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抛物线及其标准方程试题3

【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方程学业分层测评 新人教 A 版选修 2-1
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.准线与 x 轴垂直,且经过点(1,- 2)的抛物线的标准方程是( A.y =-2x C.x =2y
2 2 2

)

B.y =2x D.x =-2y
2 2

2

【解析】 由题意可设抛物线的标准方程为 y =ax,则(- 2) =a,解得 a=2,因此 抛物线的标准方程为 y =2x,故选 B. 【答案】 B 2.以双曲线 - =1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( 16 9 A.y =16x C.y =8x
2 2 2

x2

y2

)

B.y =-16x D.y =-8x
2

2

【解析】 因为双曲线 - =1 的右顶点为(4,0),即抛物线的焦点坐标为(4,0), 16 9 所以抛物线的标准方程为 y =16x. 【答案】 A
2

x2

y2

x2 y2 2 3.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为 2 ,且右焦点与抛物线 y a b
=4 3x 的焦点重合,则该双曲线的离心率等于( A. 2 C.2 ) B. 3 D.2 3

【解析】 抛物线的焦点为( 3,0),即 c= 3.双曲线的渐近线方程为 y= x,由 = 2,即 b= 2a,所以 b =2a =c -a ,所以 c =3a ,即 e =3,e= 3,即离心率为 3. 【答案】 B 4.抛物线 y =12x 的准线与双曲线 - =-1 的两条渐近线所围成的三角形的面积为 3 9 ( ) A.3 3 B.2 3
2 2 2 2 2 2 2 2

b a

b a

y2 x2

1

C.2
2

D. 3 3 x,它们 3

【解析】 抛物线 y =12x 的准线为 x=-3,双曲线的两条渐近线为 y=± 所围成的三角形为边长等于 2 3的正三角形,所以面积为 3 3,故选 A. 【答案】 A 5.抛物线 y =8x 的焦点到准线的距离是( A.1 C.4
2 2

) B.2 D.8

【解析】 由 y =2px=8x 知 p=4,又焦点到准线的距离就是 p.故选 C. 【答案】 C 二、填空题 6.抛物线 y =2x 上的两点 A,B 到焦点的距离之和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴的距 离是________. 1 ?1 ? 2 【解析】 抛物线 y =2x 的焦点为 F? ,0?,准线方程为 x=- ,设 A(x1,y1),B(x2, 2 ?2 ?
2

y2),则|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =5,解得 x1+x2=4,故线段 AB 的中点横坐标为 2.故线
段 AB 的中点到 y 轴的距离是 2. 【答案】 2 7.对标准形式的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上;②焦点在 x 轴上;③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; ④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 其中满足抛物线方程为 y =10x 的是________.(要求填写适合条件的序号) 【解析】 抛物线 y =10x 的焦点在 x 轴上,②满足,①不满足;设 M(1,y0)是 y =10x
2 2 2

1 2

1 2

p 5 7 ?5 ? 2 上的一点, 则|MF|=1+ =1+ = ≠6, 所以③不满足; 由于抛物线 y =10x 的焦点为? ,0?, 2 2 2 ?2 ?

? 5? 过该焦点的直线方程为 y=k?x- ?,若由原点向该直线作垂线,垂足为(2,1)时,则 k=- ? 2?
2,此时存在,所以④满足. 【答案】 ②④ 8.抛物线 y=2x 的准线方程为________. 1 p 1 2 【解析】 化方程为标准方程为 x = y,故 = ,开口向上, 2 2 8
2

2

1 ∴准线方程为 y=- . 8 1 【答案】 y=- 8 三、解答题 9.求焦点在 x 轴上,且焦点在双曲线 - =1 上的抛物线的标准方程. 4 2 【解】 由题意可设抛物线方程为 y =2mx(m≠0),
2

x2 y2

? ? 则焦点为? ,0?. ?2 ?
m
∵焦点在双曲线 - =1 上, 4 2 ∴ =1,求得 m=±4, 4×4
2 2

x2 y2

m2

∴所求抛物线方程为 y =8x 或 y =-8x. 10.已知平面上动点 P 到定点 F(1,0)的距离比点 P 到 y 轴的距离大 1,求动点 P 的轨 迹方程. 【导学号:18490069】 【解】 法一 设点 P 的坐标为(x,y), 则有 (x-1) +y =|x|+1. 两边平方并化简,得 y =2x+2|x|.
?4x(x≥0), ? 2 ∴y =? ?0(x<0), ?
2 2 2

即点 P 的轨迹方程为 y =4x(x≥0)或 y=0(x<0). 法二 由题意知,动点 P 到定点 F(1,0)的距离比到 y 轴的距离大 1,由于点 F(1,0) 到 y 轴的距离为 1,故当 x<0 时,直线 y=0 上的点符合条件;当 x≥0 时,原命题等价于 点 P 到点 F(1,0)与到直线 x=-1 的距离相等,故点 P 的轨迹是以 F 为焦点,x=-1 为准 线的抛物线,方程为 y =4x.故所求动点 P 的轨迹方程为 y =4x(x≥0)或 y=0(x<0). [能力提升] 1.已知 P 为抛物线 y =4x 上的一个动点,直线 l1:x=-1,l2:x+y+3=0,则 P 到 直线 l1,l2 的距离之和的最小值为( A.2 2 C. 2 ) B.4 D. 3 2 +1 2
2 2 2

2

【解析】 将 P 点到直线 l1:x=-1 的距离转化为点 P 到焦点 F(1,0)的距离,过点 F

3

作直线 l2 的垂线,交抛物线于点 P,此即为所求最小值点,∴P 到两直线的距离之和的最小 |1+0+3| 值为 =2 2,故选 A. 2 2 1 +1 【答案】 A 2.过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 O 为原点,若|AF|=3, 则△AOB 的面积为( A. C. 2 2 3 2 2 ) B. 2 D.2 2
2

【解析】 根据题意画出简图(图略),设∠AFO=θ (0<θ <π ),|BF|=m,则点 A 到准 1 线 l:x=-1 的距离为 3,得 3=2+3cos θ ,得 cos θ = ,又 m=2+mcos(π -θ ),得 3

m=

2 3 1 1 ? 3? 2 2=3 2, = , △AOB 的面积为 S= · |OF|· |AB|· sin θ = ×1×?3+ ?× 1+cos θ 2 2 2 2 ? 2? 3

故选 C. 【答案】 C 3.如图 2?4?1 是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 m,水面宽 4 m.水位下 降 1 m 后,水面宽________m.

图 2?4?1 【解析】 以拱顶为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.

设抛物线的标准方程为 x =-2py(p>0). 则 A(2,-2),代入方程得 p=1, ∴抛物线的方程为 x =-2y, 设 B(x0,-3)(x0<0)代入方程得 x0=- 6. ∴此时的水面宽度为 2 6 m.
2

2

4

【答案】 2 6 4 .已知抛物线 y = 2px(p>0) 的准线过双曲线 2 - 2 = 1(a>0 , b>0) 的左焦点 F1 ,点
2

x2 a

y2 b

M? ,-

?2 ?3

2 6? ?是两条曲线的一个公共点. 【导学号:18490070】 3 ?

(1)求抛物线的方程; (2)求双曲线的方程. 2 6? ?2 2 【解】 (1)把 M? ,- ?代入方程 y =2px, 3 3 ? ? 得 p=2, 因此抛物线的方程为 y =4x. (2)抛物线的准线方程为 x=-1,所以 F1(-1,0),设双曲线的右焦点为 F,则 F(1, 0),
2

?7 5? 2 于是 2a=||MF1|-|MF||=? - ?= , ?3 3? 3
1 因此 a= . 3 8 2 2 2 又因为 c=1,所以 b =c -a = , 9 于是,双曲线的方程为 - =1. 1 8 9 9

x2 y2

5


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