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2012年江苏省高考数学试卷(必做+附加题)word

2012 年江苏省高考数学试卷 数学Ⅰ(必做题)
一、填空题: (每小题 5 分,共计 70 分)
} 1.已知集合 A ? {1, 2 , 4}, B ? { 2 , 4 , 6,,则 A ? B ? _______

2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中 三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取________名学生 3.设 a , b ? R , a ? bi ?
11 ? 7 i 1 ? 2i

( i 为虚数单位) ,则 a ? b 的值为_________ 开始

4.右图是一个算法流程图,则输出的 k 值为_________ 5.函数 f ( x ) ?
1 ? 2 log
6

x 的定义域为_________

k ?1

k

2

? 5k ? 4 ? 0

N

k ? k ?1

Y 输出 k

结束 (第 4 题) 6.现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项,-3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机 抽取一个数,则它小于 8 的概率是__________ 7. 如 图 , 在 长 方 体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中 , AB ? AD ? 3 cm , AA 1 ? 2 cm , 则 四 棱 锥
A ? BB 1 D 1 D 的体积为________ cm
3

D1 A1 D

C1

B1 C B

A 8.在平面直角坐标系 xoy 中, 若双曲线
x
2

(第 7 题)

? m

y
2

2

m

?4

? 1 的离心率为 5 , m 的值为______ 则

9.如图,在矩形 ABCD 中, AB ?
AB ? AF ?

2 , BC ? 2 , 点 E 为 BC 中点,点 F 在边 CD 上,若

2 , 则 AE ? BF 的值是_________

D

F

C

E

A (第 9 题)

B

? ax ? 1, ? 1 ? x ? 0 ? 10.设 f ( x ) 是定义在 R 上的且周期为 2 的函数, 在区间 [ ? 1,1] 上,f ( x ) ? ? bx ? 2 ,0 ? x ? 1 ? ? x ?1

其中 a , b ? R , 若 f ( ) ? f ( ) ,则 a ? 3 b 的值为__________
2 2

1

3

11.设 ? 为锐角,若 cos( ? ?

?
6

)?

4 5

, 则 sin( 2 ? ?
2

?
12

) 的值为_________
2

12. 在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为 x ? y ? 8 x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上 至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是_____ 13. 已 知 函 数 f ( x ) ? x ? ax ? b ( a ? R , b ? R ) 的 值 域 为 [ 0 , ?? ) , 若 关 于 x 的 不 等 式
2

f ( x ) ? c 的解集为 ( m , m ? 6 ) ,则实数 c 的值为________

14.已知正数 a , b , c 满足: 5 c ? 3 a ? b ? 4 c ? a , c ln b ? a ? c ln c ,则 二、解答题: 15.(本小题满分 14 分) 在 ? ABC 中,已知 AB ? AC ? 3 BA ? BC (1)求证: tan B ? 3 tan A ; (2)若 cos C ?
5 5 , 求 A 的值.

b a

的取值范围是____

16.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 中, A1 B 1 ? A1 C 1 , D , E 分别是棱 BC , CC 1 上 的 点 ( 点
D 不同于点 C ) ,且 AD ? DE , F 为 B 1 C 1 的中点.

求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC 1 B 1 ; (2)直线 A1 F // 平面 ADE .

A1 F B1

C1

E

A D B (第 16 题)

C

17.(本小题满分 14 分) 如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米. 某炮位于坐标原点,已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ?
1 20 (1 ? k ) x ( k ? 0 ) 表示的曲
2 2

线上,其中 k 与发射方向有关,炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. y(千米)

O
(第 17 题)

x(千米)

18.(本小题满分 16 分) 若函数 y ? f ( x ) 在 x ? x 0 处取得极大值或极小值,则称 x 0 为函数 y ? f ( x ) 的极值点. 已知 a , b 是实数,1 和-1 是函数 f ( x ) ? x ? ax
3 2

? bx 的两个极值点.

(1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x ) 的导函数 g ' ( x ) ? f ( x ) ? 2 ,求 g ( x ) 的极值点; (3)设 h ( x ) ? f ( f ( x )) ? c ,其中 c ? [? 2 , 2 ] ,求函数 y ? h ( x ) 的零点个数.

19.(本小题 16 分) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 椭 圆
x a
3 2
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为

F1 ( ? c , ), F 2 ( c , 0 ) .已知点 (1, e ) 和 (e , 0

) 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率.

(1)求椭圆的方程; (2)设 A , B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF 1 与直线 BF 2 平行, AF 2 与 BF 1 交于 点P . (ⅰ)若 AF 1 ? BF 2 ?
6 2

,求直线 AF 1 的斜率; y A P F1 O F2 B x

(ⅱ)求证: PF 1 ? PF 2 是定值.

(第 19 题)

20.(本小题满分 16 分) 已知各项均为正数的两个数列 ?a n ? 和 ?b n ? 满足: a n ? 1 ?
a n ? bn a n ? bn
2 2

,n ? N .
*

(1)设 b n ? 1 ? 1 ?

? bn 2 ? * ) ? 是等差数列; , n ? N ,求证:数列 ? ( an ? an ?
bn
bn an , n ? N ,且 ?a n ? 是等比数列,求 a 1 和 b 1 的值.
*

(2)设 b n ? 1 ?

2?

数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】 : A.[选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图, AB 是圆 O 的直径, D , E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点,连结 BD 并延长至点 C , 使 BD ? DC ,连结 AC , AE , DE . 求证: ? E ? ? C . C

D

A

O

.

B

B.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)
? 1 3 ? ?? 4 4 ? ? ? ? ,求矩阵 A 的特征值. 1 1? ? ? ?2 2? ? ?

E (第 21-A 题)

已知矩阵 A 的逆矩阵 A ?1

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程] (本小题满分 10 分)
? ? 在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P ( 2, ) ,圆心为直线 ? sin( ? ? ) ? ?
4

3 2

与极轴的交

3

点,求圆 C 的极坐标方程.

D.[选修 4-5:不等式选讲] (本小题满分 10 分) 已知实数 x , y 满足: x ? y ?
1 3 , 2x ? y ? 1 6

,求证: y ?

5 18

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分 22. (本小题满分 10 分) 设 ? 为随机变量.从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交时,? ? 0 ;当 两条棱平行时, ? 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时, ? ? 1 . (1)求概率 P (? ? 0 ) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E ( ? ) .

23. (本小题满分 10 分) 设集合 Pn ? {1, 2 ,? ? ?, n }, n ? N .记 f ( n ) 为同时满足下列条件的集合 A 的个数:
*

① A ? Pn ;②若 x ? A , 则 2 x ? A ;③若 x ? C P A , 则 2 x ? C P A .
n n

(1)求 f ( 4 ) ; (2)求 f ( n ) 的解析式(用 n 表示).