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对一道课本习题的变式思考




名师
,




原题 必 修


, ,

当 取 什么 值时

,

上的

值最小 最小值是 多少 解析
,

,



刃 所以

分 访于

?



且仅 当 , 一 即 ,

时 等号成立 所 以 当二 时 针

的值最 小 最小 值等于

这是一 个运用 墓本不 等式 求最 值的 问题
,

题虽

简单 但很 好 的 体现 了 荃 本 不 等式 一 正 二 定 三 相 等 的 三 个基 本要 家 它也是许 多求 函 数 表达式 最 值问题的原 始棋型 因此 对该题很 有必要 进行思 考
探究 和深化
,






,

丈蚤 位 不 玲 正 息 么 办
断 人 位

例 分析
,

已 知 函 数厂

一 求该 函 数的最 值 二 里

本题 函数 表达式 与课本原题的表达 式相
,

同 只 是对变里取值进 行 了变化 因此 原题中的解答



只是 本题的一 个组 成部分



湖南






,

函数
?

为 ,
,

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义‘ 为 ,



无最大值 有最 , 谊


,




,




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分 访于 ,


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无最大值 有最小值
有最 大值 有 最大值

,

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,

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,

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已知



,

则函数

值 击 剔
,



时 等 号成立 所 以 当 卜 时

土 的值最

分析

本题 中两 个 正 数积 不 是定 值 不 能 直接
,

大 最大值等于一 综 上 当 刃 时 有最 小值
,
,

运 用基 本 不 等式 可 考虑 通过适 当的技 巧 进 行构造

当 动 时 有最 大



,

积 为定值 的结构 解



点评
件是 心
,


,



,

而 函数




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基 本 不 等式 吐互 二

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,





丽 成 立 的 前提 条


, ,

,



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运 用 时要特 别 注

脸证 题 中 、 刃 这

,









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,


,



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当且 仅 当
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,



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立 所 以 函 数 的最小值是

,

⑩ 扮掌 甘好 者

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名师





点评
,

由基本 不 等 式 可 知 积 一 定 和 最 小 和
” ,



,

值等 于

一 定 积 最大


因此 在 利 用 基 本 不 等式 求最值 时 可

,

通 过添减 项 配 凑 系数 等技 巧 构 造 定 值 形 式

等号 取 不 到 息 么 办
?

变式 。习

已知



,

,



补普 的最小值

二 分 析 求 函 数厂 卜 例



,



,

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,



襄 获


时息么 办
例 分析 求 函数 厂




七 鱼 〕 等号成 立 的 条件为
,



不 在定 义 城 内 不 能运 用 基 本不 等式求解 此 时可 考

虑运用 函 数单 调 性解 决 的最刁 值
,


函数
,

容 易 知 道 函 数厂 ,


本题用传统 方法 求 十分复杂
,

虽 然初 一
,


,


,



是增 〔‘〕

,

看 与基 本不 等式 并无联 系

实际 上 只需 要 对 表达式


所 以 函数的最 大值 了耐抓

最,



脚‘ 切
,

稍加变形 即可转 化 为 。 互 的 和 形式



因此 函 数 的值域 为【

点评

一 ‘ 的 函 ‘ 刀二 ,

,




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,上 是增 函 孔
,

在 运 用 基本 不 等 式 等 号 取 不 到 的 情 况 下 往 往 可 利
用 函 数 单调 性进行求 解

彼 人 幼 行

, ” 当且仅 当



?





时 等号成立

变式练 习 的值城为

已 知 函数厂

二 一

点评
,

将 表达 式进 行拆 分 转化成 两 个正 数 项 和

里 噢 、





则厂
,

的 形 式 然 后 再 运 用 墓本 不 等式



变式 练 习

函 数厂

丝互 只 生鱼

劝 的最 大


文 式珠 匀 李考奋 分

几不
,
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分学爱好 者 心


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