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10-11学年高一数学:必修4复习资料十二(精选高考题附答案)


数学必修 4 复习资料十二
一、选择题(共 12 题) 1.将函数 y ? sin ? x ( ? ? 0 ) 的图象按向量 a ? ? ?
? ?
www.zxxk.comwww.zxxk.co

?

? , 0 ? 平移,平移后的图象如图 所示,则平 6 ?

移后的图象所对应函数的解析式是 A. y ? sin ( x ? C. y ? s in ( 2 x ?
?
6 ) )

B. y ? sin ( x ? D. y ? s in ( 2 x ?
? ? ?

?
6

) )

?
3

?
3

解: 将函数 y ? sin ? x ( ? ? 0 ) 的图象按向量 a ? ? ? 平移后的图象所对应的解析式为 y ? sin ? ( x ?
? ? 2 ,因此选 C。
?
6

?
6

? , 0 ? 平移, ?

) ,由图象知, ? (

7? 12

?

?
6

)?

3? 2

,所以

2.设 a ? 0 ,对于函数 f ? x ? ? A.有最大值而无最小值 C.有最大值且有最小值

s in x ? a s in x

(0 ? x ? ? ) ,下列结论正确的是

B.有最小值而无最大 值 D.既无最大值又无最小值
s in x ? a s in x (0 ? x ? ? ) 的值域为函数

解:令 t ? sin x , t ? (0,1] ,则函数 f ? x ? ?
y ? 1? a t

, t ? (0 ,1] 的值域,又 a ? 0 ,所以 y ? 1 ?

a t

, t ? (0 ,1] 是一个减函减,故选 B。

3.函数 y=1+cosx 的图象 (A)关于 x 轴对称

(B)关于 y 轴对称 www.zxxk.comwww.zxxk.co
?
2

(C)关于原点对称

(D)关于直线 x=

对称

解:函数 y=1+cos 是偶函数,故选 Bwww.zxxk.comwww.zxxk.co 4.已知 ? ∈( A.
1 7

?
2

, ? ),sin ? =

3 5

,则 tan( ? ?

?
4

)等于 C.-
1 7

B.7
?
2 , ? ), s in ? ? 3 5 , 则 ta n ? ? ?

D.-7
?
4 )= 1 ? ta n ? 1 ? ta n ? ? 1 7

解:由 ? ? (

3 4

, ta n (? ?

,选 A.

5.已知函数 f(x)=2sin ? x( ? >0)在区间[ ? A.
2 3

?
3

,

?
4

]上的最小值是-2,则 ? 的最小值等于 C.2 D.3 www.zxxk.comwww.zxxk.co

B.

3 2

解:函数 f ( x ) ? 2 s i n ? x (? ? 0 ) 在区间 ? ?
?

?

?
3

,

? ?
4? ?

上的最小值是 ? 2 ,则 ωx 的取值范围是

? ?? ?? ? , ? , ? 3 4 ? ? ?

∴ ?

??
3

≤ ?

?
2



??
4



3? 2 2 3

,∴ ? 的最小值等于

3 2

,选 B.

6.若 ? A B C 的内角 A 满 足 s in 2 A ?
15 3 15 3

,则 sin A ? co s A ? www.zxxk.comwww.zxxk.c
5 3 5
www. zxxk.comwww.zxxk.co

A.

B. ?

C.

D. ?

3

解 : 由 sin2A = 2sinAcosA?0 , 可 知 A 这 锐 角 , 所 以 sinA + cosA?0 , 又
( s i An? c Ao s?
2

)?

5 1 A s ?,故选 A i n 2 3

7.设点 P 是函数 最小值
?
4

f ( x ) ? sin ? x

的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离的

,则

f (x)

的最小正周期是 B. π
f ( x ) ? sin ? x

A.2π 解析:设点 P 是函数 离的最小值
?
4

C.

?
2

D.

?
4

的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴上的距

,∴ 最小正周期为 π,选 B.
f ( x ) ? sin x ? | a |, x ? R

8.已知 a ? R ,函数 (A)0

为奇函数,则 a= (D)±1

(B)1

(C)-1

【思路点拨】本题考查函数的奇偶性,三角函数 sinx 的奇偶性的判断,本题是一道送分的概 念题 【正确解答】解法 1 由题意可知, f ( x ) ? ? f ( ? x ) 得 a=0 解法 2:函数的定义域 为 R,又 f(x)为奇函数,故其图象必过原点即 f(0)=0,所以得 a=0, 解法 3 由 f(x)是奇函数图象法函数画出 f ? x ? ? sin x ? a , x ? R 的图象选 A 【解后反思】对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性, 其前 提条件是函数的定义域必须关于原点对称. 若函数 f(x)为奇函数 ? f ( ? x ) ? ? f ( x ) ? y ? f ( x ) 的图象关于原点对称. 若函数 f(x)为偶函数 ? f ( ? x ) ? f ( x ) ? y ? f ( x ) 的图象关于 y 轴对称. 9 为了得到函数 y
? 2 sin( x 3 ?

?
6

), x ? R

的图像,只需把函数 y

? 2 sin x , x ? R
1

的图像上所有的点

(A)向左平移 (B)向右平移

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)
3

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)
3

1

(C)向左平移 (D)向右平移

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)
[来源:学_科_网]

?
6

【思路点拨】本题主要考三角函数的图象变换,这是一道平时训练的比较多的一种类型。 【正确解答】先将 y ? 2 sin x , x ? R 的图象向左平移 得到函数 y ? 2 s in ( x ?
?
6

?
6

个单位长度,

再把所得图象上各点的横 坐标伸长到原来的 3 倍 (纵 ), x ? R 的图象,
x 3 ?

坐标不变)得到函数 y ? 2 sin(

?
6

), x ? R 的图像,选择 C。www.zxxk.comwww.zxxk.c

[来源:Z,xx,k.Com]

【解后反思】由函数 y ? sin x , x ? R 的图象经过变换得到函数 y ? A sin (? x ? ? ), x ? R (1) .y=Asinx,x?R(A>0 且 A?1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或 缩短(0<A<1)到原来的 A 倍得到的 (2) 函数 y=sinω x, x?R (ω >0 且ω ?1)的图象, 可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω >1)
王新敞
奎屯 新疆

或伸长(0<ω <1)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变)

(3)函数 y=sin(x+ ? ), x∈R(其中 ? ≠0)的图象, 可以看作把正弦曲线上所有点向左(当 ? > 0 时)或向右(当 ? <0 时=平行移动| ? |个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向: “加
王新敞
奎屯 新疆

左” “减右”),可以先平移变换后伸缩变换,也可以先伸缩变换后平移变换,但注意:先伸缩 时,平移的单位把 x 前面的系数提取出来。 10.函数 y ? 4 sin ? 2 x ?
? ? ?? ? ? 1 的最小正周期为( ??



A.

? ?

B. ?
= ? ,故选 B

C. 2 ?

D. 4 ?

解:T=

2? 2

11.已知 k<-4,则函数 y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是( A ) (A) 1 (B) -1
?
6

(C) 2k+1

(D) -2k+1 B )
www.zxxk.comwww.zxxk.co

12.函数 y=sin(2x+ (A)
?
2

)的最小正周期是( (C) 2 ? (D)4 ?

(B) ?

二、填空题

www.zxxk.comwww.zxxk.co

13.已知函数 f ( x ) ? 2 sin ? x ( ? ? 0 ) 在区间 ? ? , ? 上的最小值是 ? 2 ,则 ? 的最小值是_ ? 3 4? ___。

?

?

? ?

解:函数 f ( x ) ? 2 s in ? x (? ? 0 ) 在区间 ? ?
? ? ?? ?? ? ? , , ? 3 4 ? ? ?

?

?
3

,

? ?
4? ?

上的最小值是 ? 2 ,则 ωx 的取值范围是

∴ ?

??
3

≤ ?

?
2



??
4



3? 2

,∴ ? 的最小值等于

3 2

.

14 若 f ( x ) ? a s in ( x ? 是

?
4

) ? b s in ( x ?

?
4

)( a b ? 0 ) 是 偶 函 数 , 则 有 序 实 数 对 ( a , b ) 可 以
[来源:学科网 ZXXK]

.(注:只要填满足 a ? b ? 0 的一组数即可)(写出你认为正确 的一组数即可).
?
4 ) ? b sin ( x ?

解析. ab≠0, f ( x ) ? a sin ( x ?

?
4

) ? a(

2 2

sin x ?

2 2

co s x ) ? b (

2 2

sin x ?

2 2

co s x ) 是

偶函数,只要 a+b=0 即可,可以取 a=1,b=-1. 15 若
f ( x ) ? a sin( x ?

?
4

) ? 3 sin( x ?

?
4

) 是偶函数,则

a=
2 2

.
2 2 2 2

解析: f ( x ) ? a sin ( x ?

?
4

) ? 3 sin ( x ?

?
4

) ? a(

2 2

sin x ?

co s x ) ? 3(

sin x ?

co s x ) 是偶

函数,取 a=-3,可得 f ( x ) ? ? 3 2 co s x 为偶函数。 16 cot
20 ? cos 10 ? ? 3 sin 10 ? tan 70 ? ? 2 cos 40 ? =

【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值
cot 20 cos 10 ?
0 0

3 s in 1 0 ta n 7 0 ? 2 c o s 4 0
0 0

0

?

cos 20 cos 10 s in 2 0
0 0

0

0

?
0

3 s in 1 0 s in 7 0 cos 70
0 0

0

0

? 2 cos 40
0

0

【正确解答】
?

cos 20 cos 10 ?

3 s in 1 0 c o s 2 0
0

? 2 cos 40

0

s in 2 0

? ? ?

c o s 2 0 (c o s 1 0 ?
0 0

3 s in 1 0 )
0

0

s in 2 0
0 0

0

? 2 cos 40
0

0

2 c o s 2 0 (c o s 1 0 s in 3 0 ? s in 1 0 c o s 3 0 )
0

s in 2 0
0 0 0

0 0 0

? 2 cos 40

0

2 c o s 2 0 s in 4 0 ? 2 s in 2 0 c o s 4 0 s in 2 0

? 2

【解后 反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看” 即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化, (2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称 或相近 的名称,例如把所有的切都转化为相应的弦,或把所有的弦转化为相应的切,(3)看式子,看式 子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可

以使用. 三、简答题 17.已知
3? 4 ? ? ? ? , tan ? ? co t ? ? ? 10 3

(Ⅰ)求 tan ? 的值;
5 sin
2

?
2

? 8 sin

?
2

co s

?
2

? 1 1 co s

2

?
2

?8

? ? ? 2 sin ? ? ? ? 2 ? ? 10 解:(Ⅰ)由 ta n ? ? c o t ? ? ? 得 3 tan 2 ? ? 1 0 tan ? ? 3 ? 0 ,即 3 1 3? 1 ta n ? ? ? 3 或 ta n ? ? ? ,又 ? ? ? ? ,所以 ta n ? ? ? 为所求。 3 4 3
5 sin
2

(Ⅱ)求

的值。

?
2

? 8 sin

?
2

co s

?
2

? 1 1 co s

2

?
2

?8

5

1- cos ? 2

? 4 s in ? ? 1 1 ? 2 cos ?

1+ cos ? 2

?8

(Ⅱ)

? ? ? 2 sin ? ? ? ? 2 ? ?

=

=

5 ? 5 c o s ? ? 8 sin ? ? 1 1 ? 1 1 c o s ? ? 1 6 ?2 2 cos ?

=

8 s in ? ? 6 c o s ? ?2 2 cos ?

?

8 ta n ? ? 6 ?2 2

=?

5 6

2

1?

2 s in ( 2 x ? cos x

?
4

)

18. 已知函数 f ( x ) ?



(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)设 ? 是第四象限的角,且 ta n ? ? ? 解: (1)依题意,有 cosx?0,解得 x?k?+ 即 f ( x ) 的定义域为{x|x?R,且 x?k?+
1? 2 s in ( 2 x ? cos x
4 3

,求 f (? ) 的值.

?
2



?
2

,k?Z}

?
4

)

(2) f ( x ) ?

=-2sinx+2cosx? f (? ) =-2sin?+2cos?
4 3

由 ? 是第四象限的角,且 ta n ? ? ? ? f (? ) =-2sin?+2cos?=
14 5

可得 sin?=-

4 5

,cos?=

3 5

19. 已知函数 f(x)=sin 2x+ 3 xcosx+2cos2x,x ? R. (I)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (Ⅱ)函数 f(x)的图象可以由函数 y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到? 本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知

识,以及推理和运算能力。满分 12 分。 解: (I) f ( x ) ?
1 ? cos 2 x 2 ? 3 2 s in 2 x ? (1 ? c o s 2 x )

?

3 2

sin 2 x ?

1 2

co s 2 x ? 3 2 .

3 2

? sin ( 2 x ?

?
6

)?

? f ( x ) 的最小正周期 T ?

2? 2

??.

由题意得 2 k ? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,k ? Z,



k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

,k ? Z.

? ? ? ? , k? ? ,k ? Z. ? f ( x ) 的单调增区间为 k ? ? ? 3 6? ? ?

(II)方法一:
y ? s in ( 2 x ? y ? s in ( 2 x ?

先把 y ? s i n 2 图象上所有点向左平移 x

?
12 3 2

个单位长度,得到 个单位长度,就得到

?
6

) 的图象,再把所得图 象上所有的点向上平移 )? 3 2 ?

?
6

的图象。
?
1 2 , 3 2 )平 移 , 就 得 到

方 法 二 : 把 y ? s i n x 图 象 上 所 有 的 点 按 向 量 a ? (? 2
y ? s in ( 2 x ?

?
6

)?

3 2

的图象。

20. 已知函数 f(x)=- 3 sin x+sinxcosx.
2 5? 6

2

(Ⅰ) 求 f( 解
? sin 2 5? 6

)的值; (Ⅱ) 设 ? ∈(0, ? ),f( :

?
2

)=

1 4



3 2

,求 sin ? 的值. Ⅰ )
2 5? 6 ?0

(
3 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 4 3 2 1? 3 5 8
? f( 2 5? 6 )? ? 3 sin
2

?

1 2

, co s

2 5? 6

?

2 5? 6

? sin

2 5? 6

co s

(Ⅱ) f ( x ) ?

3 2

co s 2 x ?

?

sin 2 x

? f(

?
2

)?

3 2

cos ? ?

s in ? ?

?

?

16 sin

2

? ? 4 sin ? ? 11 ? 0

解得 sin ? ?

? ? ? ( 0 , ? ) ? sin ? ? 0 ? sin a ?

1? 3 5 8

21.已知向量
a ? ( 2 cos x 2 , tan( x 2 ?

?
4

)), b ? ( 2 sin(

x 2

?

?
4 x 2

), tan(

x 2

?

?
4 x 2

)), 令 f ( x ) ? a ? b .

求函数 f(x)的最大值,最小正周期,并写出 f(x)在[0,π ]上的单调区间. 解: f ( x ) ? a ? b ? 2 2 cos
x 2 sin( x 2 ?

?
4

) ? tan(

?

?
4

) tan(

?

?
4

)

? 2 2 cos

x 2

(

2 2

sin

x 2

?

2 2

cos

x 2

1 ? ta n )? 1 ? ta n

x 2 ? x 2

ta n

x 2

?1 x 2

1 ? ta n

? 2 sin

x 2

cos

x 2

? 2 cos

2

x 2

?1

? sin x ? cos x

= 2 sin( x ? 所以 f ( x )的最大值为
[来源:学科网]

?
4

). ? 4 ] 上单调增加,[ ? ? , ] 上单调减少. 4 2

2 ,最小正周期为 2 ? , f ( x ) 在 [ 0 ,

22. 若函数 f ( x ) ?

1 ? cos 2 x 2 sin(

?
2

? sin x ? a sin( x ?
2

?
4

) 的最大值为

2 ?3, 试确定常数 a 的

? x)

值. 解: f ( x ) ?
1 ? 2 cos 2 sin(
2

x ?1 ? x)

?
2

? sin x ? a sin( x ?
2

?
4

)

?

2 cos

2

x

? sin x ? a sin( x ?
2

?
4

) ? sin x ? cos x ? a sin( x ?
2

?
4

)

2 cos x
? 2 sin( x ?

?
4

) ? a sin( x ?
2

?
4

) ? ( 2 ? a ) sin( x ?
2

?
4

)
2 ? a
2

因为 f ( x ) 的最大值为 2 ? 3 , sin( x ? 所以 a ? ? 3 ,

?
4

) 的最大值为 1,则

?

2 ? 3,

[来源:学科网 ZXXK]


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