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2013北京市海淀、西城、东城、朝阳、丰台、石景山区中考数学二模试题_图文

北京市西城区 2013 年初三二模试卷(数学)
2013. 6 一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. .. 1. ? 3 的倒数是 1 1 A. B.3 C. ? 3 3 2.下列运算中正确的是 A. a ? a ? a 2 A.5 B. a ? a 2 ? a 2 B.6
x

D. ? 3

C. (ab)2 ? a 2b2 C.7 C.5

D . (a 2 ) 3 ? a 5 D.8 D.9

3.若一个多边形的内角和是 720°,则这个多边形的边数是 4.若 x ? 3 ? y ? 2 ? 0 ,则 y 的值为 A.8 B.6

5.下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是

A

B

C

D D.方差是 1.6

6.对于一组统计数据:3,3,6,3,5,下列说法中错误的是 .. A.中位数是 6 B.众数是 3 C.平均数是 4 EF 交 AD 于点 H,则四边形 DHFC 的面积为 A. 3 B. 3 3 C. 9 D. 6 3

7.如图,边长为 3 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 30 °后得到正方形 EFCG,

8.如图,点 A,B,C 是正方体三条相邻的棱的中点,沿着 A,B,C 三点所在的平面将该正方体的一 个角切掉,然后将其展开,其展开 图可能是

A

B

C

D

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 3 9.函数 y ? 中,自变量 x 的取值范围是 x?2

. .

10. 若把代数式 x 2 ? 8 x ? 17 化为 ( x ? h) 2 ? k 的形式, 其中 h ,k 为常数, h ? k = 则

11.如图,在△ABC 中,∠ ACB=52°,点 D,E 分别是 AB, AC 的中点.若点 F 在线段 DE 上,且∠ AFC=90°, 则∠ 的度数为 FAE °. 12.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在第一象限, 点 B 在 x 轴的正半轴上,∠ OAB=90°.⊙1 是△OAB P 的内切圆,且 P1 的坐标为(3,1). (1) OA 的长为 ,OB 的长为 ;

(2) 点 C 在 OA 的延长线上,CD∥ 交 x 轴于点 D.将⊙1 沿水平方向向右平移 2 个单位 AB P 得到⊙2,将⊙2 沿水平方向向右平移 2 个单位得到⊙3,按照同样的方法继续操作, P P P 依次得到⊙4,……⊙n.若⊙1,⊙2,……⊙n 均在△OCD 的内部,且⊙n 恰好与 CD 相 P P P P P P 切,则此时 OD 的长 为 . (用含 n 的式子表示)

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 1 13.计算: ( )?1 ? 27 ? (5 ? ?)0 ? 6tan 60? . 4 14.如图,点 C 是线段 AB 的中点,点 D,E 在直线 AB 的同侧, ∠ A=∠ EC DCB,∠ E. D=∠ 求证:AD=BE.

2 15.已知 x ? 3x ? 1 ? 0 ,求代数式 ( x ? 2)( x ? 3) ? (2 x ? 1)(2 x ? 1) ? 4 x 的值.

16.已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 7 x ? 11 ? m ? 0 有实数根. (1) 求 m 的取值范围; (2) 当 m 为负整数时,求方程的两个根.

17.列方程(组)解应用题: 水上公园的游船有两种类型,一种有 4 个座位,另一种有 6 个座位.这两种游船的 收费标准是:一 条 4 座游船每小时的租金为 60 元,一条 6 座游船每小时的租金为 100 元.某公司组织 38 名员工到水上公园租船游览,若每条船正好坐满,并且 1 小时共花 费租金 600 元,求该公司分别租用 4 座游船和 6 座游船的数量.

18.为了解“校本课程”开展情况,某校科研室随机选取了若干学生进行问卷调查(要求每位学 生只能填写一种自己喜欢的课程),并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图: 调查结果的条形统计图 调查结果的扇形统计图

请根据以上信息回答下列问题: (1) 参加问卷调查的学生共有 人;新|课
|标|第 |一| 网

(2) 在扇形统计图中,表示“C”的扇形的圆心角为

度;

(3) 统计发现,填写“喜欢手工制作”的学生中,男生人数∶女生人数=1∶6.如果从所有 参加问卷调查的学生中随机选取一名学生,那么这名学生是填写“喜欢手工制作”的女 生的概率为 .

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 1 9.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y ? kx ? b 的图象与 x 轴交于点 A( ?3 ,0), 4 与 y 轴交于点 B,且与正比例函数 y ? x 的图象的交点为 C( m ,4) . 3 (1) 求一次函数 y ? kx ? b 的解析式; (2) 若点 D 在第二象限,△DAB 是以 AB 为直角边的 等腰直角三角形,直接写出点 D 的坐标.

20.如图,四边形 ABCD 中,∠ BAD=135°,∠ BCD=90°,AB=BC=2, 6 tan∠ BDC= 3 . (1) 求 BD 的长; (2) 求 AD 的长.

21.如图,以△ABC 的一边 AB 为直径作⊙ O, ⊙ 与 BC 边的交点 D 恰好为 BC 的中点, O 过点 D 作⊙ 的切线交 AC 边于点 E. O

(1) 求证:DE⊥ AC;
3 OF (2) 连结 OC 交 DE 于点 F,若 sin ?ABC ? ,求 的值. 4 FC

22.在 平面 直角坐 标系 xOy 中 ,点 P ( x, y ) 经 过变 换 ? 得到 点 P?( x?, y?) , 该变换 记作
? x ? ? ax ? by, ( a, b 为 常 数 ) . 例 如 , 当 a ? 1 , 且 b ? 1 时 , ? ( x, y ) ? ( x ?, y ?) , 其 中 ? ? y ? ? ax ? by

? (?2,3) ? (1,?5) .
(1) 当 a ? 1 ,且 b ? ?2 时, ? (0,1) = (2) 若 ? (1, 2) ? (0, ?2) ,则 a = 与点 P? 重合,求 a 和 b 的值. ,b = ; ;

(3) 设点 P ( x, y ) 是直线 y ? 2 x 上的任意一点,点 P 经过变换 ? 得到点 P?( x?, y?) .若点 P

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) k 23.在平面直角坐标系 xOy 中, A,B 两点在函数 C1 : y ? 1 ( x ? 0) 的图象上, x 其中 k1 ? 0 .AC⊥ 轴于点 C,BD⊥ 轴于点 D,且 AC=1. x y (1) 若 k1 =2,则 AO 的长为 ,△BOD 的面积为 ; (2) 如图 1,若点 B 的横坐标为 k1 ,且 k1 ? 1 ,当 AO=AB 时,求 k1 的值; k (3) 如图 2,OC=4,BE⊥ 轴于点 E,函数 C2 : y ? 2 ( x ? 0) 的图象分别与线段 BE, y x BD 交于点 M, 其中 0 ? k2 ? k1 . N, 将△OMN 的面积记为 S1 , △BMN 的面积记为 S2 , 若 S ? S1 ? S2 ,求 S 与 k 2 的函数关系式以及 S 的最大值.

图1

图2

24.在△ABC 中,AB=AC,AD,CE 分别平分∠ 和∠ BAC ACB,且 AD 与 CE 交于点 M.点 N 在射 线 AD 上,且 NA=NC.过点 N 作 NF⊥ 于点 G,且与 AC 交于点 F,再过点 F 作 FH∥ CE CE, 且与 AB 交于点 H. (1) 如图 1,当∠ BAC=60°时,点 M,N,G 重合. ① 请根据题目要求在图 1 中补全图形;X ② 连结 EF,HM,则 EF 与 HM 的数量关系是__________;

(2) 如图 2,当∠ BAC=120°时,求证:AF=EH; (3) 当∠ BAC=36°时,我们称△ABC 为“黄金三角形” ,此时 直接写出 GM 的长.
BC AC ? 5 ?1 2

.若 EH=4,

图1

图2

备用图

25.如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 和抛物线 W 交于 A, B 两点,其中点 A 是抛物线 W 的顶点.当点 A 在直线 l 上运动 时,抛物线 W 随点 A 作平移运动.在抛物线平移的过程中,线 段 AB 的长度保持不变. 应用上面的结论,解决下列问题: 如 图 2 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 直 线
C1 : y ? ? x ? bx ? c 与直线 l1 的另一个交点为点 B.
2

图1

l1 : y ? x ? 2 .点 A 是直线 l1 上的一个动点,且点 A 的横坐标为 t .以 A 为顶点的抛物线
(1) 当 t ? 0 时,求抛物线 C1 的解析式和 AB 的长; (2) 当点 B 到直线 OA 的距离达到最大时,直接写出此时点 A 的坐标; 1 (3) 过点 A 作垂直于 y 轴的直线交直线 l2 : y ? x 于点 C.以 C 为顶点的抛物线 2
C2 : y ? x ? mx ? n 与直线 l2 的另一个交点为点 D.
2

① AC⊥ 时,求 t 的值; 当 BD ② 若以 A,B,C,D 为顶点构成的图形是凸四边形,直接写出满足条件的 t 的取值范 围.

图2

备用图

北京市西城区 2013 年初三二模

数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 A 5 B 6 A 7 B

2013.6

8 D

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9
x ? ?2

10
5

11
64

12

4

5

2n+3

阅卷说明:第 12 题第一、第二个空各 1 分,第三个空 2 分. 三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分)w 13.解:原式= 4 ? 3 3 ? 1 ? 6 ? 3 =5?3 3 . 14.证明:∵ C 是线段 AB 的中点, 点 ∴ AC=BC. ∵ECA=∠ ∠ DCB, ∴ECA+∠ ∠ ECD=∠ DCB+∠ ECD, 即∠ ACD=∠ BCE. 在△ACD 和△BCE 中,
? ?D ? ? E , ? ??ACD ? ?BCE , ? AC ? BC , ?
W w . x K b 1 .c o M

……………………………………………… 4 分 ……………………………………………… 5 分

…………………………1 分

E

D

…………………2 分
A C B

∴ △ACD≌ △BCE.

……………………………………………… 4 分

∴ AD=BE . ……………………………………………… 5 分 15.解: ( x ? 2)( x ? 3) ? (2 x ? 1)(2 x ? 1) ? 4 x

? x ? 5x ? 6 ? (4 x ? 1) ? 4 x
2 2

…………………………………………… 2 分 …………………………………………………… 3 分 ……………………………………………4 分 ……………………………… 5 分

? ?3x ? 9 x ? 7 .
2

2 2 x ∵ ? 3x ? 1 ? 0 , 即 x ? 3 x ? 1 ,

2 ∴ 原式 ? ?3( x ? 3x) ? 7 ? ?3 ? 1 ? 7 ? 4 .

2 16.解:(1) ∵ 关于 x 的一元二次方程 x ? 7 x ? 11 ? m ? 0 有实数根,

∴ ? 7 ? 4(11 ? m) ? 0 . ?
2

….….…..…..…………..……………………1 分

5 m ∴ ?? . 4 (2) ∵ 为负整数,新 m m ∴ ? ?1 .

…..….….…..…………..……………………2 分
课 标 第 一 网

.….……..…..…………..…………………… 3 分 .…….…..…………………4 分 .…….…..…………………5 分 .….…..…..…………………… 1 分 ….………..……………………3 分

此时方程为 x 2 ? 7 x ? 12 ? 0 . _ _ 解得 x1= 3,x2= 4. 17.解:设租用 4 座游船 x 条,租用 6 座游船 y 条. 依题意得 ?

?4 x ? 6 y ? 38, ?60 x ? 100 y ? 600.

解得 ?

? x ? 5, ? y ? 3.

..…………..……………………4 分 .….….…..…..…………………5 分

答:该公司租用 4 座游船 5 条,6 座游船 3 条. 18.解:(1) 80; (2) 54; 3 (3) 20.

……………………………………………………………………1 分 ……………………………………………………………………3 分 …………………………………………………………………… 5 分

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 4 19.解:(1)∵点 C( m ,4)在直线 y ? x 上, 3
4 ∴ 4 ? m ,解得 m ? 3 . 3

……………… 1 分
D2

y
D1
4

4 y= x 3

∵点 A( ?3 ,0)与 C(3,4)在直线 y ? kx ? b(k ? 0) 上,
?0 ? ?3k ? b, ∴? ?4 ? 3k ? b.

C

y=kx+b

B

……………… 2 分

A
-3

O

x

2 ? ?k ? , 3 解得 ? ?b ? 2. ?
2 ∴一次函数的解析式为 y ? x ? 2 . 3

……………………………………… 3 分 ……………………………………… 5 分
E D A

(2) 点 D 的坐标为( ?2 , 5 )或( ?5 , 3 ). 阅卷说明:两个点的坐标各 1 分.

6 20.解:(1)在 Rt△BCD 中,∠ BCD=90°,BC=2,tan∠ BDC= 3 , ∴
2 6 ? w CD 3 .
W w . x K b 1 .c o M

∴CD= 6.

…………………………………… 1 分
B C

∴由勾股定理得 BD= BC2+CD2= 10 . ……… 2 分 (2)如图,过点 D 作 DE⊥AB 交 BA 延长线于点 E .

∵∠ BAD=135°, ∴∠ EAD=∠ ADE=45°. ∴AE=ED .
2 2

………………………………………………………………… 3 分 2x . ………………………………………………… 4 分
2

设 AE=ED= x ,则 AD= ∵DE +BE =BD , ∴x2+(x+2)2=( 10)2. 解得 x1= _3(舍),x2=1 . ∴AD= 2x = 2. 21. (1)证明:连接 OD . ∵DE 是⊙ 的切线, O

………………………………………………………… 5 分

∴DE⊥OD,即∠ ODE=90° . ∵ 是⊙ 的直径, AB O ∴ 是 AB 的中点. O 又∵ 是 BC 的中点, . D ∴OD∥AC . ∴∠ DEC=∠ ODE= 90° . ∴DE⊥AC . (2)连接 AD . ∵OD∥AC, OF OD ∴ ? . FC EC

……………………………………………1 分

……………………………………………………………… 2 分

…………………………………………………………………… 3 分
A O F B D

∵AB 为⊙ 的直径, O ∴∠ ADB= ∠ =90° . ADC 又∵D 为 BC 的中点, ∴AB=AC. AD 3 ∵sin∠ABC= AB = , 4 故设 AD=3x , 则 AB=AC=4x , OD=2x . ∵DE⊥AC, ∴∠ ADC= ∠ AED= 90°. ∵∠ DAC= ∠ EAD, ∴△ADC∽△AED. AD AC ∴ . ? AE AD ∴ AD2 ? AE ? AC . 9 ∴ AE ? x . 新 课 4
7 ∴ EC ? x . 4

E C

………………………………………… 4 分



第 一 网



OF OD 8 ? ? . FC EC 7

………………………………………………………………… 5 分

22.解:(1) ? (0,1) = (?2, 2) ; ……………… ……………………… 1 分 1 (2) a = ?1 , b = ; ……………………………………… 3 分 2 (3) ∵ P ( x, y ) 经过变换 ? 得到的对应点 P?( x?, y?) 与点 P 重合, 点 ? ∴ ( x , y ) ? ( x, y ) . ∵ P ( x, y ) 在直线 y ? 2 x 上, 点 ? ∴ ( x , 2 x ) ? ( x, 2 x ) . ∴ ?

? x ? ax ? 2bx, ?2 x ? ax ? 2bx.

……………………………………… 4 分

?(1 ? a ? 2b) x ? 0, 即? ?(2 ? a ? 2b) x ? 0.
∵ 为任意的实数, x
3 ? ?a ? 2 , ? 解得 ? ?b ? ? 1 . ? ? 4

?1 ? a ? 2b ? 0, ∴ ? ?2 ? a ? 2b ? 0.
a ∴ ? 3 2

,b ? ?

1 4

.

………………………………… …… 5 分

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.解:(1) AO 的长为 5 ,△BOD 的面积为 1; (2) ∵ A,B 两点在函数 C1 : y ?
k1 x ( x ? 0) 的图象上,

………………………… 2 分

∴ A,B 的坐标分别为 (1, k1 ) , (k1 ,1) . 点 ∵ AO=AB, 由勾股定理得 AO2 ? 1? k12 , AB2 ? (1 ? k1 )2 ? (k1 ? 1)2 , ∴ ? k12 ? (1 ? k1 )2 ? (k1 ? 1)2 . w 1 解得 k1 ? 2 ? 3 或 k1 ? 2 ? 3 . ∵1 ? 1, k ∴1 ? 2 ? 3 . k ………………… 5 分
W w . x K b 1 .c o M

………………… 3 分

…………………………………………… 4 分
k2 x y=

y
C

y=

k1 x

A

(3) ∵ OC=4, ∴ A 的坐标为 (1, 4) . 点
E

M

B N

O

D

x

∴1 ? 4 . k 设点 B 的坐标为 ( m, ) ,
m 4

∵ y 轴于点 E,BD⊥ 轴于点 D, BE⊥ x ∴ 四边形 ODBE 为矩形,且 S四边形ODBE =4 , 点 M 的纵坐标为
4 m

,点 N 的横坐标为 m .
k2 x ( x ? 0) 的图象上,

∵ M,N 在函数 C2 : y ? 点 ∴ M 的坐标为 ( 点
S ∴ ?OME =S ?OND =

k mk 2 4 , ) ,点 N 的坐标为 ( m, 2 ) . m 4 m

k2 2

.
1 2 mk 2 4 4 m k2 m

S ∴ 2=

1 2

BM ? BN ?

(m ?

)(

?

)?

(4 ? k 2 ) 8

2

.X

kB1. c om

∴ =S1 ? S2 =(4 ? k2 ? S2 ) ? S2 =4 ? k2 ? 2S2 . S
S ∴ ? 4 ? k2 ? 2 ? (4 ? k2 ) 8
2

1 2 ? ? k2 ? k2 , 4

………………………… 6 分

其中 0 ? k2 ? 4 .
1 2 1 1 2 S ∵ ? ? k 2 ? k 2 ? ? ( k 2 ? 2) ? 1 ,而 ? ? 0 , 4 4 4

∴ k2 ? 2 时, S 的最大值为 1. 当 24.解:(1)补全图形见图 1, EF 与 HM 的数量关系是 EF=HM ; (2)连接 MF(如图 2). ∵ AD,CE 分别平分∠ 和∠ BAC ACB, 且∠ BAC=120°, ∴1=∠ ∠ 2=60°,∠ 4. 3=∠ ∵ AB=AC, ∴ BC. AD⊥ ∵ EC, NG⊥ ∴MDC =∠ ∠ NGM =90°. ∴4+∠ ∠ 6=90°,∠ 6=90°. 5+∠ ∴4=∠ ∠ 5. ∴3=∠ ∠ 5. ∵ NA=NC,∠ 2=60°, ∴ △ANC 是等边三角形.

…………………………………… 7 分 ………1 分 ………2 分
E M B D C

A H F

图1

H E B

A
1 2 7 6

F G
3 4

M D

C

5

N
图2

∴ AN=AC. 在△AFN 和△AMC 中,
??5 ? ?3, ? ? AN ? AC , ??2 ? ?2, ?

∴ △AFN≌ △AMC. ∴ AF=AM. ∴ △AMF 是等边三角形. ∴ AF=FM,∠ 7=60°. ∴7=∠ ∠ 1. ∴ AE. FM∥ ∵ CE, FH∥ ∴ 四边形 FHEM 是平行四边形. ∴ EH=FM. ∴ AF=EH. (3) GM 的长为 5 ? 1 .

…………………………………………… 3 分

……………………………………… 4 分 …………………………………………… 5 分 …………………………………………… 7 分

25.解:(1) ∵ A 在直线 l1 : y ? x ? 2 上,且点 A 的横坐标为 0, 点 ∴ A 的坐标为 (0, ?2) . 点 ∴ 抛物线 C1 的解析式为 y ? ? x ? 2 .
2

…………………………… 1 分

∵ B 在直线 l1 : y ? x ? 2 上, 点 ∴ 设点 B 的坐标为 ( x, x ? 2) . ∵ B 在抛物线 C1 : y ? ? x ? 2 上, 点
2
2 x ∴ ? 2 ? ?x ? 2 .

解得 x ? 0 或 x ? ?1 . w W w . x K b 1 .c o M ∵ A 与点 B 不重合, 点 ∴ B 的坐标为 ( ?1, ?3) . 点
2 2 ∴ 由勾股定理得 AB= (0 ? 1) ? ( ?2 ? 3) ?

…………………………… 2 分

2.

…………………… 3 分 …………………………… 4 分

(2) 点 A 的坐标为 (1, ?1) .

(3) ① 方法一:设 AC,BD 交于点 E,直线 l1 : y ? x ? 2 分别与 x 轴、 y 轴交于点 P 和 Q(如图 1).则点 P 和点 Q 的坐标分别为 (2, 0) , (0, ?2) . ∴OP=OQ=2. ∴∠ OPQ =45°. ∵ AC⊥ y 轴, ∴AC∥ 轴. x ∴∠ =∠ EAB OPQ =45°. ∵DEA =∠ ∠ AEB=90°,AB = 2 ,
Q
y=x2+mx+n

y
l2

C

D E

l1

A P

O

B

x

y= x2+bx+c

图1

∴EA=EB =1. ∵ A 在直线 l1 : y ? x ? 2 上,且 点 A 的横坐标为 t , 点 ∴点 A 的坐标为 (t , t ? 2) . ∴ B 的坐标为 (t ? 1, t ? 3) . 点 ∵ x 轴, AC∥ ∴ C 的纵坐标为 t ? 2 . 点 1 ∵ C 在直线 l2 : y ? x 上, 点 2 ∴ C 的坐标为 (2t ? 4, t ? 2) . 点 ∴ 抛物线 C2 的解析式为 y ? [ x ? (2t ? 4)]2 ? (t ? 2) . ∵ BD⊥AC, ∴ D 的横坐标为 t ? 1 . 点 1 ∵ D 在直线 l2 : y ? x 上, 点 2 t ?1 ). ∴ D 的坐标为 (t ? 1, 点 2

…………………………………………… 5 分

∵ D 在抛物线 C2 : y ? [ x ? (2t ? 4)]2 ? (t ? 2) 上, 点 t ?1 2 ? [(t ? 1) ? (2t ? 4)] ? (t ? 2) . ∴ 2 5 解得 t ? 或 t ? 3 . 2 ∵ t ? 3 时,点 C 与点 D 重合, 当 5 t ∴? . …………………………………………… 6 分 2 方法二:设直线 l1 : y ? x ? 2 与 x 轴交于点 P,过点 A 作 y 轴的平行线,过点 B 作 x 轴的平行线,交于点 N.(如图 2) 则∠ ANB=90°,∠ ABN=∠ OPB.
l
1

y

在△ABN 中,BN=ABcos∠ ABN,AN=ABsin∠ ABN. ∵ 在抛物线 C1 随顶点 A 平移的过程中, AB 的长度不变,∠ ABN 的大小不变, ∴ 和 AN 的长度也不变,即点 A 与点 B 的横坐标 BN 的差以及纵坐标的差都保持不变. 同理,点 C 与点 D 的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变. 由(1)知当点 A 的坐标为 (0, ?2) 时,点 B 的坐标为 ( ?1, ?3) , ∴ 当点 A 的坐标为 (t , t ? 2) 时,点 B 的坐标为 (t ? 1, t ? 3) . ∵ x 轴, AC∥ ∴ C 的纵坐标为 t ? 2 . 点 1 ∵ C 在直线 l2 : y ? x 上, 点 2 ∴ C 的坐标为 (2t ? 4, t ? 2) . 点
图2
O
B P

A

N

x

y= x2+bx+c

令 t ? 2 ,则点 C 的坐标为 (0, 0) . ∴ 抛物线 C2 的解析式为 y ? x2 . 1 ∵ D 在直线 l2 : y ? x 上, 点 2 x ∴ 设点 D 的坐标为 ( x , ) . 2 ∵ D 在抛物线 C2 : y ? x2 上, 点
x 2 ∴ ?x . 2

解得 x ?

或x ?0. 2 ∵ C 与点 D 不重合, 点 1 1 ∴ D 的坐标为 ( , ) . 点 2 4
1 1 ∴ 当点 C 的坐标为 (0, 0) 时,点 D 的坐标为 ( , ) . 2 4

1

∴ 当点 C 的坐标为 (2t ? 4, t ? 2) 时,点 D 的坐标为 (2t ? ∵ BD⊥AC,
t ∴ ? 1 ? 2t ?
t ∴? 5 2

7

7 ,t ? ) . 2 4

…… 5 分

7 2

. …………………………………………… 6 分
15 4

. 或t ? 5 .

② 的取值范围是 t ? t

………………………………… 8 分

说明:设直线 l1 与 l2 交于点 M.随着点 A 从左向右运动,从点 D 与点 M 重合, 到点 B 与点 M 重合的过程中,以 A,B,C,D 为顶点构成的图形不是凸 y 四边形.
l1 l2
l1

y

D C M A B

A C B M

D

l2

O

x

O

x

北京市东城区 2012--2013 学年第二学期初三综合练习(二) 数
学校 考 2.在试卷和答题卡上认真填写学校、班级、姓名和考号. 生 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在 试卷上作答无效. 须 4.在答题卡上,选择题、作图题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答. 知 5.考试结束,请将本试卷、答题卡一并交回. 一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.
1. 3 的相反数是 A. ?3 B.3 C.



试 卷
姓名 考号

2013.6

班级

1.本试卷共 6 页,共五道大题,25 道小题,满分 120 分.考试时间 120 分钟.

1 3
6

D.

?

1 3
6

2. 太阳的半径大约是 696 000 千米,用科学记数法可表示为 A.696×10 千米
3

B.6.96×10 千米

5

C.6.96×10 千米

D.0.696×10 千米

3.下列四个立体图形中,主视图为圆的是

A

B

C

D

4.已知在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,∠A= ? ,AC=3,那么 AB 的长为 A. 3sin ? B. 3cos ? C.

3 sin ?

D.

3 cos ?

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

5. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子 的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数,掷得朝上一

面的点数为 3 的倍数的概率为 A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

6. 若一个多边形的内角和等于 720? ,则这个多边形的边数是 A.5 B.6 C.7 D.8

7. 在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的 15 名运动员的成绩如下表所示: 成绩(m) 人数 1.50 1 1.60 2 1.65 4 1.70 3 1.75 3 1.80 2

这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是 A.1.65,1.70 B.1.70,1.70 C.1.70,1.65 D.3,4

8. 如图,在平面直角坐标系中,已知⊙ O 的半径为 1,动直 线 AB 与 x 轴交于点 P ( x, 0) , 直线 AB 与 x 轴正方向夹角 为 45? ,若直线 AB 与⊙ O 有公共点,则 x 的取值范围是 A. ?1 ? x ? 1 C. 0 ? x ? B. ? 2 ? x ? D. ? 2 ? x ?

2 2

2

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9. 在函数 y ?

3 中,自变量 x 的取值范围是 x?2




10. 分解因式: mn2 ? 4mn ? 4m ?

11. 如图,已知正方形 ABCD 的对角线长为 2 2 ,将正方 形 ABCD 沿直线 EF 折叠,则图中折成的 4 个阴影三 角形的周长之和为 .

12. 如图,∠ACD 是△ ABC 的外角, ?ABC 的平分线 与 ?ACD 的平分线交于点 A1 , ?A1 BC 的平分线与

?ACD 的平分线交于点 A2 ,?, ?An?1BC 的平分 1
线与 ?An?1CD 的平分线交于点 An . 设 ?A ? ? , 则 ?A = 1 ; ?An = .

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分)

?1 0 13. 计算: 2 cos 45? ? (? ) ? 8 ? (? ? 3) .

1 4

14. 解分式方程:

2x ?1 1 ? ?3. x?2 2? x

15. 已知:如图,点 E,F 分别为□ABCD 的边 BC,AD 上的点,且 ?1 ? ? 2 . 求证:AE=CF. 16. 已知 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ,求

2( x ? 1) x ? 6 ? 的值. x?4 x

17. 列方程或方程组解应用题: 我国是一个淡水资源严重缺乏的国家, 有关数据显示, 中国人均淡水资源占有量仅 为美国人均淡水资源占有量的

1 ,中、美两国人均淡水资源占有量之和为 5

13 800m3,问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少(单位:m3)?
18. 如图,一次函数 y ? ? x ? 1 的图象与 x 轴交于点 A, 与

y 轴交于点 B,与反比例函数 y ?

k 图象的一个 x

交点为 M(﹣2,m). (1)求反比例函数的解析式; (2)若点 P 是反比例函数 y ? 且 S△BOP

k 图象上一点, x

? 2S△AOB , 求点 P 的坐标.

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.某中学九(1)班同学为了解 2013 年某小区家庭月均用水情况,随机调查了该小区部分 家庭,并将调查数据进行如下整理. 月均用水量 x (吨)
0? x ?5 5 ? x ? 10 10 ? x ? 15 15 ? x ? 20 20 ? x ? 25 25 ? x ? 30

频数(户) 6

频率 0.12 0.24

16 10 4 2

0.32 0.20

0.04

请解答以下问题: (1)把上面的频数分布表和频数分布直方图补充完整; (2)求该小区用水量不超过 15 吨的家庭占被调查家庭总数的百分比; (3)若该小区有 1000 户家庭,根据调查数据估计,该小区月均用水量超过 20 吨的家庭 大约有多少户?

20. 已知:如图 ,在菱形 ABCD 中,F 为边 BC 的 中点,DF 与对角线 AC 交于点 M,过 M 作 ME ⊥CD 于点 E.
(1)求证:AM=2CM; (2)若 ?1 ? ? 2 , CD ? 2

3 ,求 ME 的值.

21.如图,点 A,B,C 分别是⊙O 上的点,∠B=60°,AC=3,CD 是⊙ O 的直径,P 是 CD 延长线上的一点,且 AP=AC. (1)求证:AP 是⊙O 的切线; (2)求 PD 的长.

22. 阅读并回答问题: 数学课上,探讨角平分线的作法时,李老师用直尺和圆规作角平分线,方法如下: 作法:①在 OA,OB 上分别截取 OD,OE,使 OD=OE. 错误!未找到引用源。分别以 D,E 为圆心,以大 于

1 DE 为半径作弧, 2
两弧在 ?AOB 内交于点 C. ③作射线 OC,则 OC 就是 ?AOB 的平分线

小聪只带了直角三角板,他发现利用三角板也可以作角平分线,方法如下:

作法: ①利用三角板上的刻度,在 OA,OB 上分 别截取 OM,ON,使 OM=ON. 错误!未找到引用源。分别过以 M,N 为 OM,ON 的垂线,交于点 P. ③作射线 OP,则 OP 就是 ?AOB 的平分 线. 小颖的身边只有刻度尺,经过尝试,她发现利用刻度尺也可以作角平分线.根据以上情 境,解决下列问题: (1) 小聪的作法正确吗?请说明理由; (2) 请你帮小颖设计用刻度尺作 ?AOB 平分线的方法.(要求:不与小聪方法相同, 请画出图形,并写出画图的方法,不必证明). 五.解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23. 已知:关于 x 的一元二次方程 (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? 1 ? 0 (m 为实数). (1)若方程有两个不相 等的实数根,求 m 的取值范围; (2)求证:抛物线 y ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? 1 总过 x 轴上的一个定点; (3)若 m 是整数,且关于 x 的一元二次方程 (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? 1 ? 0 有两个不相等的
2

整数根时,把抛物线 y ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? 1 向右平移 3 个单位长度,求平移后的 解析式. 24. 在矩形 ABCD 中, AB ? 4 , BC ? 3 , E 是 AB 边上一点, EF ? CE 交 AD 于点 F ,过 点 E 作 ?AEH ? ?BEC ,交射线 FD 于点 H ,交射线 CD 于点 N . (1)如图 1,当点 H 与点 F 重合时,求 BE 的长; (2)如图 2,当点 H 在线段 FD 上时,设 BE ? x , DN ? y ,求 y 与 x 之间的函数关系 式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)连结 AC ,当以点 E,F,H 为顶点的三角形与△AEC 相似时,求线段 DN 的长.

25.定义:P,Q 分别是两条线段 a 和 b 上任意一点,线段 PQ 长度的最小值 叫做线段 a 与线段

b 的距离. 已知 O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角坐标系中的四点.
(1)根据上述定义,当 m=2,n=2 时,如图 1,线段 BC 与线段 OA 的距离是_____; 当 m=5,n=2 时,如图 2,线段 BC 与线段 OA 的距离是______ .

(2)如图 3,若点 B 落在圆心为 A,半径为 2 的圆上,求线段 BC 与线段 OA 的距离 d.

(3) m 的值变化时, 当 动线段 BC 与线段 OA 的距离始终为 2, 若线段 BC 的中点为 M,直接写出点 M 随线段 BC 运动所 形成的图形的周长 .

北京市东城区 2012--2013 学年第二学期初三综合练习(二) 数学试卷参考答案
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 题 号 答 案 1 A 2 B 3 B 4 D 5 C 6 B 7 C 8 D

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 题号 答案 9 10 11 12 (1)

x?2

m(n ? 2)2

8

? ? ; (2) n 2 2

三、解答题: (本题共 30 分,每小题 5 分)
?1 0 13. 解: 2 cos 45? ? ( ? ) ? 8 ? (? ? 3)

1 4

= 2?

2 ? (? 4 )? 2 2 ?? 分 4 ? 1 2
………5 分 ??????1 分

? ? 2 ? 3.
14. 解:

2x ?1 1 ? ?3 x?2 x?2

去分母得 2 x ? 1 ? 1 ? 3( x ? 2) 解得 x ? 6 . 经检验: x ? 6 是原方程的根. 所以原方程的根为 x ? 6 . 15. 证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB=CD,∠B=∠D.??????????2 分 在△ABE 与△CDF 中, ??????5 分 ??????4 分

? ?1 ? ?2, ? ? AB ? CD, ??B ? ?D. ?

∴△ABE≌△CDF.??????????4 分 ∴AE=CF .????????????5 分

16. 解:

2( x ? 1) x ? 6 ? x?4 x 2 x( x ? 1) ? ( x ? 4)( x ? 6) = x( x ? 4)

=

x 2 ? 4 x ? 24 x2 ? 4 x

? x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ,? x 2 ? 4 x= ? 1 .

原式=

x 2 ? 4 x ? 24 ?1 ? 24 = ? ?23. x2 ? 4 x ?1

???????????????5 分

17. 解:设中国人均淡水资源占有量为 xm3,美国人均淡水资源占有量为 ym3. 根据题意得: ?

? y ? 5 x, ?? ???????????????2 分 ? x ? y ? 13800.

解得: ?

? x ? 2 300, ?????????????????4 分 ? y ? 11500.

答:中、美两国人均淡水资源占有量各为 2 300m3,11 500m3.?????????5 分 18.解: (1) ∵M(﹣2,m)在一次函数 y ? ? x ? 1 的图象上, ∴ m ? 2 ?1 ? 1 . ∴ M(﹣2,1). 又 M(﹣2,1)在反比例函数 y ? ∴ k ? ?2 . ∴y?

k 图象上, x

?2 . x

……........................3 分

(2) 由 一 次 函 数 y ? ? x ? 1 可 求 A(? 1 0 , , )

B(0, ?1) .

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

∴ S ?AOB ?

1 2

? OB ? OA ?

1 2

? 1? 1 ?

1 . 2

∴ S?BOP ? 2?AOB =1. 设 ?BOP 边 OB 上的高位 h ,则 h =2 . 把 P 点的横坐标为 ?2 代入 y ? 则 P 点的横坐标为 ?2 .
[来源:学科网]

?2 可得 P 点的纵坐标为 ?1 . x

? P(2, ?1) 或 P(?2,1) .

……5 分

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.解:(1) 表格:从上往下依次是:12,0.08;图略; ……3 分 (2)68%;……4 分 (3)120 户. ……5 分

20.解: (1)∵四边形 ABCD 是菱形. ∴BC//AD. ∴ △CFM ∽△ADM . ∴

CF CM ? . AD AM

∵F 为边 BC 的中点,

1 1 BC ? AD . 2 2 CF CM 1 ? ? . ∴ AD AM 2
∴ CF ? ∴ AM ? 2 MC . ????????2 分 (2)∵AB//DC, ∴ ?1=?4 . ∵ ?1=?2 , ∴ ?2=?4 . ∵ME⊥CD, ∴ CE ?

1 CD . 2

∵四边形 ABCD 是菱形, ∴ ?3=?4 . ∵F 为边 BC 的中点, ∴ CF ?

1 BC . 2

? CF ? CE .
在△CMF 和△CME 中,

?3=?4 ,CF=CE,CM 为公共边,
∴△CMF≌△CME. ∴ ?CFM =?CEM ? 90? . ∵ ?2=?3 ? ?4 ,

∴ ?2=?3 ? ?4 ? 30? . ∴

ME 3 . ? CE 3

∵ CD ? 2CE ? 2 3 ,∴ CE ? 3 . ∴ ME ? 1 . ???????????5 分

21.解:(1)证明:连接 OA. ∵∠B=60°,∴∠AOC=2∠B=120°. 又∵OA=OC,∴∠ACP=∠CAO=30°.∴∠AOP=60°. ∵AP=AC,∴∠P=∠ACP=30°. ∴∠OAP=90°,∴OA⊥AP. ∴ AP 是⊙O 的切线. ???????2 分 (2)解:连接 AD. ∵CD 是⊙O 的直径,∴∠CAD=90°. ∴AD=AC?tan30°= 3 ?

3 = 3. 3

∵∠ADC=∠B=60°,∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°.∴∠P=∠PAD. ∴PD=AD=

3 . ???????5 分

22.解:?(1)小聪的作法正确. ???????1 分 ?理由:∵PM⊥OM , PN⊥ON, ?∴∠OMP=∠ONP=90°. ?在 Rt△OMP 和 Rt△ONP 中,? ∵OP=OP ,? OM=ON,

?∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL). ?∴ ?MOP ? ?NOP .
?∴OP 平分∠AOB. ???????2 分 ?(2)解:如图所示. ???????3 分
[来源:学科网 ZXXK]

作法: ①利用刻度尺在 OA, 上分别截取 OG=OH. OB ? ②连结 GH,利用刻度尺作出 GH 的中点 Q.

?

③作射线 OQ,则 OQ 为∠AOB 的平分线. ?5 分

五.解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.解: (1) ? ? (m ? 2)2 ? 4(m ?1) ? m 2 . ∵方程有两个不相等的实数根, ∴ m ? 0 .?????????????????????????????1 分 ∵ m ?1 ? 0, ∴m 的取值范围是 m ? 0且m ? 1 .?????????????????????2 分 (2)证明:令 y ? 0 得, (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? 1 ? 0 . ∴x ? ∴ x1 ?

? ( m ? 2) ? m 2 ? ( m ? 2) ? m . ? 2(m ? 1) 2(m ? 1)
?m?2?m ?m?2?m 1 . ?????????????4 分 ? ?1 , x2 ? ? 2(m ? 1) 2(m ? 1) m ?1
m ?1

∴抛物线与 x 轴的交点坐标为( ? 1,0 )( 1 ,0 ). , ∴无论 m 取何值,抛物线 y ? (m ? 1) x 2 ? (m ? 2) x ? 1 总过定点( ?1, 0 ).??5 分 (3)∵ x ? ?1 是整数 ∴只需

1 是整数. m ?1

∵ m 是整数,且 m ? 0且m ? 1 , ∴ m ? 2 .????????????????????????????6 分 当 m ? 2 时,抛物线为 y ? x ? 1 .
2

把它的图象向右平移 3 个单位长度,得到的抛物线解析式为

y ? ( x ? 3) 2 ? 1 ? x 2 ? 6x ? 8 .???????????????????7 分
24.解: (1)∵ EF ? EC , ∴ ?AEF ? ?BEC ? 90? . ∵ ?AEF ? ?BEC , ∴ ?BEC ? 45? . ∵ ?B ? 90? ,∴ BE ? BC . ∵ BC ? 3 ,∴ BE ? 3 .???????2 分 (2)过点 E 作 EG ? CN ,垂足为点 G . ∴ BE ? CG .∵ AB ∥ CN ,∴ ?AEH ? ?N , ?BEC ? ?ECN .
[来源:学*科*网]

∵ ?AEH ? ?BEC ,∴ ?N ? ?ECN .∴ EN ? EC . ∴ CN ? 2CG ? 2 BE . ∵ BE ? x , DN ? y , CD ? AB ? 4 , ∴ y ? 2 x ? 4 ? 2 ? x ? 3? .???????4 分 (3)∵矩形 ABCD, ∴ ?BAD ? 90? .∴ ?AFE ? ?AEF ? 90? . ∵ EF ? EC ,∴ ?AEF ? ?CEB ? 90? . ∴ ?AFE ? ?CEB .∴ ?HFE ? ?AEC . 当以点 E,F,H 为顶点的三角形与 ?AEC 相似时, ⅰ)若 ?FHE ? ?EAC , ∵ ?BAD ? ?B , ?AEH ? ?BEC ,∴ ?FHE ? ?ECB .∴ ?EAC ? ?ECB . ∴ tan ?EAC ? tan ?ECB ,∴

9 BC BE 1 .∴ BE ? .∴ DN ? . ? 4 AB BC 2

ⅱ)若 ?FHE ? ?ECA ,如图所示,记 EG 与 AC 交于点 O . ∵ ?AEH ? ?BEC ,∴ ?AHE ? ?BCE . ∴ ?ENC ? ?ECN . ∵ EN ? EC , EG ? CN , ∴ ? ? ?2 . 1 ∵ AH ∥ EG ,∴ ?FHE ? ? .∴ ?FHE ? ?2 . 1 ∴ ?2 ? ?ECA . ∴ EO ? CO . 设 EO ? CO ? 3k ,则 AE ? 4k , AO ? 5k , ∴ AO ? CO ? 8k ? 5 . ∴ k ? ∴ AE ?

5 . 8

5 3 , BE ? . ∴ DN ? 1 . 2 2 1 综上所述,线段 DN 的长为 或 1. 2

??????7 分

25.解: (1)2, 5 ; ??????4 分 (2)当 2 ? m ? 4 时, d ? n (?2 ? n ? 2) ; 当 4 ? m ? 6 时, d ? 2 . ??????6 分 (3) 16+4? . ??????8 分

海淀区九年级第二学期期末练习
数学试卷答案及评分参考
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 1 2 3 4 题 号 答 案 题 号 答 案 D
[来源:学科网]

5 B 11

6 C

7 A 12

8 C

B 9

B 10

C

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分)

2

2 3

4?

2 ; 8048

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分)

?1? 13.计算: ? ? ? 27 ? 2 tan 60? ? (3 ? ? )0 . ? 3?
解:原式 ? 9 ? 3 3 ? 2 ? 3 ? 1 ------------------------- 4 分

?2

? 10 ? 3 . --------------- ---------- 5 分
14.解方程: x 2 - 2 x - 5 = 0 . 解: x 2 - 2 x = 5 .
2
[来源:Zxxk.Com]

x - 2x + 1 = 5 + 1 .

( x- 1)2 = 6 .

------------------------- 2 分

x ?1 ? ? 6 .------------------------- 3 分 x ? 1? 6 .
∴ x1 ? 1 ? 6, x2 ? 1 ? 6 .------------------------- 5 分 15. 证明:∵ DC ⊥ AC 于点 C , ∴ ?ACB ? ?DCE ? 90?. ∵ ?ABC ? 90? , ∴ ?ACB ? ?A ? 90?. ∴ ?A ? ?DCE. ∴ ?E ? 90?. ∴ ?B ? ? E . 在△ ABC 和△ CED 中, -------------------------1 分

∵ DE ⊥ BC 于点 E ,

? ?B ? ? E , ? ??A ? ?DCE , ? AC ? CD, ?
∴△ ABC ≌△ CED .------------ -------------4 分

∴ AB ? CE . ----------------- --------5 分 2 2 16.解:原式= 4 x ? 1 ? x ? 3x ? 7 --- ---------------------2 分 2 = 3x ? 3x ? 8 . ------------------------3 分 ∵ x2 ? x ? 6 , ∴原式= 3( x2 ? x) ? 8 = 3 ? 6 ? 8 -------------------------4 分 = 10 .------------------------- 5 分 17.解: (1)∵ 点 A(m, 1) 在一次函数 y ? x ? 2 的图象上, ? ∴ m ? ?3 . -------------------------1 分

∴ A 点的坐标为 (?3, ?1) . ∵ 点 A (?3, ?1) 在反比例函数 y ? ∴ k ? 3 . -------------------------2 分 ∴ 反比例函数的解析式为 y ?

k 的图象上, x

3 .-------------------------3 分 x

(2)点 P 的坐标为 (0, 0) 或 (0, 4) .-------------------------5 分 (写对一个给 1 分) 18. 解:设截至 3 月 10 日志愿者报名总人数为 x 万人. -------------------------1 分

3.6 2.6 = . -------------------------3 分 x x ? 1.5 解得 x ? 5.4 . -------------------------4 分 经检验, x ? 5.4 是原方程的解,且符合题意. 答:截至 3 月 10 日志愿者报名总人数为 5.4 万人. -------------------------5 分
依题意,得 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, CD ∴ AB ? CD , AB ∥ , AD ? BC . ∵HG ⊥ AB 于点 G , ∴ ?BGH ? ?H ? 90? . 在△ DHG 中, ?H ? 90? , ?GDH ? 45? , DG ? 8 2 , ∴ DH ? GH ? 8 .-------------------------1 分 ∵ E 为 BC 中点, BC ? 10 , ∴ BE ? EC ? 5 . ∵ ?BEG ? ?CEH , ∴△ BEG ≌△ CEH .

1 GH ? 4 .-------------------------3 分 2 在△ EHC 中, ?H ? 90? , CE ? 5 , EH ? 4 , ∴ CH ? 3 .-------------------------4 分
∴ GE ? HE ?

∴ AB ? CD ? 5 . ∴ AB ? BC ? CD ? AD ? 30 . ABCD 的周长为 30.-------------------------5 分 ∴ 20. (1)证明:连接 AF . ∵ 为直径, AB ∴ AFB ? 90? . ∠ AE ∵ ? AB , ∴ ABE 为等腰三角形. △

DE C F A O B

1 BAC . ∠ 2 1 ? ∵ EBC ? ?BAC , 2 ∴ BAF ? ∠ EBC . -------------------------1 分 ∠ EBC ? ∠ FBA ? 90? . ∴ FAB ? ∠ FBA ? ∠ ∠ ∴ ABC ? 90? . ∠ BC ∴ 与⊙ O 相切. -------------------------2 分 (2) 解:过 E 作 EG ? BC 于点 G. BAF ? ∠ EBC , ?∠ 1 sin ∴ ?BAF ? sin ?EBC ? . 4 在△ AFB 中,∠ AFB ? 90? , ∵ AB ? 8 , 1 ∴ BF ? AB ? sin ∠ BAF ? 8 ? ? 2. --------------3 分 4 ∴ BE ? 2 BF ? 4 . 在△ EGB 中,∠ EGB ? 90? , 1 ∴ EG ? BE ? sin ?EBC ? 4 ? ? 1. ------------------4 分 4 ∵ EG ? BC , AB ⊥ BC , ∴ EG ∥ AB. ∴△ CEG ∽ CAB. △ CE EG ? ∴ . CA AB CE 1 ? . ∴ CE ? 8 8 8 ∴ CE ? . 7 8 64 . -------------------------5 分 ∴ AC ? AE ? CE ? 8 ? ? 7 7
∴ BAF ? ∠
[来源:学科网 ZXXK]

21. 解: (1)如下图:

-------------------2 分 (2) 2055 ? 75%=2740 (万人).

答:预计 2020 年北京市常住人口将达到 2740 万人.---------------------3 分 (3) 2740 ?18 ? 1540 ?11=32380 (万平方米). 答:从 2005 年到 2020 年,北京市的公共绿地总面积需增加 32380 万平方米. ------5 分 22.解: “ ? 值”为 10.-- -------------------2 分 (1)是;--------------------3 分 (2)最多有 5 个.--------------------5 分 五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23 解: (1)∵抛物线 y ? ax2 ? (a ? 2) x ? 2 过点 A(3, 4) , ∴ 9a ? 3(a ? 2) ? 2 ? 4 . 解得 a ? 1 . ∴抛物线的解析式为 y ? x2 ? x ? 2 . --------------2 分 (2)①当 y ? 0 时, x ? x ? 2 ? 0 .
2

∴ x ? ?1 或 2 . ∴抛物线与 x 轴交于点 A( ?1,0) , B(2,0) .-----3 分 当 y ? ?2 时, x ? x ? 2 ? ?2 .
2

∴ x ? 0 或1 . ∴抛物线与直线 y ? ?2 交于点 C (0, ?2) , D(1, ?2) . ∴ C , D 关于直线 y ? ?1 的对称点 C '(0,0) , D '(1,0) .----4 分 ∴根据图象可得 ?1 ≤ m ≤0 或 1 ≤ m ≤ 2 .----------------5 分 ② k 的取值范围为 k ≥4 或 k ≤ ?4 .----------------7 分 24.解:(1) ∵ BD 平分 ?ABC , ∴ ?1 ? ? 2 . ∵ AD ∥ BC , ∴ ? 2 ? ?3 . ∴ ?1 ? ?3 .---------------1 分 ∴ AB ? AD . ∵ AB ? AC , ∴ AC ? AD .---------------2 分 (2)①证明:过 A 作 AH ? BC 于点 H . ∴ ?AHB ? 90 .
?

∵ AB ? AC , ?ABC ? ? , ∴ ?ACB ? ?ABC ? ? . ∴ ?BAC ? 180? ? 2? . 由(1) 得 AB ? AC =AD . ∴点 B 、 C 、 D 在以 A 为圆心, AB 为半径的圆上.

1 ?BAC . 2 ∴ ?GDE ? ?BDC ? 90? ? ? .----------3 分
∴ ?BDC ? ∵ ?G = ? = ? ? ?ABC , ∴ ?G ? ?GDE ? 90? . ∴ ?DEG ? ?AHB ? 90? . ∴△ DEG ∽△ AHB .------------------4 分 ∵ GD ? 2 AD , AB ? AD ,

S ?DEG GD 2 ? ∴ =4. S ?AHB BA2
∵ AD ∥ BC , ∴ S?BCD ? S?ABC ? 2S?AHB . ∴ S?DEG ? 2S?BCD .- ---------------------5 分 ②

S?DEG 2 =k . -------------------------7 分 S?BCD
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

25.解: (1)△ OBC 为等腰三角形.---------1 分 证明:如图 1,∵ AB ? BC , ∴ ?ABC ? 90? . ∵ ?OBA ? ? , ∴ ?CBO ? 90? ? ? . ∵ ?BCO ? 2? , ∴ ?BOC ? 90? ? ? ? ?CBO . ∴ BC ? OC . ∴ △ OBC 为等腰三角形.---------------2 分 (2) y 与 x 的函数关系式为 y = -

图1

1 2 x +1.----4 分 4 (3) D 作 DF ^ l 于 F ,DG ? BC 于 G 交直线 OA 过 于H.
∵ C 为抛物 线上异于顶点的任意一点, BC ? OC , 且 ∴ DO = DF .-------------------------5 分 设 DO = DF = a , BC = OC = b , 则 DF ? AH ? BG ? a , DC ? a ? b . ①当点 C 在 x 轴下方时,如图 2, ∵ OA ? 2 , ∴ OH ? 2 ? a, CG ? b ? a . ∵ OH ∥ CG , ∴△ DOH ∽△ DCG . 图2

图3



OH DO ? . CG DC

2?a a ? ∴ b?a a?b .
∴ ab ? a ? b . ∴ CD = CO× DO .------------------------7 分

② 当 点 C 在 x 轴 上 方 时 , 如 图 3, OH ? a ? 2 , CG ? a ? b .同理可证 CD = CO× DO . ③当点 C 在 x 轴上时,如图 4, CO ? DO ? 2 . ∴ CD ? CO ? DO . 综上所述, CD ? CO ? DO .------------------8 分 (注:本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)

图 4

北京市朝阳区九年级综合练习(二)

数学试卷
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 1.??的绝对值是 A.?2 B. ?

2013.6

1 2

C.

1 2

D.2

2.我国质检总局规定,针织内衣等直接接触皮肤的制品,每千克的衣物上甲醛含量应在 0.000075 千克以下.将 0.000075 用科学记数法表示为 A. 7.5? 105
- 4 C. 0.75? 10

B. 7.5? 10- 5
- 6 D. 75? 10

3.如图,在△ABC 中,DE∥BC,如果 AD=3,BD=5,那么

DE 的值是 BC

A D E

3 5 3 C. 8
A. A.

9 25 5 D. 8
B.

B

C

4.从分别标有 1 到 9 数字的 9 张卡片中任意抽取一张,抽到所标数字是 3 的倍数的概率为

1 9

B.

1 8

C.

2 9

D.

1 3

5.如图,圆锥的底面半径 OA 为 2,母线 AB 为 3,则这个圆锥的侧面积为 A.3π C. 12π B. 6π D. 18π

B

O
6.如图,下列水平放置的几何体中,主视图不是长方形的是 ..

A

7. 某校篮球课外活动小组 21 名同学的身高如下表 身高(cm) 人数 170 4 176 6 178 5 182 4 184 2

则该篮球课外活动小组 21 名同学身高的众数和中位数分别是 A.176,176 B.176,177 C.176,178 D.184,178

8.图 1 是一个正方体的展开图,该正方体从图 2 所示的位置依次翻到第 1 格、第 2 格、第 3 格、第 4 格、第 5 格,此时这个正方体朝上一面的字是 .. A.我 B.的 C.梦 D.中

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9.在函数 y =
2 x - 3 中,自变量 x 的取值范围是



3 2 10.分解因式: 2 x - 4 x + 2 x =



11.如图,在⊙O 中,直径 CD⊥弦 AB 于点 E,点 F 在弧 AC 上, 若∠BCD=32°,则∠AFD 的度数为 .

12.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 AB 与 x、y 轴分别交于点 A、B,且 A(-2,0), B(0,1),在直线 AB 上截取 BB1=AB,过点 B1 分别作 x、y 轴的垂线, y 垂足分别为点 A1 、C1,得到矩形 OA1B1C1;在直线 AB 上截取 B1B2= B3 BB1,过点 B2 分别作 x、y 轴的垂线,垂足分别为点 A2 、C2,得到矩 C3 C2 B2 形 OA2B2C2;在直线 AB 上截取 B2B3= B1B2,过点 B3 分别作 x、y 轴 C1 B1 的垂线,垂足分别为点 A3 、C3,得到矩形 OA3B3C3;??则第 3 个 B 矩形 OA3B3C3 的面积是 ;第 n 个矩形 OAnBnCn 的面 A O A1 A2 A3 积是 (用含 n 的式子表示,n 是正整数) .

x

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.计算: ? ? ? 9 ? 2
?1? ? ?
?2

?

3 ? 4 ? 2 cos 45? .

?

0

14.计算: (

3 1 2 ? )? 2   . x ?1 x ?1 x ?1

15.如图,为了测量楼 AB 的高度,小明在点 C 处测得楼 AB 的顶端 A 的仰角为 30?,又向前 走了 20 米后到达点 D,点 B、D、C 在同一条直线上,并在点 D 测得楼 AB 的顶端 A 的仰角 为 60?,求楼 AB 的高.

16.已知:如图,E、F 为 BC 上的点,BF=CE,点 A、D 分别在 BC 的两侧,且 AE∥DF,AE=DF. 求证:AB∥CD. A

B

E F D

C

17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y ? kx -2 的图象与 x、y 轴分别交于点 A、 B,与反比例函数 y ? ?

3 3 (x<0)的图象交于点 M (? ,n) . 2x 2

(1)求 A、B 两点的坐标; (2)设点 P 是一次函数 y ? kx -2 图象上的一点,且满足 △APO 的面积是△ABO 的面积的 2 倍,直接写出点 P 的坐标.
M A

y

O B

x

18.某新建小区要铺设一条全长为 2200 米的污水排放管道,为了尽量减少施工对周边居民 所造成的影响,实际施工时,每天铺设的管道比原计划增加 10%,结果提前 5 天完成这 一任务,原计划每天铺设多少米管道?

四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分)

19.如图,在平行四边形 ABCD 中,AD = 4,∠B=105?,E 是 BC 边的中点,∠BAE=30?,将 △ABE 沿 AE 翻折,点 B 落在点 F 处,连接 FC,求四边形 ABCF 的周长.
A F D

B

E

C

20.如图,在△ABC 中,AC=BC,D 是 BC 上的一点,且满足∠BAD= 的⊙O 与 AB、AC 分别相交于点 E、F. (1)求证:直线 BC 是⊙O 的切线; (2)连接 EF,若 tan∠AEF=

1 ∠C,以 AD 为直径 2 A

4 ,AD=4,求 BD 的长. 3

O E B D

F C

21.今年“五一”假期,小翔参加了学校团委组织的一项社会调查活动,了解他所在小区家 庭的教育支出情况.调查中,小翔从他所在小区的 500 户家庭中,随机调查了 40 个家 庭,并将调查结果制成了部分统计图表. 教育支出频数分布表 分组 频数 2 6 18 9 a 2 40 频率 0.050 0.150 0.450 0.225 b 0.050 1.000
(注:每组数据含最小值,不含最大值) 20 16 12 8 4 0 1100 1300 1500 1700 1900 2100 2300 (元) (户数)

教育支出频数分布直方图

1100 ~ 1300

1300 ~ 1500 1500 ~ 1700
1700 ~ 1900

1900 ~ 2100 2100 ~ 2300
合计

根据以上提供的信息,解答下列问题: (1)频数分布表中的 a = ,b = ; (2)补全频数分布直方图; (3)请你估计该小区家庭中,教育支出不足 1500 元的家庭大约有多少户? 22.阅读下列材料:

小华遇到这样一个问题,如图 1, △ABC 中,∠ACB=30?,BC=6,AC=5,在△ABC 内部有一点 P,连接 PA、PB、PC,求 PA+PB+PC 的最小值.

E D

A

D

A

A

P B
图1

P

C B
图2

C

B
图3

C

小华是这样思考的: 要解决这个问题, 首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分 离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线 段最短” ,就可以求出这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法, 发现通过旋转可以解决这个问题.他的做法是,如图 2,将△APC 绕点 C 顺时针旋转 60?, 得到△EDC,连接 PD、BE,则 BE 的长即为所求. (1)请你写出图 2 中,PA+PB+PC 的最小值为 (2)参考小华的思考问题的方法,解决下列问题: ①如图 3,菱形 ABCD 中,∠ABC=60?,在菱形 ABCD 内部有一点 P,请在图 3 中 画出并指明长度等于 PA+PB+PC 最小值的线段(保留画图痕迹,画出一条即可) ; ②若①中菱形 ABCD 的边长为 4,请直接写出当 PA+PB+PC 值最小时 PB 的长. ;

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.已知关于 x 的一元二次方程 x2?(4?m)x?1?m = 0. (1)求证:无论 m 取何值,此方程总有两个不相等的实数根; (2)此方程有一个根是?3,在平面直角坐标系 xOy 中,将抛物线 y?x2?(4?m)x?1?m 向右平移 3 个单位,得到一个新的抛物线,当直线 y?x?b 与这个新抛物线有且只 有一个公共点时,求 b 的值.

24.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y? ax2?bx?4 与 x 轴交于点 A(?2,0)、

B(6,0),与 y 轴交于点 C,直线 CD∥x 轴,且与抛物线交于点 D,P 是抛物线上一动 点. y y

C A O

D B A

C

D B

x

O

x

备用图

(1)求抛物线的解析式; (2) 过点 P 作 PQ⊥CD 于点 Q, 将△CPQ 绕点 C 顺时针旋转, 旋转角为 α (0?﹤α﹤90?) , 当 cosα=

3 ,且旋转后点 P 的对应点 P' 恰好落在 x 轴上时,求点 P 的坐标. 5

25. 在□ABCD 中, 是 AD 上一点, E AE=AB, 过点 E 作直线 EF, EF 上取一点 G, 在 使得∠EGB= ∠EAB,连接 AG. (1)如图 1,当 EF 与 AB 相交时,若∠EAB=60°,求证:EG =AG+BG; (2)如图 2,当 EF 与 AB 相交时,若∠EAB= α(0?﹤α﹤90?) ,请你直接写出线段 EG、 AG、BG 之间的数量关系(用含 α 的式子表示) ; (3)如图 3,当 EF 与 CD 相交时,且∠EAB=90°,请你写出线段 EG、AG、BG 之间的数 量关系,并证明你的结论.
A E D
A E G D

A G F B

E

D

G F

F

C

图1

B

图2

C

B

C

图3

北京市朝阳区九年级综合练习(二)

数学试卷参考答案
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 D 5 B 6 B

2013.6 7 C 8 A

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9. x≥

3 2

10. 2 x( x- 1)2

11. 32°

12.24,2n2+2n

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分)

?1? 13. 解: ? ? ? 9 ? ?2?
= 4 - 3 +1-

?2

?
2

3 ? 4 ? 2 cos 45?
2 2
????????????????????4 分

?

0

= 1.
14. 解: ? ?

???? ?? ???? ???? ?? ???? ???? ??? 5 分

骣3 1 ÷ 2 ÷ ? x - 1 x + 1÷ x 2 - 1 桫

? 3 (x ? 1 ) 2 x? 1 ? ?? ? ????????????2 分 ? ? 2 ( ? x ? 1? (x ? 1 ) ? x ? ? 1x ? ? 1 ) x - 1 ?

?

2x ? 4 2 ? 2 ?????????????????????????3 分 ? x ? 1?? x ? 1? x ? 1

?

? x ? 1?? x ?1? ??????????????????????4 分 2x ? 4 ? 2 ? x ? 1?? x ?1?

? x ? 2 .????????????????????????????????5 分 15. 解: 由题意可知∠ACB=30°,∠ADB=60°,CD=20,
在 Rt△ABC 中, AB ? BC ? tan 30?= ? BD ? 20 ? ?
3 .????????????1 分 3

在 Rt△ABD 中, AB ? BD ? tan 60?=BD ? 3 .???????????????2 分 ∴ ? BD ? 20 ? ?
3 =BD ? 3 , ??????????????????????3 分 3

∴ BD ? 10 .????????????????????????????4 分 ∴ AB ? 10 3 .?????? ????????????????????5 分 16. 证明:∵AE∥DF, ∴ ∠AEB=∠DFC. ????????????????????????1 分 ∵BF=CE, ∴ BF+EF=CE+EF. 即 BE=CF. ???????????????????????????2 分 在△ ABE 和△ DCF 中,

ì AE = DF ? ? ? DFC í ? AEB ? ? BE = CF ? ? ?
∴ABE≌DCF. ? ???????????????????????3 分 △ △ ∴∠ B=∠C. ???????????????????????????4 分 ∴AB∥CD. ? ??????????????????????????5 分 17. 解: (1)∵ M ( ? ,n) 在反比例函数 y ? ? 点

3 2

3 (x<0)的图象上, 2x

n ∴ = 1 .????????????????????????????1 分 3 ∴ (? ,1) . M 2 3 ∵ 一次函数 y ? kx -2 的图象经过点 M (? ,1) , 2 3 ∴= - k- 2. 1 2 k ∴ = - 2. ∴ 一次函数的解析式为 y ? ?2 x ? 2 . ∴ A(?1,0),B(0,?2) . ?????????????????????3 分 (2)P1(?3,4),P2(1,?4) . ?????????????????????5 分
18. 解:设原计划每天铺设 x 米管道.???????????????????1 分 由题意,得
2200 2200 ? ? 5 ?????????????????3 分 x (1 1 0 % ) ? x

解得

x ? 40 . ???????????????????????4 分

经检验 x ? 40 是原方程的根. ???????????????????5 分 答:原计划每天铺设 40 米管道. 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.解:作 BG⊥AE,垂足为点 G, ∴∠BGA=∠BGE=90?. 在平行四边形 ABCD 中,AD = 4, ∵E 是 BC 边的中点, ∴ BE ? EC ? 1 BC ? 1 AD ? 2. ????????????????????1 分 2 2 D A ∵∠BAE=30?,∠ABC=105?, F ∴∠BEG=45?. G 由已知得△ ABE≌AFE. △ ∴AB=AF,BE=FE,∠BEF=90?. B C E 在 Rt△BGE 中, BG=GE= 2. ??? ????????????????????????2 分 在 Rt△ABG 中, ∴AB=AF= 2 2. ???????????????????????????3 分 在 Rt△ECF 中,

FC ? EF 2 ? EC 2 ? 2 2. ??????????????????? ??4 分 ∴四边形 ABCF 的周长 4 ? 6 2. ????????????????????5 分
20. (1)证明:在△ABC 中, ∵AC=BC, ∴∠ CAB = ∠B. ∵∠ CAB +∠B+∠C=180?, ∴2∠B+∠C=180?.

1 C =90?. ????????????????????1 分 2 1 ∵∠ BAD= ∠ C, 2 BAD =90?. ∴? B
∴? B ∴∠ ADB=90?. ∴AD⊥BC. ∵AD 为⊙O 直径的, ∴直线 BC 是⊙O 的切线. ???????????????????2 分 (2)解:如图,连接 DF, ∵ 是⊙O 的直径, AD ∴ ∠AFD = 90?. ??????????????????????????3 分 ∵∠ ADC=90?, ∴ ∠ADF+∠FDC=∠CD+∠FDC=90?. ∴ ∠ADF=∠C. ?????????????????????????4 分 ∵ ∠ADF=∠AEF,tan∠ AEF= ∴ C=tan∠ tan∠ ADF=

4 , 3
A

4 . 3

在 Rt△ACD 中, 设 AD=4x,则 CD=3x. ∴ ? AD2 ? DC2 ? 5x. AC
O F

E ∴ BC=5x,BD=2x. C B D ∵ AD=4, ∴ x=1. ∴BD=2. ????????????????????????????5 分

21.解: (1)a=3,b=0.075; ???????????????????????2 分

(2)

??????????3 分

(3) 500 ? (0.05 ? 0.15) ? 100 . 所以该小区家庭中,教育支出不足 1500 元的家庭大约有 100 户.????5 分 21.解: (1) 61 .??????????????????????????????1 分 A D (2)①如图, ????????????????2 分
B C

BD; ?????????????????????????????3 分
4 3 . ????????????????????????????5 分 3 五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分)

(3)

23. (1)证明:∵△= ? 4 ? m ? ? 4 ?1 ? m ? .?????????????????? 1 分
2

2 = m ? 4m ? 12

= ? m ? 2 ? ? 8 ??????????????????????2 分
2

∴△>0. ?????????????????????????3 分 ∴无论 m 取何值,方程总有两个不相等的实数根. (2)把 x=-3 代入原方程,解得 m=1. ???????????????????4 分 ∴ y ? x ? 3x .
2

3? 9 ? 即 y ??x? ? ? . 2? 4 ? 3? 9 ? 依题意,可知新的抛物线的解析式为 y ' ? ? x ? ? ? . ?????????5 分 2? 4 ?
即 y ' ? x ? 3x
2
2

2

∵抛物线 y ' 与直线 y ? x ? b 只有一个公共点,
2 ∴ x ? 3x ? x ? b ..?????????????????????????6 分 2 即 x ? 4x ? b ? 0 .

∵△=0.

∴ ? ?4 ? ? 4 ? ? ?b ? ? 0 .
2

解得 b= -4.

??????????????????????????7 分

24. 解: (1)根据题意得

b ? 0 ? 4a ? 2 ? 4 , ??????????????????????1 分 ? a 6 4 0 ?3 6 ? b ? ? .

1 ? ?a ? ? 3 , ? 解得 ? ?b ? 4 . ? 3 ?

1 4 x ? 4 .????????????2 分 3 3 (2)如图 1,过点 Q 的对应点 Q ' 作 EF⊥CD 于点 E,交 x 轴于点 F.
所以抛物线的解析式为 y ? ? x2 ? 设 P(x,y),则 CQ= x,PQ=4- y. 由题意可知 CQ ' = CQ= x, P ' Q ' =PQ=4- y,∠CQP =∠C Q ' P ' =90°. ∴ ?QCQ '? ?CQ ' E ? ?P ' Q ' F ? ?CQ ' E =90°. ∴ ?P ' Q ' F ? ?QCQ ' ? ? .????????????????????3 分 又∵cosα= ∴ EQ ' ?

3 , 5
y C A E Q P B x

4 3 , x  FQ ' ? (4 ? y) . 5 5

4 3 ∴ x ? (4 ? y) ? 4 . 5 5

∵ y ? ? x2 ?
1 5

1 3

4 x?4, 3

Q' O P' F

整理可得 x 2 ? 4 . ∴ x1 ? 2 5 , x2 ? ?2 5 (舍去). ∴ P(2 5,
8 5-8 ) .????????????????????????5 分 3

如图 2,过点 Q 的对应点 Q ' 作 EF⊥CD 于点 E,交 x 轴于点 F. 设 P(x,y),则 CQ=- x,PQ=4- y. 可得 ?P ' Q ' F ? ?QCQ ' ? ? .????????????????????6 分

3 又∵cosα= , 5
∴ EQ ' ? ? x  FQ ' ? (4 ? y) . , ∴ ? x ? 4 ? (4 ? y) . ∵ y ? ? x2 ?
4 5 3 5 4 5 3 5
P'

Q' Q E

y C D B O x

FA

1 3

4 x?4, 3

P

整理可得 x 2 ? 4 . ∴ x1 ? 2 5 (舍去) x2 ? ?2 5 . , ∴ P (?2 5,∴ P(2 5,
8 5+8 ) .???????????????????????7 分 3

1 5

8 5-8 8 5+8 ) 或 P (?2 5,). 3 3

25. 解: (1)证明:如图,作∠GAH=∠EAB 交 GE 于点 H. ∴∠GAB=∠HAE. ????????????????????????1 分 ∵∠EAB=∠EGB,∠APE=∠BPG, E A D ∴∠ABG=∠AEH. H ∵又 AB=AE, G P ∴ABG≌AEH. ??????2 分 △ △ F ∴ BG=EH,AG=AH. C B ∵∠GAH=∠EAB=60°, ∴AGH 是等边三角形. △ ∴AG=HG. ∴EG =AG+BG. ?????????????????????????3 分 (2) EG ? 2 AG sin

?
2

? BG. ??????????????????????5 分

(3) EG ? 2 AG ? BG. ???????????????????????6 分 如图,作∠GAH=∠EAB 交 GE 于点 H. ∴∠GAB=∠HAE. H ∵∠EGB=∠EAB=90°, ∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH =180°. ∴∠ABG=∠AEH. E A D ∵又 AB=AE, G ∴ABG≌AEH. ??????7 分 △ △ ∴ BG=EH,AG=AH. ∵∠GAH=∠EAB=90°, F ∴AGH 是等腰直角三角形. △ ∴ 2 AG=HG. ∴ EG ? 2 AG ? BG. ??????????????????????8 分
B C

说明:各解答题其它正确解法请参照给分.

丰台区 2013 年初三统一练习(二)
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 1 1. ?2 的绝对值是 A.2 B. 2

数 学 试 卷
C.-2

2013.6

D. ? 1

2

2.随着电子制造技术的不断进步,电子元件的尺寸大幅度缩小,某种电子元件的面积大约 只有 0.000 000 7 毫米 2,将 0.000 000 7 用科学记数法表示为 A.7×106 B.7×10-6 C.-7×107 D.7×10-7 3. ?a3 ? (?a)2 的运算结果是 A. a5 B.-a5
?

C.a6

D.-a6

O
?

C B

4.如图,点 A、B、C 都在 ⊙ O 上,若∠AOB ? 68 ,则∠ ACB 的度数为 A. 68
?

B. 60

?

C. 34

?

D. 22

A

5.抛物线 y ? ( x ? 2)2 ? 2 的顶点坐标为 A. (?2, 2) B. (2, ?2) C. (2, 2) D. (?2, ?2)

6. 某射击队要从四名运动员中选拔一名运动员参加比赛, 选拔赛中每名队员的平均成绩 x与 2 方差S 如下表所示.如果要选择一个成绩高且发挥稳定的人参赛,则这个人应是 甲 乙 9 1 D.丁 丙 9 1.2 丁 8 1.3

x
S A.甲 B.乙
2

8 1

C.丙

7.下面四个图形中,三棱柱的平面展开图是

A.

B.

C.

D. A am B S 。 a D

8.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有一棵树与两墙的 距离分别是 a 米(0<a<12)、4 米.现在想用 16 米长的篱笆,借助墙 角围成一个矩形的花圃 ABCD,且将这棵树围在花圃内(不考虑树的粗 细). 设此矩形花圃的最大面积为 S,则 S 关于 a 的函数图象大致是

P 4m

C



。 S


O a O

S 。 a O



S 。 a


O

A.

B.

C.

D.

二、 填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9.若分式

x?4 的值为 0,则 x 的值为 x?2



10.分解因式: xy 2 ? 4 xy ? 4 x =__________________. 11.在盒子里放有四张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、圆的卡片(卡片除所画内 容不同外,其余均相同) ,从中随机抽取一张卡片,卡片上画的恰好是轴对称图形的概率 是 .

12.如图,在△OA1B1 中,∠OA1B1=90°,OA1= A1B1=1.以 O 为圆心, OA1 为半径作扇形 OA1B2,A⌒ 2 与 OB1 相交于点 B2 , 设△OA1B1 与扇形 OA1B2 之间的阴影部分的面积为 S1 ; 1B 然后过点 B2 作 B2A2⊥OA1 于点 A2, 又以 O 为圆心, 2 为半径作扇形 OA2B3,⌒ 3 与 OB1 OA A2B 相交于点 B3 , B3 设△OA2B2 与扇形 OA2B3 之间的阴影部分面积为 S2 ; 按此规律继续操作,设△OAnBn 与扇形 OAnBn+1 之间的阴影部分面积为 Sn . O 则 S1=___________; Sn= 三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.计算: (?2) 14.解方程:
?1

B1 S1

B2 B4 S2

S3 A 3 A2 A1



? ? 8 +( 2 ? 1 0 ? cos 45? . )
A

D

2 3x ? ? 1. 1? x x ?1

15.已知:如图, B,C,E 三点在同一条直线上, AC ∥ DE , AC ? CE , ?B ? ?D . B 求证: △ ABC ≌△CDE . 16.已知 m ?

C

E

1 ? 1 ,求 m(m ? 3) ? (1 ? 2m)(1 ? 2m) 的值. m

17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,若点 A(?2, n) , B(1, ?2) 是一次函数 y ? kx ? b 的图象和 反比例函数 y ? m 的图象的两个交点. x (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及△ AOB 的面积. A O C B x y

18.列方程或方程组解应用题: 某农场去年种植了 10 亩地的西瓜,亩产量为 2000kg,根据市场需要,今年该农 场扩大了种植面积,并且全部种植了高产的新品种西瓜.已知西瓜种植面积的增长率是 亩产量的增长率的 2 倍,预计今年西瓜的总产量为 60000kg, 求西瓜亩产量的增长率. 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) A 19.如图,四边形 ABCD 中, CD= 2 , ?BCD ? 90? , ?B ? 60? , D

?ACB ? 45? , ?CAD ? 30? ,求 AB 的长.
B 20.已知:如图,直线 PA 交⊙O 于 A、B 两点,AE 是⊙O 的直径,点 C 是⊙O 上一点,且 AC 平分∠PAE,过点 C 作 CD⊥PA,垂足为点 D. A B (1)求证:CD 与⊙O 相切; (2)若 tan∠ACD= C

D

P

1 ,⊙O 的直径为 10,求 AB 的长. 2

O

C

E 21.6 月 5 日是世界环境日,某城市在宣传“绿色环境城市”活动中,发布了一份 2013 年 1 至 5 月份空气质量抽样调查报告,随机抽查的 30 天中,空气质量的相关信息如下: 空气污 染指数 空气质 量级别 天数 0~ 50 优 51~ 100 良 15 101~ 150 轻微 污染 4 151~ 200 轻度 污染 201~ 250 中度 污染 2

50% 良 中度污染 7% 优 轻度 13% 污染
%

天数 15

%

3 2

轻微污染

y y





轻 微

轻 度

中 度

级别

请你根据统计图表提供的信息,解答以下问题(结果均取整数) : (1)请将图表补充完整; (2)请你根据抽样数据, 通过计算, 预测该城市一年(365 天)中空气质量级别为优和良的天数 大约共有多少天?

22.操作探究:

一动点沿着数轴向右平移 5 个单位,再向左平移 2 个单位,相当于向右平移 3 个 单位.用实数加法表示为 5+( ?2 )=3. 若平面直角坐标系 xOy 中的点作如下平移: x 轴方向平移的数量为 a 沿 (向右为正, 向左为负, 平移 a 个单位) 沿 y 轴方向平移的数量为 b , (向上为正, 向下为负, 平移 b 个单位) ,则把有序数对{a,b}叫做这一平移的“平移量” .规定“平移量”{a,b}与“平 移量”{c,d}的加法运算法则为 {a,b} ? {c,d } ? {a ? c,b ? d } . (1)计算:{3,1}+{1,2}; (2)若一动点从点 A(1,1)出发,先按照“平移量”{2,1}平移到点 B,再按照“平移 量” {-1, 2}平移到点 C; 最后按照 “平移量” {-2, -1}平移到点 D, 在图中画出四边形 ABCD, 并直接写出点 D 的坐标; (3)将(2)中的四边形 ABCD 以点 A 为中心,顺时针旋转 90°,点 B 旋转到点 E,连 结 AE、BE 若动点 P 从点 A 出发,沿△AEB 的三边 AE、EB、BA 平移一周. 请用“平 y 移量”加法算式表示动点 P 的平移过程.

1 O

1

x

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.已知关于 x 的方程 x2 ? (m ? 2) x ? m ? 3 ? 0 . (1)求证:此方程总有两个实数根; (2)设抛物线 y ? x2 ? (m ? 2) x ? m ? 3 与 y 轴交于点 M,若抛物线 与 x 轴的一个交点关于直线 y=-x 的对称点恰好是点 M, m 求 的值. 24.在 Rt△ABC 中,AB=BC,∠B=90°,将一块等腰直角三角板的直角 顶点 O 放在斜边 AC 上,将三角板绕点 O 旋转. (1)当点 O 为 AC 中点时,
(备图)
O
1

y

x

①如图 1, 三角板的两直角边分别交 AB,BC 于 E、F 两点,连接 EF,猜想线段 AE、CF 与 EF 之间存在的等量关系(无需证明) ; ②如图 2, 三角板的两直角边分别交 AB,BC 延长线于 E、F 两点,连接 EF,判断①中 的猜想是否成立.若成立,请证明;若不成立,请说明理由;

2) 当点 O 不是 AC 中点时, 如图 3,, 三角板的两直角边分别交 AB, 于 E、 两点, AO ? 1 , BC F 若
AC 4

求 OE 的值.
OF

A

A

A E O

E

O

O

B

F

C

B E

C

F

B

F

C

3 25.如图,把△OAB 放置于平面直角坐标系 xOy 中, ?OAB ? 90? , OA ? 2, AB ? ,把△ 图3 图2 图1 2
OAB 沿 x 轴的负方向平移 2OA 的长度后得到△DCE. (1)若过原点的抛物线 y ? ax2 +bx ? c 经过点 B、E,求此抛物线的解析式; (2)若点 P 在该抛物线上移动,当点 P 在第一象限内时,过点 P 作 PQ ? x 轴于点 Q , 连结 OP .若以 O 、 P 、 Q 为顶点的三角形与以 B、C、E 为顶点的三角形相似,直接 写出点 P 的坐标; (3)若点 M(-4,n) 在该抛物线上,平移抛物线,记平移后点 M 的对应点为 M′ ,点 B 的对应点为 B′ . 当抛物线向左或向右平移时, 是否存在某个位置, 使四边形 M′ CD 的周长最短?若 B′ 存在,求出此时抛物线的解析式;若不存在,请说明理由. y

E

B

D

C

O

A

x

丰台区 2013 年初三统一练习(二)
数学参考答案及评分标准 一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 1 2 3 4 题号 答案 A D 10. x( y ? 2)2 B C 二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9. 4 11.

5 C

6 B

7 A

8 C

3 4

12.

1 ? 1 ? ? ; n ? n?2 2 8 2 2

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.解:原式= ?

1 2 ? 2 2 ?1? 2 2

-------- 4 分

=

1? 3 2 . 2

-------- 5 分

14.解:

?2 3x ? ? 1 ,----------- 1 分 x ?1 x ?1
?2 ? 3 x ? x ? 1 , -----------2 分 ?4 x ? 1 , ----------- 3 分

1 x ? ? .-----------4 分 4 1 经检验, x ? ? 是原方程的解.----------- 5 分 4 1 ∴原方程的解是 x ? ? . 4 15. 证明:∵AC∥DE,
∴∠ACB=∠E.-------------- 1 分 在△ABC 和△CDE 中, ∠ACB=∠E, ∠B=∠D, -------------- 4 分 AC=CE, ∴△ABC≌△CDE.-------------- 5 分 16. 解:∵ m ? 1 ? 1 , m ∴ m ? m ? ?1 .
2

------------ 1 分
2

∴原式= m ? 3m+1 ? 4m
2

------------ 2 分 ------------ 3 分

= ?3m2 ? 3m ? 1

= ?3(m2 ? m) ? 1 = ?3 ? (?1) ? 1 ? 4 .

------------ 4 分 ------------ 5 分

17.解:(1)∵点 B(1, ?2) 在函数 y ? ∴ m ? ?2 .

m 的图象上, x

? 反比例函数的解析式为 y ? ? 2 .-- 1 分
x

? 点 A(?2, n) 在函数 y ? ? 2 的图象上,
x

∴ n ? 1 .∴ A(?2,1) .

? y ? kx ? b 经过 A(?2,1) 、 B(1, ?2) ,
∴?

??2k ? b ? 1, ?k ? ?1, 解得: ? ?k ? b ? ?2. ?b ? ?1.

? 一次函数的解析式为 y ? ? x ? 1 . ---- 3 分
(2)? C 是直线 AB 与 x 轴的交点,

? 当 y ? 0 时, x ? ?1 . ? 点 C (?1, 0) .---------4 分
? OC ? 1 .
A C

y

O B

x

? S△AOB ? S△ACO ? S△BCO
1 1 ? ? 1? 1 ? ? 1? 2 2 2 3 ? ---------5 分 2

18.解:设西瓜亩产量的增长率为 x,则西瓜种植面积的增长率为 2x. ------ 1 分 由题意得,

2000(1+x) ?10(1 ? 2 x) ? 60000 . --2 分 1 解得, x1 ? , x2 ? ?2 . ------ 3 分 2 但 x2 ? ?2 不合题意,舍去. ------ 4 分
答:西瓜亩产量的增长率为 50%. ------ 5 分 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19.解:过点 D 作 DE⊥AC 于 E,过点 A 作 AF⊥BC 于 F. ∵∠ACB=45°,∠BCD=90°, ∴∠ACD=45°. B ∵CD= 2 ,∴DE=EC=1.
-----------------1 分

A D E F C

∵∠CAD=30°, ∴AE= 3 . ∴AC= 3 ? 1 . ∴FA=FC=
---------------- 2 分 ---------------- 3 分

3 ?1 6? 2 .------------------------------- 4 分 ? 2 2

∵∠ABF=60°, ∴ AB ?

AF 6? 2 2 3 2? 6 . ? ? ? sin 60? 2 3 3

------------------------ 5 分

20. (1)证明:连结 OC. ∵ 点 C 在⊙O 上,OA=OC, ∴ ?OCA ? ?OAC.
? ∵ CD ? PA ,∴ ?CDA ? 90 ,有 ?CAD ? ?DCA ? 90? .

B

A G

D

P

∵ AC 平分∠PAE,∴ ?DAC ? ?CAO. ∴ ?DAC ? ?OCA.

---------1 分

∴ ?DCO ? ?DCA ? ?ACO ? ?DCA ? ?DAC ? 90?. ∵ 点 C 在⊙O 上,OC 为⊙O 的半径, ∴ CD 为⊙O 的切线. ---------2 分 E (2)解: 过点 O 作 OG⊥AB 于 G. ? ∵ ?OCD ? 90 , CD ? PA ,∴四边形 OCDG 是矩形. ∴OG=CD, GD=OC. ---------3 分 ∵ ⊙O 的直径为 10,∴OA=OC=5.∴DG=5. AD 1 ∵tan∠ACD ? ? ,设 AD=x, CD=2x ,则 OG=2x.∴ AG=DG-AD=5- x . CD 2 在 Rt△AGO 中,由勾股定理知 AG ? OG ? OA .
2 2 2
2 ∴ (5 ? x ) ? ? 2 x ? ? 25. 2

O

C

解得 x1 ? 2, x2 ? 0(舍) . . -------------------------5 分

-------------------------4 分

∴ AB ? 2 AG ? 2 ? (5 ? 2) ? 6 21. 解: (1)

50% 良 中度污染 7% 优 轻度 13% 污染

空气污 染指数 空气质 量级别 天数 20
%

0~ 50 优 6

51~ 100 良 15

101~ 150 轻微 污染 4

151~ 200 轻度 污染 3

201~ 250 中度 污染 2

10

%

轻微污染

y
C D

-------------------------3 分

B

如图,画图基本准确,每个统计图全部正确得 1 分.

1 O

A

1

x

(2)365×(20%+50%)≈256. 答:该城市一年为优和良的天数大约共有 256 天.
-------------------------5 分

22. (1){4,3}. -------------------------1 分 (2)①画图 -------------------------2 分 ②D(0,3). -------------------------3 分 (3){1,-2}+{1,3}+{-2,-1}.-------------------------5 分

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23、 (1)证明: ? ? b2 ? 4ac ? (m ? 2)2 ? 4(m ? 3) ? m2 ? 8m ? 16 ? (m ? 4)2 ? 0 ,----------- 1 分

∴此方程总有两个实数根.

-------------------------

2分

(2)解:抛物线 y ? x2 ? (m ? 2) x ? m ? 3 与 y 轴交点为 M(0, m ? 3 ) ---------------------3 分 . 抛物线与 x 轴的交点为(1,0)和( m ? 3 ,0) ,它们关于直线 y ? ?x 的对称点分别为 (0, ?1 )和 (0, 3 ? m ).-----------------5 分 由题意,可得:
?1 ? m ? 3或m ? 3 ? 3 ? m ,即 m=2 或 m=3. -------------------------7 分

24 解: (1) ① 猜想: AE 2 ? CF 2 ? EF 2 .-------------------------1 分 ② 成立. ------------------------2 分 证明:连结 OB. ∵AB=BC , ∠ABC=90°,O 点为 AC 的中点,

A

O

∴ OB ? 1 AC ? OC ,∠BOC=90°,∠ABO=∠BCO=45°.
2

B E

C

F

∵∠EOF=90°,∴∠EOB=∠FOC. 又∵∠EBO=∠FCO,

∴△OEB≌△OFC(ASA).∴BE=CF. -------------------------3 分 又∵BA=BC, ∴AE=BF. 2 2 在 RtΔEBF 中,∵∠EBF=90°, ? B F2 ? B E ? E F.? AE 2 ? CF 2 ? EF 2 . -------------------------4 分 (2)解:如图,过点 O 作 OM⊥AB 于 M,ON⊥BC 于 N. ∵∠B=90°, ∴∠MON=90°. ∵∠EOF=90°, A ∴∠EOM=∠FON. ∵∠EMO=∠FNO=90°,∴△OME∽△ONF. -------------------------5 分 O M OM OE ∴ ? E ON OF ∵△AOM 和△OCN 为等腰直角三角形, ∴△AOM∽△OCN ∴ OM ? AO .
ON
3

OC

B

F N

C

∵ AO ? 1 , ∴ OE ? 1 . -------------------------7 分
AC 4
OF

( 25.解:(1)依题意得: B 2, ) .
∵OC=2,CE=

3 2

3 3 . ,∴ E ( ? 2, ) 2 2

∵抛物线经过原点和点 B、E,∴设抛物线的解析式为 y ? ax 2 (a ? 0) .

( ∵抛物线经过点 B 2, ) ,∴

3 2

3 3 ? 4 a .解得:a= . 8 2

3 ∴抛物线的解析式为 y ? x 2 .-------------------------2 分 8

(2) P (

3 64 512 或( , ) P 1,) .-------------------------4 分 8 9 27

(3)存在. B 因为线段 M ?B ? 和 CD 的长是定值,所以要使四边形 M ? ?CD 的周长最短,只要使 M ?D ? CB? 最短.如果将抛物线向右平移,显然有 M′ D+CB′ >MD+CB,因此不存在某个 3 位置,使四边形 M′ CD 的周长最短, 显然应该将抛物线 y ? x 2 向左平移. B′ 8 由题知 M (?4,6) . -------------------------5 分 设抛物线向左平移了 n 个单位,则点 M ? 和 B′ 的坐标分别为
3 M′ (-4-n,6)和 B′ (2-n, ). 2
y M′ 8 6 4 B′B′ 2 D ′C -4 -2 O 2 4 x -2 -4 M

3 因为 CD=2,因此将点 B′ 向左平移 2 个单位得 B′′(-n, ). 2 D 要使 M ? ? CB? 最短,只要使 M ?D +DB′′最短. 点 M′ 关于 x 轴对称点的坐标为 M′(-4-n,-6). 设直线 M′B′的解 ′ ′ ′ 析式 y ? kx ? b ,

点 D 应 在 直 线 M′B′ ′ ′上 ,
y? 15 15 x ? .----------------6 分 8 2

∴ 直 线 M′′B′′ 的 解 析 式 为


3 16 将 B′′(-n, )代入,求得 n ? .--------------7 分 5 2

故将抛物线向左平移 为

16 个单位时,四边形 M′B′CD 的周长最短,此时抛物线的解析式 5

3 16 y ? ( x ? )2 . -------------------------8 分 8 5

石景山区 2013 年初三第二次统一练习 第Ⅰ卷(共 32 分)
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是正确的,请将所选答案前的字母填在 相应的括号内. 1.3 的相反数是( A.-3 ) B.3 C. ? 1 3 D. 1 3

2.某市政府召开的全市经济形势分析会公布,全市去年地区生产总值(GDP)实现 1091 亿 元,数字 1091 用科学记数法表示为( A. 1.091? 10
2

) C. 10.91? 10
3

B. 1.091? 10

3

D. 1.091? 10

4

3.如图,△ABC 中,DE 是 AC 的垂直平分线,AE=4cm, △ABD 的周长为 14cm,则△ABC 的周长为( A.18 cm C.24 cm B. 22 cm D. 26 cm )

A E C

B

第 3 题图

D

4.一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩如下表所示:这次成绩的众数、平均数是 ( ) 成绩(环) 次数 A.9, 8 6 1 B. 9, 8.2 7 2 8 2 C. 10, 8 9 4 D.10, 8.2 10 1

5.甲盒装有 3 个红球和 4 个黑球,乙盒装有 3 个红球、4 个黑球和 5 个白球.这些球除了 颜色外没有其他区别. 搅匀两盒中的球, 从盒中分别任意摸出一个球. 正确说法是( ) C A.从甲盒摸到黑球的概率较大 B.从乙盒摸到黑球的概率较大 D C.从甲、乙两盒摸到黑球的概率相等 B A O D.无法比较从甲、乙两盒摸到黑球的概率 6.如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的一点,若 AC=8,AB=10,OD⊥BC 于点 D,则 BD 的长为( ) 第 6 题图 A.6 B.5 C.3 D.1.5 7.若二次函数 y ? x ? bx ? 7 配方后为 y ? ( x ? 1) ? k ,则 b 、 k 的值分别 为( ) A.2、6 B.2、8 C.-2、6 D.-2、8 8. 如图是由五个相同的小正方体组成的几何体,则下列说法正确的是( ) A.左视图面积最大 B.俯视图面积最小 C.左视图面积和主视图面积相等 D.俯视图面积和主视图面积相等
2 2

第Ⅱ卷(共 88 分)

主视图方向 第 8 题图

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9.分解因式: 20 ? 5a 2 =
2



10.抛物线 y ? kx ? 5x ? 2 的图象和 x 轴有交点,则 k 的取值范围是 . 11.已知:平面直角坐标系 xoy 中,圆心在 x 轴上的⊙M 与 y 轴交于点 D (0,4) 、 H , H 作⊙ O 的切线交 x 轴于点 A , M 点 过 若点 (-3, 0) ,则 sin ?HAO 的值为 . y D M

.

O H

A x

O

第 11 题图
?

第 12 题图

12.如图, ?AOB ? 45 ,过 OA 上到点 O 的距离分别为 1,4,7,10,13,16,…的点作 OA 的垂线与 OB 相交,得到并标出一组黑色梯形,它 们的面积分别为 s1 , s2 , s3 , …,观察图中 的规律,第 4 个黑色梯形的面积 S 4

?

, 第 n( n 为正整数) 个黑色梯形的面积

Sn ?



三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13.计算: 32 ? tan 45 ? ? ( ) 0 ? ? 3 2 . 解: 14.解分式方程:

3 2

x 1 ? 2 ? 1. x?2 x ?4

15.如图,四边形 ABCD 是正方形,G 是 BC 上任意一点(点 G 与 B、C 不重合) ,AE?DG 于 E,CF∥AE 交 DG 于 F.请在图中找出一对全等三角形,并加以证明. 证明: A D

E F B G C

16. 先化简,再求值: ?

x3 ? 4x ? 3 ? 2 ,其中 x 满足 x ? 3x ? 4 ? 0 . ? x ? 1? ? 2 ? x ?1 ? x ? 2x ? 1

解:

17.已知:如图,一次函数 y ? x ? b 的图象与反比例函数 y ?

k ( k ? 0) 的 x 图象交于 A 、B 两点,A 点坐标为 (1, m ) , 连接 OB , 过点 B 作 BC ? x 3 轴,垂足为点 C ,且△ BOC 的面积为 . 2 (1)求 k 的值;

(2)求这个一次函数的解析式. 解:

18.甲、乙两位同学进行长跑训练,两人距出发点的路程 y(米)与跑步时间 x(分)之间的函数图象如图所示,根据图象所提供的信息解答问题: (1)他们在进行 (3)当 x= 解:
y( 米 )
1000 800 600 400 1000 200 800

米的长跑训练; ; 时,两人相距最远,此时两人距离是多少米(写出解答过程)?

(2)在 3<x<4 的时段内,速度较快的人是 米 ) y(

乙 甲

600 O 400 200

1

2

3

4

x(分 )

x(分 ) 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) O 19.如图,四边形 ABFE 中,延长 FE 至点 P,∠AEP=74°,∠BEF=30°, 3

1

2

4

∠EFB=120°, AF 平分∠EFB,EF=2. 求 AB 长(结果精确到 0.1) . (参考数据: 3≈1.73, 解:

2 ≈1.41,sin74°≈0.6,cos74°≈0.28,

tan74°≈3.49, sin76°≈0.97,cos76°≈0.24)

O

20.如图,Rt△ABC 中,∠ABC=90°,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D,过点 D 作⊙O 的切 线交 BC 于点 E.

(1)求证:点 E 为 BC 中点; (2)若 tan ? EDC= 解:

5 ,AD= 5 ,求 DE 的长. 2

21.为了解某区九年级学生学业考试体育成绩,现从中随机抽 取部分学生的体育成绩进行 分段(A:40 分; B:39-35 分; C:34-30 分; D:29-20 分; E:19-0 分)统计如下:
学业考试体育成绩(分数段)统计表 学业考试体育成绩(分数段)统计图
人数

分数段 A B C D E

人数(人) 频率 48 a 84 36 12 0.2 0.25 b 0.15 0.05

84 72 60 48 36 24 12

0

A

B

C

D

E

分数段

根据 上面提供的信息,回答下列问题: (1)在统计表中, a 的值为_____, b 的值为______,并将统计图补充完整; (2)甲同学说:“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数. ”请问:甲同学的体 育成绩应在什么分数段内?______(填相应分数段的字母) (3)如果把成绩在 30 分以上(含 30 分)定为优秀,那么该区今 年 2400 名九年级学生 中体育成绩为优秀的学生人数有多少名? 解:

22.如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,点 M、N、分别在 BC、AB 上,将矩形 ABCD 沿 MN 折叠,设点 B 的对应点是点 E. (1)若点 E 在 AD 边上,BM=

7 ,求 AE 的长; 2

A N B

E

D

(2)若点 E 在对角线 AC 上,请直接写出 AE 的取值范围: . 解:

M

C

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.如图,抛物线 y ? ? x ? ax ? b 过点 A(-1,0) ,B(3,0) ,其
2

对称轴与 x 轴的交点为 C, 反比例函数 y ? 的图象经过抛物线的顶点 D.

k (x>0,k 是常数) x

(1)求抛物线和反比例函数的解析式. (2)在线段 DC 上任取一点 E,过点 E 作 x 轴平行线,交 y 轴于点 F、交双曲线于点 G, 联结 DF、DG、FC、GC. y ①若△DFG 的面积为 4,求点 G 的坐标; ②判断直线 FC 和 DG 的位置关系,请说明理由; ③当 DF=GC 时,求直线 DG 的函数解析式. 解:

O

x

24.如图,四边形 ABCD 、 A1B1C1D1 是两个边长分别为 5 和 1 且中心重合的正方形.其中, 正方形 A1B1C1D1 可以绕中心 O 旋转,正方形 ABCD 静止不动. (1)如图 1,当 D、D1、B1、B 四点共线时,四边形 DCC1D1 的面积为 (2)如图 2,当 D、D1、A1 三点共线时,请直接写出 __;

CD1 = _________; DD1 (3)在正方形 A1B1C1D1 绕中心 O 旋转的过程中,直线 CC1 与直线 DD1 的位置关系是
______________,请借助图 3 证明你的猜想.
D C

D C1 D1
O

C

D C1

C

D1 A1
O

C1 B1

B1

B1 D1
O

A1
A B

A1
B

A

A

B

解:

图1

图2

图3

25. (1)如图 1,把抛物线 y ? ? x 平移后得到抛物线 C1 ,抛物线 C1 经过点 A( ?4,0) 和原
2

点 O (0,0) ,它的顶点为 P ,它的对称轴与抛物线 y ? ? x 交于点 Q ,则抛物线 C1 的解
2

析式为____________;图中阴影部分的面积为_____. (2)若点 C 为抛物线 C1 上的动点,我们把 ?ACO ? 90 时的△ ACO 称为抛物线 C1 的
?

内接直角三角形.过点 B(1,0) 做 x 轴的垂线 l , 抛物线 C1 的内接直角三角形的两条直角边 所在直线 AC 、 CO 与直线 l 分别交于 M 、 N 两点,以 MN 为直径的⊙ D 与 x 轴交于

E 、 F 两点,如图 2.请问:当点 C 在抛物线 C1 上运动时,线段 EF 的长度是否会发生变
化?请写出并证明你的判断.

解:

图1

图2

石景山区 2013 初三第二次统一练习 数学参考答案
一、选择题(本题共 8 道小题,每小题 4 分,共 32 分) 题 号 答 案 1 A 2 B 3 B 4 B 5 A 6 C 7 C 8 D

二、填空题(本题共 4 道小题,每小题 4 分,共 16 分) 9. ?2 ? a ??2 ? a ? ; 5 10.k ?

25 且k ? 0; 8

11. ;

3 5

12.

123 3 12 ; ( n ? 7) . 2 2

三、解答题(本题共 6 道小题,每小题 5 分,共 30 分) 13.解:原式= 4 2 ? 1 ? 1 ? 3 2 = 2
2

……………………………………………………4 分 ………………………………………………………5 分

14. 解: x?x ? 2? ? 1 ? x ? 4 ………………………………………………………2 分 ∴x ? ?

3 2

……………………………………………………………4 分

经检验: x ? ? ∴x ? ?

3 是原方程的增根………………………………………………5 分 2

3 是原方程的根. 2

15.证明:略(找出全等三角形 1 分;证明 4 分) 16.解:原式 ? ?

x ?1 …………………………………………………………2 分 x 2 由 x ? 3x ? 4 ? 0 ,得 x1 ? ?4, x2 ? 1 ……………………………………… 3 分 由题意, x ? 1 ……………………………………………………… 4 分 ? 4 ?1 5 ? - . ………………………………………………………5 分 ∴原式 ? ? ?4 4

17. 解: (1)设 B 点的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则有 y0 ?

k ,即: k ? x0 y0 …………1 分 x0 1 1 3 3 ∵△ BOC 的面积为 ,∴ x 0 y 0 ? ? x 0 y 0 ? , …………………2 分 2 2 2 2 ∴ k ? x0 y0 =-3. …………………………………………………………3 分 3 (2)∵ k ? ?3 ,∴ y ? ? ,当 x ? 1 时, y ? ?3 , x ∴ A 点坐标为 (1, ?3) ,……………………………………………………………4 分 把 A 点坐标代入 y ? x ? b 得 b ? ?4 ,这个一次函数的解析式为 y ? x ? 4 . …5 分

18.解: (1)1000 米; ……..……..………..……..…..……………………..1 分 (2)甲 ………………..……..……..……..……..…………..2 分 (3)设 l 乙: y1 ? k1 x ,过(4,1000) ,故 y1 ? 250x ……………………..3 分 在 0<x ? 3 的时段内,设 l 甲: y 2 ? k 2 x ,过(3,600) ,故 y2 ? 200x ……..4 分 当 x ? 3 时, y1 ? 750 y2 ? 600 y1 ? y2 ? 150. , , 答:当 x ? 3 时,两人相距最远,此时两人距离是 150 米 ………..……..……..5 分 四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 19. 解:由∠EFB=120°,AF 平分∠EFB, ∴∠EFO=60°,∠EOF=90°………………………………………………………..1 分 ∴FE=FB ………………………………………………………..2 分 Rt△EOF 中, ∴OE =EFcos30? ? 3 ……………………………………………………………..3 分 Rt△EOA 中,

OE 3 ? ? 7.2 cos?AEO cos76? 在△ AEF 和△ ABF 中 ? EF ? BF ? ??EFA ? ?BFA ? AF ? AF ?
∴AE ?

……………………………………..4 分

∴△ AEF ≌△ ABF ∴AB=AE ? 7.2 ……………………………………………..5 分 20.解: (1)连结 OD, ∵AB 为直径,∴∠ADB=90°,又∠ABC=90°, ∴BC 是⊙O 切线 ………………………………………………..1 分 ∵DE 是⊙O 切线 ∴BE=DE, ∴∠EBD=∠EDB, ∵∠ADB=90°,∴∠EBD+∠C=90°,∠EDB+∠CDE=90°,∴∠C=∠EDC, ∴DE=CE, ∴BE=CE. ………………………………………………..2 分 (2) ∵∠ABC=90°,∠ADB=90°, ∴∠C=∠ABD=∠EDC, sin C ? Rt△ABD 中,DB=

5 3

AD 2 ? 5? , …………………………………..3 分 tan?ABD 5

BD 2 3 ? 5? ? ? 6 ,………………………………..4 分 sin C 5 5 1 又点 E 为 BC 中点,∴ DE ? BC =3 .……………………………………..5 分 2
Rt△BDC 中,BC=

21.解: (1) 60 , 0.35 ,补充后如右图:………………………… 3 分 (2) C ; ……………4 分
人数

学业考试体育成绩(分数段)统计图
84 72

(3)0.8×2400=1920(名) 答:该区九年级考生中体育成绩 为优秀的学生人数有 1920 名. …………………………5 分

60 48 36 24 12

60

0

A

B

C

D

E

分数段

22.解: (1)由题意,△BMN 沿 MN 折叠得到△EMN ∴△BMN≌△EMN ∴EM=BM=

7 . 2
7 . 2

过点 M 作 MH⊥AD 交 AD 于点 H,则四边形 ABMH 为矩形 MH=AB=3, AH=BM= Rt△EHM 中, EH= EM ? HM
2 2

7 13 ? ( ) 2 ? 32 ? 2 2
……………………………… 3 分 ……………………………… 5 分

∴AE ?

7 ? 13 . 2

(2) 1≤AE≤3.

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.解: (1)? 抛物线 y ? ? x ? ax ? b 过点 A(-1,0) ,B(3,0)
2

??1 ? a ? b ? 0 ?? ??9a ? 3a ? b ? 0 ?a ? 2 解得: ? ?b ? 3
∴抛物线的解析式为 y ? ? x ? 2 x ? 3
2

4) 顶点 D(1,
函数 y ?

? k ? 4 .…………………………………………………………………… 2 分

k ( x ? 0 , m 是常数)图象经过 D(1, , 4) x

(2)①设 G 点的坐标为 ? m, ? , 据题意,可得 E 点的坐标为 ? 1, ? ,F 点的坐标为 ? 0, ? ,

? ?

4? m?

? 4? ? m?

? ?

4? m?

? m ? 1 ,? FG ? m , DE ? 4 ?

4 . m 1 ? 4? ? 4? 由 △DFG 的面积为 4,即 m ? 4 ? ? ? 4 ,得 m ? 3 ,? 点 G 的坐标为 ? 3, ? . 2 ? m? ? 3?
………………………………………………… 3 分 ②直线 FC 和 DG 平行.理由如下: 方法 1:利用相似三角形的性质. , 据题意,点 C 的坐标为 (1 0) , FE ? 1 ,

4 4 , EG ? m ? 1 , DE ? 4 ? m m 4 4? GE m1 ? DE m ? m ?1 . ? ? ? m ? 1, ? 4 EF 1 CE m GE DE ? ? . EF CE ? ?D E G? ? F E C ∴△ DEG ∽△ FEC ? ? D G ? ?E C F E ? FC / / DG ………………………………………………… 5 分
? m ? 1 ,易得 EC ?
方法 2:利用正切值. , 据题意,点 C 的坐标为 (1 0) , FE ? 1 ,

? m ? 1 ,易得 EC ?

4 , EG ? m ? 1 , m GE m1 ? m FE 1 m ? ? ? , ? ? . ? tan ?EDG ? tan ?ECF DE 4 ? 4 4 CE 4 4 m m ? ? D G ? ?E C F E ? FC / / DG .
③解:方法 1:

? F C∥ D G ? 当 FD ? CG 时,有两种情况: , 当 FD ∥ CG 时,四边形 DFCG 是平行四边形, GE DE ? m ? 1 ,? m ? 1 ? 1 ,得 m ? 2 . ? 由上题得, EF CE
. ? 点 G 的坐标是(2,2) 设直线 DG 的函数解析式为 y ? kx ? b ,把点 D,G 的坐标代入,

?4 ? k ? b, ?k ? ?2, 解得 ? ?2 ? 2k ? b ?b ? 6. ? 直线 AB 的函数解析式是 y ? ?2 x ? 6 .…………………………………… 6 分 当 FD 与 CG 所在直线不平行时,四边形 ADCB 是等腰梯形, 则 DC ? FG ,? m ? 4 ,? 点 G 的坐标是(4,1) .
得?

设直线 AB 的函数解析式为 y ? kx ? b ,把点 D,G 的坐标代入,

?4 ? k ? b, ?k ? ?1, 解得 ? ?1 ? 4k ? b. ?b ? 5 ? 直线 AB 的函数解析式是 y ? ? x ? 5 .…………………………………… 7 分 综上所述,所求直线 DG 的函数解析式是 y ? ?2 x ? 6 或 y ? ? x ? 5 .
得? 方法 2. 在 Rt⊿DFE 中, FE ? 1 , DE ? 4 ?

4 m

? FD 2 ? FE 2 ? DE 2 ? 12 ? (4 ?
在 Rt⊿GEC 中, EC ?

4 2 ) m

4 , EG ? m ? 1 , m 4 ? CG 2 ? EC 2 ? EG 2 ? ( ) 2 ? (m ? 1) 2 m 2 ? FD ? CG ? FD ? CG 2 4 4 ?12 ? (4 ? ) 2 ? ( ) 2 ? (m ? 1) 2 m m 解方程得: m ? 2 或 m ? 4 当 m ? 2 时,点 G 的坐标是(2,2) . 设直线 DG 的函数解析式为 y ? kx ? b ,把点 D,G 的坐标代入, ?4 ? k ? b, ?k ? ?2, 得? 解得 ? ?2 ? 2k ? b ?b ? 6. ? 直线 AB 的函数解析式是 y ? ?2 x ? 6 . 当 m ? 4 时,? 点 G 的坐标是(4,1) . 设直线 AB 的函数解析式为 y ? kx ? b ,把点 D,G 的坐标代入, ?4 ? k ? b, ?k ? ?1, 得? 解得 ? ?1 ? 4k ? b. ?b ? 5 ? 直线 AB 的函数解析式是 y ? ? x ? 5 . 综上所述,所求直线 DG 的函数解析式是 y ? ?2 x ? 6 或 y ? ? x ? 5 .
注:不同解法酌情给分 24. 解: (1) S四边形DCC D =
1 1

1 ? (1 ? 5) ? 2 =6;…………………………1 分 2
……………………2 分 ……………………3 分
M D1 D C1 B1
O

CD1 4 = ; DD1 3 (3) CC1 ? DD1 .
(2)

C

证明:连接 CO, DO, C1O, D1O ,延长

CC1 交 DD1 于 M 点.如图所示:……4 分
由正方形的性质可知:

A1 B

CO ? DO, C1O ? D1O
?

?COD ? ?C1OD1 ? 45 , C ? ? ? ?C O D? ? 1 O D ?1 C O D ?1 C O D 1 即: ?COC1 ? ?DOD1

A

?△ COC1 ≌△ DOD1 ………………………………………5 分
??ODD1 ? ?OCC1
??CMD ? 90? 即: CC1 ? DD1 .

? ?C1CD ? ?OCC1 ? ?CDO ? 90?
………………………………………7 分

??C1CD ? ?ODD1 ? ?CDO ? 90?
25.解: (1)抛物线 C1 的解析式为 y ? ?( x ? 0)( x ? 4) ? ? x 2 ? 4 x ; 图中阴影部分的面积与△ POQ 的面积相同, S?POQ ?

1 ?8? 2 ? 8 . 2

∴阴影部分的面积为 8. …………………………………… 2 分 (2)由题意可知,抛物线 C1 只存在两个内接直角三角形. 当点 C 在抛物线 C1 上运动时线段 EF 的长度不会发生变化. 证明: ∵ MN 为⊙ D 的直径, EF ? MN ∴ BE ? BF , ?OBN ? ?MBF ? ?MBA ? 90 ∵ ?MAB ? ?CNM , ∴△ ABM ∽△ NBO ∴
?

MB AB ? , MB ? NB ? AB ? BO ? 5 BO NB ? 连接 FM , FN , ?MFN ? 90 ,在△ MBF 和△ FBN 中, ?BMF ? ?BFN , ?MBF ? ?FBN ? 90? ∴△ MBF ∽△ FBN …………………………………… 6 分 BF BM ? ∴ BN BF 2 ∴ BF ? MB ? NB ? 5 , BF ? 5
∴ EF ? 2 5 . …………………………………… 8 分