a n1 ? ?D

a21 a n1



⑩错

因为设

D?

a21 a n1

a1n
则 当 n为偶数时, a2 n

a12 a22 an 2 a12 a22 an 2

a11 a21 a n1 a11 a21 a n1 n?1 ? ( ?1) D 2 n ? ( ?1) D 2

ann a1n
则 当 n为奇数时, a2 n

ann

2.填空 ①若 a1i a23a35a5 j a44 是五阶行列式中带正号的一项,则

i ? _________, j ? __________; 1 1 ②设 a, b, c 为互异实数,则 a b a 3 b3 条件是 _________;

1 c ? 0的充分必要 c3

x x 1 0 1 x 2 3 ③设 f ( x ) ? f ( x ) 中常数项为 ____, 则 2 3 x 2 1 1 2 x x 3 项的系数为_________;

1
④设 a ? 0, 则 n 阶行列式 Dn ?

a a ? _____; 1

a11
⑤设 D1 ?

a12 a22 an 2 ann ?1 an ?1 n ?1 a1n ?1

a1n a2 n ann

a

a21 a n1 ann

?1

a n1 an?11 a11 ? ______;

则 D2 ?

an ?1 n a1n

1 2 3 4 5 2 2 2 1 1 ⑥设五阶行列式 3 1 2 3 4 则 A31 ? A32 ? A33 ? ___, 1 1 1 2 2 A34 ? A35 ? _____; 4 3 1 5 0
3 ?1 1 1 ⑦设 D ? ?2 7 0 2 2 1 5 6 4 1 则 A31 ? A32 ? A33 ? A34 ? _____; 3 2

a
⑧设 a , b ? R, ? b

b

0

a 0 ? 0 则 a ? ____, b ? ____; 100 0 ?1 g( x ) s( x )

1 g( x ? h) s( x ? h) ? ____, ⑨ 3 f ( x ? h) h f ( x ? 2h) g( x ? 2h) s( x ? 2h)
其中 f ( x ), g( x ), s( x ) 存在二阶导数;

f ( x)

Eij ? 2, *⑩设随机变量 xij (i , j ? 1, 2, 3,4) 独立分布,
则行列式

x11 x21 Y? x31 x41

x12 x22 x32 x42

x13 x23 x33 x43

x14 x24 的数学期望 EY ? ______; x34 x44

1
? 若x

0 2 3 1 的代数余子式 A12 ? 0, 则代数余子式 A12 ? _______; x 5

4

? 元素aij ? i ? j 的n 阶行列式的值为_______;

a11
? 设 n 阶行列式 D ?

a12 a22 an 2

a1n a2 n ann


a21 a n1

a11 ? a21 ? a n1
?

? a12 a22 an 2
a1 ? b1 a2 ? b1 a3 ? b1

? a1n a2 n ann
a1 ? b2 a2 ? b2 a3 ? b2 a1 ? b3 a2 ? b3 ? ________; a3 ? b3

________ D;

a11
? 如果D ? a21

a12 a22 a32 a13

a13 a23 ? M , a33

a31 a11
则 2a21

a12 a22 a32

3a31

a23 ? ________; a33

a b ? 由行列式乘法可得: c d

b c d c a d ? ________; d a b c b a

2 ?a1 x1 ? a1 x2 ? x3 ? 0 ? 2 ? 三元齐次线形方程组: ?a2 x1 ? a2 x2 ? x3 ? 0 ? 2 ?a3 x1 ? a3 x2 ? x3 ? 0

满足 _________ 时,只有零解;

?3 x ? 2 y ? 3z ? 0 ? ? 方程组 ? x ? ky ? z ? 0 当k 为____时,有非零解; ?2 x ? y ? z ? 0 ? ? x1 ? x2 ? x3 ? ax4 ? 0 ? ? x1 ? 2 x2 ? x3 ? x4 ? 0 ? 若齐次线形方程组 ? ? x1 ? x2 ? 3 x3 ? x4 ? 0 ? x ? x ? ax ? bx ? 0 2 3 4 ? 1

有非零解,则 a , b满应满足的条件 _________;

a11 a21 a ? n1 b11 b21 bn1

a12 a22 an 2 b12 b22 bn 2

a1n a2 n ann b1n b2 n bnn

0 0 0 c11 c21 c n1

0 0 0 c12 c22 cn 2

0 0 0 c1n c2 n cnn

? ______

解 ① 1, 2 因为 a1i a23a35a5 j a44 是五阶行列式中的一项,所以12345 与i 35 j 4 都是五级排列,于是 i ? 1, j ? 2或 i ? 2, j ? 1 而当 i ? 1, j ? 2 时, ? (12345) ? ? (13524) ? 1 ? 3 ? 4 于是 a1i a23a35a5 j a44带正号. ② a?b?c ? 0

1
因为

1 b 3 b

1

1

1

1

c ? 0 b?a c?a 3 3 3 3 3 c 0 b ?a c ?a 1 1 ? (b ? a )(c ? a ) 2 b ? ab ? a 2 c 2 ? ac ? a 2 a 3 a
? (b ? a )(c ? a )(c ? b)(a ? b ? c )

1 1 1 b c ? 0 的充要条件是 所以当 a, b, c 互异时, a 3 3 3 a?b?c ? 0 a b c ③ ?3, ?1 因为 f ( x ) 中的常数项为 a13a24a31a42 ? a13a24a32a41 ? (?1)? (3412) 1? 3 ? 2 ? 1 ? (?1)? (3421) 1? 3 ? 3 ? 1 ? ?3 ? (2134) 3 3 3 项为 a a a a ? ( ? 1) x ? ? x x 12 21 33 44 所以 x 3 项的系数为 ? 1
④ ( ?1)
n( n ?1) 2

(a n ? a n? 2 )

1
因为 Dn ?

a a ? 1

0 a a

a? 1 a

a
? ( ?1)
n ( n ?1) 2

1

? (?1) ⑤ 1

( a ? 1 )a n ? 1 a n ( n ?1)
2

(a ? a
n

n? 2

)
n 2 n 2 n

D2 ? (?1) ( ?1) D1 ? ( ?1) D1 ? D1 ? 1; 因为当 n ? 2k 时,
当 n ? 2k ? 1 时,

D2 ? (?1)

n ?1 2

(?1)

n ?1 2

D1 ? (?1)n?1 D1 ? D1 ? 1;

⑥ 0, 0

? 2( A31 ? A32 ? A33 ) ? ( A34 ? A35 ) ? 0 因为 ? ?( A31 ? A32 ? A33 ) ? 2( A34 ? A35 ) ? 0
所以 A31 ? A32 ? A33 ? 0, A34 ? A35 ? 0 ⑦ 0 因为

3 ?1 1 1 A31 ? A32 ? A33 ? A34 ? 1 1 0 2

2 1 1 6

4 1 ?0 1 2

⑧ 0

a
因为 ? b

b

0
2 2

a 0 ? ?(a ? b ) ? 0 100 0 ?1

所以 a ? 0, b ? 0

f ( x) ⑨ f ?( x )

g( x ) g ?( x )

s( x ) s ?( x )

f ??( x ) g ??( x ) s??( x )

f ( x)
因为 lim 13

g( x )

s( x )

f ( x ? h) g( x ? h) s( x ? h) h? 0 h f ( x ? 2h) g( x ? 2h) s( x ? 2h)
f ( x) g( x ) s( x )

? lim 13 h? 0 h

f ( x ? h) ? f ( x) g( x ? h) ? g( x ) s( x ? h) ? s( x ) f ( x ? 2h) ? f ( x ) ? 2 f ( x ? h) g( x ? 2h) ? g( x ) ? 2 g( x ? h) s( x ? 2h) ? s( x ) ? 2s( x ? h)

f ( x) g( x ) s( x ) f ( x ? h) ? f ( x ) g ( x ? h) ? g ( x ) s ( x ? h) ? s ( x ) ? lim lim lim h? 0 h? 0 h? 0 h h h f ( x ? 2 h) ? f ( x ) ? 2 f ( x ? h ) g ( x ? 2 h ) ? g ( x ) ? 2 g ( x ? h ) s ( x ? 2h ) ? s ( x ) ? 2 s ( x ? h ) lim lim lim 2 2 h? 0 h? 0 h? 0 h h h2

f ( x ) g ( x ) s( x ) ? f ?( x ) g?( x ) s?( x ) f ??( x ) g??( x ) s??( x ) Ex11 Ex12 Ex21 Ex22 ⑩ 因为 EY ? Ex31 Ex32 Ex41 Ex42
2 2 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?0 2 2

Ex13 Ex23 Ex33 Ex43

Ex14 Ex24 Ex34 Ex44

8 ? 5

x 1 因为 A12 ? ? ? 4 ? 5 x ? 0 所以 x ? 4 5 4 5 0 2 0 2 于是 A21 ? ? ?? 4 ?8 5 5 x 5 5
? (?1)(?2)
n? 2

(n ? 1)

因为元素为 aij ? i ? j 的 n 阶行列式 D 为

D?

0 1 2

1 0 1

2 1 0

n? 2 n?1 n?3 n?2 n?4 n?3 0 1 1 1 1 ?1 1 1 0

?

n?2 n?3 n?4 n?1 n? 2 n? 3 ?1 1 1 ?1 ?1 1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 n?1 n? 2 n? 3

1 1 1 1 0

?

?1 ?1 ?1

0 ?2 ?2

0 0 ?2

0 0 0

0 0 0

?1 ?2 ?2 n ? 1 2n ? 3 2n ? 4

?2 0 n n?1
? a1n a2 n ann ? ( ?1)2 ? D ? D

? (?1)(?2)n? 2 (n ? 1)
? ?
因为

a11 ? a21 ? a n1

? a12 a22 an 2

? 0 因为

a1 ? b1 a2 ? b1 a3 ? b1

a1 ? b2 a2 ? b2 a3 ? b2

a1 ? b3

a1 ? b1

a1 ? b2 a2 ? a1 a3 ? a1

a1 ? b3 a2 ? a1 ? 0 a3 ? a1

a2 ? b3 ? a2 ? a1 a3 ? b3 a3 ? a1

? ?6 M
因为

a11 2a21 3a31

a12 ?2a22 ?3a32

a13

a11

a12 a22 a32

a13 a23 ? ?6 M a33

2a23 ? ( ?1) ? 2 ? 3 a21 3a33 a31

?

(a ? b ? c ? d )(a ? b ? c ? d )(a ? b ? c ? d )(a ? b ? c ? d ) ?a b c d? ?1 1 1 1 ? ? ? ? ? b a d c 1 1 ?1 ?1 ? ? ? ? 令 A? B? ?c d a b? ? 1 ?1 1 ?1 ? ? ? ? ? ?d c b a? ? 1 ?1 ?1 1 ?
则 A B ? AB ?

a?b?c?d a?b?c?d a?b?c?d a?b?c?d

a?b?c?d a?b?c?d c?d ?a?b c?d ?a?b

a?b?c?d b?a?d ?c c?d ?a?b d ?c?b?a

a?b?c?d b?a?d ?c c?d ?a?b d ?c?b?a

1 1 1 1 (a ? b ? c ? d )(a ? b ? c ? d ) 1 1 ?1 ?1 (a ? b ? c ? d )(a ? b ? c ? d ) 1 ?1 1 ?1 1 ?1 ?1 1

(a ? b ? c ? d )(a ? b ? c ? d ) (a ? b ? c ? d )(a ? b ? c ? d ) B
所以

A ? (a ? b ? c ? d )(a ? b ? c ? d ) (a ? b ? c ? d )(a ? b ? c ? d )

? ai ? a j (i ? j ) 因为系数行列式
2 a1

a1 1 a2 1 ? (a2 ? a1 )(a3 ? a1 )(a3 ? a2 ) ? 0

D? a

a a3 1 所以 ai ? a j (i ? j ) 2 ? 3

2 2 2 3

3

2

?3

因为系数行列式 D ? 1

2 所以 k ? 3

k ?1 ? 9 k ? 6 ? 0 2 ?1 1

1 1 因为系数行列式 D ? 1 1
所以 (1 ? a)2 ? 4b

? (1 ? a)2 ? 4b

1 1 2 1 1 ?3 1 a

a 1 ? (1 ? a )2 ? 4b ? 0 1 b

a11
?

a12 a22 an 2

a1n c11 a2 n c21 ann cn1

c12 c22 cn 2

c1n c2 n cnn

a21 a n1

a1 b1
3. 用行列式定义证明

a2 b2 c2 d2 e2

a3 b3 0 0 0

a4 b4 0 0 0

a5 b5 0 0 0

c1 d1 e1

证明 由行列式的定义知,它的每一项都是取自不同 行不同列的五个元素的乘积,在第三行中只有二个非 零元素 a31 和 a32 ,当第三行取元素 a31 时,第四行元 素只能取 a42,而第五行所能取的只有零元素,故这 一项为零,同理,当第三行取元素 a32 时,第四行元 素只能取 a41 ,而第五行所能取的也只有零元素,这

一项为零,行列式其它项也都含有零因子,所以 D ? 0

1 4. 由 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

? 0 证明:奇偶排列各半

证明

因为

1 1 1

?

j1 j2

?

( ?1)
jn

? ( j1 j2

jn )

?0

所以 ? ( j1 j2

jn ) 的奇偶各半,即 n 级排列奇偶各半

5. 证明:① 奇数阶反对称行列式等于零

1 1
② n 阶行列式 Dn ? 1

?1 ?1 1 ?1 1 1
n? 2

?1 ?1 ?1 1

1 1
1 ? n! 2

1
的展开式中正数个数为 2

0 ? a12
证明:①

a12 0 ? a23

a13 a23 0

a1n a2 n a3 n 0

D ? ? a13 ? a1n ? a13 ? a23 0 a3 n

0 a12 ? ( ?1) a13
n

? a12 0 a23 a2 n

? a2 n ? a3 n ? a1n ? a2 n ? a3 n 0

a1n

? (?1)n DT ? (?1)n D

当 n 为奇数时, D?0

1 1
② 因为 Dn ? 1

?1 ?1 1 ?1 1 1 0 0 2 1 1 1 0 0

?1 ?1 ?1 1

1 2 2 ? 2 1 0 2 2 1

0 ? 2 n ?1 1

设 Dn的展开式中正数个数为 P ,负数的个数为 N 则

? P ? N ? n! ? n ?1 ? P ? ( ? N ) ? Dn ? 2 所以 P ? 2n? 2 ? 1 n !, N ? 1 n !? 2n? 2 2 2

a c 6. 已知 D4 ? d a

b c b d b c b d

d a 试求 A14 ? A24 ? A34 ? A44 a c

a b c 1 c b d 1 ?0 解 A14 ? A24 ? A34 ? A44 ? d b c 1 a b d 1 1 ?5 1 3 1 1 3 4 7.已知 D ? 试求 A41 ? A42 ? A43 ? A44 1 1 2 3 2 2 3 4 1 ?5 1 3 1 1 3 4 ?6 解 A41 ? A42 ? A43 ? A44 ? 1 1 2 3 1 1 1 1

8.用行列式定义计算行列式



a 0 0 b

b a 0 0 a 0

0 b 0 0 b a 0 0 0 b 0 0

0 0 a 0

0 0 b a 0 0 a 0 0 0 b a



D? 0 b

a ???????? a
按第1列展开

b 0 0 0 b 0 0 0 a

0 a 0 0 0 b

0 b a

0 0

+b( ?1)

n ?1

b a 0

? a ? (?1)
n

n?1

b

n

103 100 204


199 200 395 301 300 600 103 100 204 100 ? 3 100 200 ? 4 200 395 ? 200 ? 1 200 400 ? 5 301 300 600 300 ? 1 300 600 ? 0 3 100 4 3 1 4

解 D ? 199

? ?1 200 ?5 ? 100 ?1 2 ?5 ? 2000 1 300 0 1 3 0

1 ?1 0
③ 0

0 ?1 1 0 1

0 0

0 0

1 0 0

0

?1 0 1 ?1 ?1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

1 ?1

1 ?1 0 0 1 ?1
解 D? 0

0

0 0

1 0 1

?1 0 ? 0 0 1 0 0 ? 1 1 ?1 0 0 0 1 0 ?1 1 1 0 1 0 1

1 ?1

0


2 0 2

4 2 0

6 4 2

2n 2n ? 2 2n ? 4 0 2n 2n ? 2 2n ? 4 0

2 4

2n 2n ? 2 2n ? 4 2n ? 6 0 2
解 D? 4

2 0 2

4 2 0

6 4 2

2n 2n ? 2 2n ? 4 2n ? 6

0 1 ? 2n ?1 2 n

1 0 1

2 1 0

3 2 1

n n?1 n?2 0

n?1 n? 2 n? 3

? 2n ?1

?1 ?1 ?1

1 ?1 ?1

1 1 ?1

1 1 1

1 1 1 1 0

?1 ?1 ?1 ?1 n n?1 n? 2 n? 3

? 2n ?1

?1 ?1 ?1

0 ?2 ?2

0 0 ?2

0 0 0

0 0 0 0 0

?1 ?2 ?2 ?2 n n?1 n? 2 n? 3

?2

n ?1

(?1)2

n?1

n ? (?1) 4 n
n n

1 2


2 3 4 1

3 4 5 2

n?1 n 1

n 1 2

3 n

n? 2 n?1

解 D?

1 2 3 n?1 n

2 3 4 n 1

3 4 5 1 2

n?1 n 1

n 1 2

n?3 n?2 n? 2 n?1

1 2 1 3 (1) i ? 1 n( n ? 1) 1 4 ??????? i ? 2,3, , n 2 1 n 1 1 1 2 0 1 (1)? n ?1? ? ? n? 1 n( n ? 1) 0 ??????? 2 ( ?1)?1? ? ? 2? 0 1 0 1? n

3 4 5 1 2 3 1 1 1? n 1

n?1 n 1

n 1 2

n?3 n?2 n? 2 n?1 n?1 n 1 1? n 1? n 1 1 1 1 1

1 n( n ? 1) ?????? 2
按第1列展开

1 1 1? n 1 1 1 1? n 1

1 1? n 1 1 1 1? n 1 1

1? n 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1? n 1 1 1 1? n

n( n ? 1) ???????? i ? 2,3, , n 2

(1)? i ? ? ?1?

1 n( n ? 1) ????????? i ? 2,3, , n ?1 2
(1)?1? ? ? i ?

1 0 ?n 0
( ? n)
n? 2

1 ?n 0 0

1 0 0 0

0 0 ?n

n( n ? 1) ?? ( ?1) 2 ? ( ?1)
n ( n ?1) 2

( n ?1)( n ? 2) 2

n n ? n n ?1 2

9.设 Dn ?

2 1 0 0 0

1 2 1 0 0

0 1 2 0 0

0 0 0

0 0 0 1 2 1

D1 , D2 , , Dn 试证: 为等差数列

2 1 证明将 Dn 按第一列展开得:2 1

0 1 2 0 0

0 0 0 2 1

0 0 0 1 2
n ?1

2 1 0 0

Dn ? 2

0 0 0

1 0 ? ( ?1)
1? 2

1 2 1 0 0
1 2 0 0 0 1 0 0

0 1 2 0 0
0 0 2 1

0 0 0 2 1
0

0 0 0 1 2
n ?1

0 0 0

2 1 ? 2 Dn?1 0 0

? 2 D ? D n ? 1 n? 2 即 0 Dn ? Dn?1 ? Dn?1 ? Dn?2

1 所以 D1 , D2 , , Dn 2 n? 2 是等差数列

10. a , b满足什么条件时,方程组

? ax1 ? ax2 ? ax3 ? ax4 ? bx5 ? ? ax1 ? ax2 ? ax3 ? bx4 ? bx5 ? ? ax1 ? ax2 ? bx3 ? ax4 ? bx5 ? ax ? bx ? ax ? ax ? bx 2 3 4 5 ? 1 ? ? bx1 ? ax2 ? ax3 ? ax4 ? bx5
a a a b a a b a a b a a

?0 ?0 ? 0 只有零解 ?0 ?0



欲使方程组只有零解,需系数行列式

a a D? a a

b a 5? 4 4 2 a ? ( ?1) (4a ? b )(b ? a ) ? 0 a 即 a ? b, 切 a ? ? b 4 b a a a a


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