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高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式(一)课件 新人教版必修4_图文

1.3 三角函数的诱导公式(一)
目标定位 1.能借助单位圆中的三角函数线推导π±α, -α的正弦、余弦、正切的诱导公式,能进行简单的应 用;2.掌握用单位圆中三角函数线研究三角函数问题 的方法.

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1.设α为任意角,则π+α,-α,π-α的终边与α的终边之间的对 称关系如表

相关角 π+α与α -α与α π-α与α

终边之间的对称关系 关于_原__点__对称 关于_x_轴____对称 关于__y_轴___对称

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2.诱导公式一~四 (1)公式一:sin(α+2kπ)=_s_in__α_,cos(α+2kπ)=__c_o_s_α_, tan(α+2kπ)=_t_a_n_α__,其中k∈Z. (2)公式二:sin(π+α)=_-__s_in__α,cos(π+α)=-__c_o_s__α, tan(π+α)=__ta_n__α. (3)公式三:sin(-α)=_-__s_in__α_,cos(-α)=__co_s__α, tan(-α)=_-__ta_n__α. (4)公式四:sin(π-α)=_s_in__α_,cos(π-α)=_-__c_o_s_α_, tan(π-α)=__-__ta_n__α.

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3.诱导公式的整合与记忆
2kπ+α(k∈Z),π+α,π-α,-α的三角函数值,等于α的 _同__名__函__数__值_,前面加上一个把α看成锐角时原__函__数__值__的__符__号__. 简记为“_函__数__名__不__变__,__符__号__看__象__限__”.

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1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)角 α 与 β 终边方向相反,则有 β=α+π .( × ) (2)角 α 与-α 终边一定关于 x 轴对称.( √ ) (3)cos 76π = 23.( × ) (4)tan 945°=-1.( × )

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提示 (1)β=α+kπ,k∈Z.

(2)由正,负角的定义可知:α 与-α 终边关于 x 轴对称.

(3)cos76π=cos????π+π6 ????=-cosπ6 =-

3 2

(4)tan 945°=tan(5×180°+45°)=tan 45°=1.

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2.对于诱导公式中的角α ,下列说法正确的是( ) A.α 一定是锐角 B.0≤α <2π C.α 一定是正角 D.α 是使公式有意义的任意角 解析 由诱导公式的概念可知,角α可以取使公式有意义的 任意角. 答案 D

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3.下列各式不正确的是( ) A.sin(α+180°)=-sin α B.cos(-α+β)=-cos(α-β) C.sin(-α-360°)=-sin α D.cos(-α-β)=cos(α+β)
解析 对于 B,cos(-α+β)=cos[-(α-β)]=cos(α-β),而 不是-cos(α-β). 答案 B

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4.化简sin(-2)+cos(-2-π)tan(2-4π)所得的结果是_____. 解析 sin(-2)+cos(-2-π)·tan(2-4π)= -sin 2+cos(2+π)·tan 2=-sin 2-cos 2tan 2=-2sin 2. 答案 -2sin 2

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类型一 给角求值问题

【例1】 求下列各式的值:

(1)sin????-4π3 ????;(2)cos(-60°)-sin(-210°).



(1)sin????-4π3

????=-sin????π

+π3

????=sinπ3



3 2.

(2)原式=cos 60°+sin(180°+30°)=

cos 60°-sin 30°=12-12=0.

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规律方法 利用诱导公式求任意角三角函数的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化; (2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角; (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角; (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值. 特别提醒:牢记0°,30°,45°,60°,90°角的正弦、余 弦和正切值对给角求值问题很重要!

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【训练1】 求下式的值: 2sin(-1 110°)-sin 960°+cos(-225°)+cos(-210°). 解 原式=2sin(-3×360°-30°)-sin(2×360°+240°) + 2cos(180° +45°)+cos(180°+30°) =2sin(-30°)-sin(180°+60°)- 2cos 45°-cos 30° =-2×12+ 23- 2× 22- 23=-2.

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类型二 给值(式)求值问题 【例 2】 已知 sin(π +α)=-13,求 cos(5π +α)的值.
解 因为 sin(π +α)=-13,所以 sin α =13.

当 α 是第一象限角时,cos(5π +α)=cos(π +α )=-cos α

=-

1-sin2α

=-2 3

2 .

当 α 是第二象限角时,

cos(5π +α)=cos(π +α)=-cos α =

1-sin2α

=2

3

2 .

综上,cos(5π +α)的值为±232.

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规律方法 解答这类给值求值的问题,首先应把所给的 值进行化简,再结合被求值的式子的特点,观察所给值 的式子与被求式内在联系,特别是角之间的关系,恰当 地选择诱导公式.

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【训练 2】 已知 cos(α-75°)=-13,且 α 为第四象限角,求

sin(105°+α)的值. 解 ∵cos(α-75°)=-13<0,且 α 为第四象限角,

∴α -75°是第三象限角.

∴sin(α-75°)=- 1-cos2(α-75°)

=-

1-???-13???2=-2 3 2.

∴sin(105°+α)=sin ???180°+(α-75°)???=-sin(α-75°)

=2 3 2.

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类型三 利用诱导公式进行三角式的化简(互动探究)
【例 3】 设 k∈Z,化简:ssiinn( [(kkπ+-1)α)πc+osα[(]coks-(1k)ππ+-α)α]. [思路探究] 探究点一 sin(kπ-α)=sin α吗?应该如何化简? 提示 给合式子特征,应以对“角”的处理为切入点,且 需对k分奇偶数讨论,正确选用诱导公式. 探究点二 除将k分奇数、偶数分类讨论外,还有其他化简 方法吗? 提示 寻找角之间的联系,整体处理.

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解 法一 当 k 为偶数时,不妨设 k=2m(m∈Z), 则原式=ssiinn( [(22mmπ+-1)α)πc+osα[(]co2sm(-21m)ππ+-α)α] =sins(in-(απ)+coαs)(cπos+αα)=-si-n sαin(α-cocos sαα ) =-1; 当 k 为奇数时,可设 k=2m+1(m∈Z),同理可得原式= -1. 综上,k 为整数时,原式=-1.

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法二 由(kπ +α)+(kπ -α)=2kπ , [(k-1)π -α]+[(k+1)π +α]=2kπ , 得 sin(kπ -α)=-sin(kπ +α), cos[(k-1)π -α]=cos[(k+1)π +α]=-cos(kπ +α), sin[(k+1)π +α]=-sin(kπ +α), 所以原式=-1.

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规律方法 化简三角函数式时,若遇到kπ±α的形式,需分k 为奇数和k为偶数两种情况进行讨论,然后再运用诱导公式进 行化简.

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[课堂小结] 1.明确各诱导公式的作用

诱导公式

作用

公式一

将角转化为 0~2π 之间的角求值

公式二 公式三

将 0~2π 内的角转化为 0~π 之间的角求值 将负角转化为正角求值

公式四

将角转化为 0~π2 之间的角求值

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2.诱导公式的记忆 这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看 象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致,符号 则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符 号.α看成锐角,只是公式记忆的方便,实际上α可以是 任意角.

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1.已知 cos(π +θ)= 63,则 cos θ =( )

3 A. 6

B.-

3 6

33 C. 6

D.-

33 6

解析

∵cos(π+θ)=-cos

θ=

63,∴cos

θ=-

3 6.

答案 B

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2.已知 sin(π -α)=45,α 为第二象限角,则 cos(-α)=( )

A.-35

3 B.5

C.±35

4 D.5

解析 由已知:sin α=45,cos α=-35,cos(-α)=cos α

=-35.

答案 A

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3.设 tan α =a(a≠-1),则sinsi(n(3π--α)α)++cocso(s(ππ-+α)α)=

______.
解析 原式=-sisninαα--cocos sαα=-tatnanαα--11=11- +aa.

答案

1-a 1+a

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4.化简:tan(2π

-α)sin(-2π -α)cos(6π cos(α-π )sin(5π -α)

-α) .

解 原式=csoins((2c2oππs(--παα))-·sαi)n(·s-in(α)π·c-osα()-α)

=-sin cos

α (-sin α (-cos

α α

)cos )sin

α α

=- sin cos

α α

=-tan

α

.

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