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2018一轮北师大版(理)数学训练:第8章 第5节 课时分层训练49 椭 圆 Word版含解析

课时分层训练(四十九) A组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 一、选择题 椭 圆 x2 y2 1.设 F1,F2 分别是椭圆25+16=1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1P 的中点,|OM|=3,则 P 点到椭圆左焦点的距离为( A.4 C.2 A B.3 D.5 ) 1 [由题意知,在△PF1F2 中,|OM|= 2|PF2|=3,∴|PF2|=6,∴|PF1|=2a -|PF2|=10-6=4.] 2.已知椭圆的方程为 2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为( ) 【导学号:57962395】 A. 1 3 B. 3 3 2 C. 2 B x2 y2 [原方程化为m+ m=1(m>0), 2 3 1 D.2 m m m ∴a2= 2 ,b2= 3 ,则 c2=a2-b2= 6 , 1 3 则 e2=3,∴e= 3 .] 3.(2016· 盐城模拟)已知两圆 C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9, 动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切,和圆 C2 相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程 为( ) x2 y2 A.64-48=1 x2 y2 C.48-64=1 x2 y2 B.48+64=1 x2 y2 D.64+48=1 D [设圆 M 的半径为 r, 则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16, ∴M 的轨迹是以 C1,C2 为焦点的椭圆, 且 2a=16,2c=8, x2 y2 故所求的轨迹方程为64+48=1,故选 D.] x2 y2 4.若点 O 和点 F 分别为椭圆 4 + 3 =1 的中心和左焦点,若 P 为椭圆上的 → → 任意一点,则OP· FP的最大值为( A.2 C.6 ) B.3 D.8 → → C [由题意知,O(0,0),F(-1,0),设 P(x,y),则OP=(x,y),FP=(x+1, → → x2 y2 3 2 2 2 y),∴OP· FP=x(x+1)+y =x +y +x.又∵ 4 + 3 =1,∴y2=3-4x2, → → 1 1 ∴OP· FP=4x2+x+3=4(x+2)2+2. → → ∵-2≤x≤2,∴当 x=2 时,OP· FP有最大值 6.] x2 y2 3 5.已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,离心率为 3 , 过 F2 的直线 l 交 C 于 A, B 两点. 若△AF1B 的周长为 4 3, 则 C 的方程为( x2 y2 A. 3 + 2 =1 x2 B. 3 +y2=1 x2 y2 C.12+ 8 =1 x2 y2 D.12+ 4 =1 x2 y2 3 c 3 A [∵a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 3 ,∴a= 3 . ) 又∵过 F2 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,△AF1B 的周长 为 4 3, ∴4a=4 3,∴a= 3,∴b= 2, x2 y2 ∴椭圆方程为 3 + 2 =1.] 二、填空题 x2 y2 6.(2017· 成都质检)已知椭圆: 4 +b2=1(0<b<2)的左、右焦点分别为 F1, F2,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为 5,则 b 的值 是__________. 3 [由椭圆的方程可知 a=2,由椭圆的定义可知,|AF2|+|BF2|+|AB|=4a =8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3,由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中,通 2b2 径最短,则 a =3,所以 b2=3,即 b= 3.] π 7. (2017· 湖南长沙一中月考)如图 853, ∠OFB=6, △ABF 的面积为 2- 3, 则以 OA 为长半轴,OB 为短半轴,F 为一个焦点的椭圆方程为__________. 图 853 【导学号:57962396】 x2 y2 8 + 2 =1 =b, π b 3 ∴|BF|=a.∵∠OFB=6,∴c= 3 ,a=2b. 1 1 1 ∴S△ABF=2· |AF|· |BO|=2(a-c)· b=2(2b- 3b)b=2- 3, 解得 b2=2,则 a=2b=2 2. x2 y2 [设所求椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0), 由题意可知, |OF|=c, |OB| x2 y2 ∴所求椭圆的方程为 8 + 2 =1.] x2 y2 8. (2016· 江苏高考)如图 854, 在平面直角坐标系 xOy 中, F 是椭圆a2+b2= b 1(a>b>0)的右焦点,直线 y=2与椭圆交于 B,C 两点,且∠BFC=90° ,则该椭圆 的离心率是 ________. 图 854 6 3 b2 b x2 4 [将 y=2代入椭圆的标准方程,得a2+b2=1, 3 ? ? 3 3 b? b? 所以 x=± 2 a,故 B?- a, ?,C? a, ?. 2 2 2 2? ? ? ? → ? 3 b? → ? 3 b? 又因为 F(c,0),所以BF=?c+ a,- ?,CF=?c- a,- ?. 2 2? 2 2? ? ? → → 因为∠BFC=90° ,所以BF· CF=0, 3 1 ? 3 ?? 3 ? ? b? 所以?c+ a??c- a?+?-2? =0,即 c2-4a2+4b2=0,将 b2=a2-c2 代入 2 ?? 2 ? ? ? ? 3 c2 2 6 并化简,得 a2=2c2,所以 e2=a2=3,所以 e= 3 (负值舍去).] 三、解答题 x2 y2 2 9.已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,其中左焦点为 F(-2,0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点 M 在 圆 x2+y2=1 上,求 m 的值. 【导学号:57962397】 2 [解] c 2 =2, ? a ? (

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