当前位置:首页 >> 高三数学 >>

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系(同步练习题)( 含答案)


24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系

1.如图,⊙O 的半径为 r.

(1)点 A 在⊙O 外,则 OA__>___r;点 B 在⊙O 上,则 OB__=___r;点 C 在⊙O 内, 则 OC__<___r. (2)若 OA>r,则点 A 在⊙O__外___;若 OB=r,则点 B 在⊙O__上___;若 OC<r,则 点 C 在⊙O__内___. 2.在同一平面内,经过一个点能作__无数___个圆;经过两个点可作__无数___个圆; 经过__不在同一直线上___的三个点只能作一个圆. 3.三角形的外心是三角形外接圆的圆心,此点是__三边垂直平分线的交点___. 4.反证法首先假设命题的__结论___不成立,经过推理得出矛盾,由此判定假设__错误 ___,从而得到原命题成立.

知识点 1:点与圆的位置关系 1.已知点 A 在直径为 8 cm 的⊙O 内,则 OA 的长可能是( D ) A.8 cm B.6 cm C.4 cm D.2 cm 2. 已知圆的半径为 6 cm, 点 P 在圆外, 则线段 OP 的长度的取值范围是__OP>6_cm___. 3.已知⊙O 的半径为 7 cm,点 A 为线段 OP 的中点,当 OP 满足下列条件时,分别指 出点 A 与⊙O 的位置关系: (1)OP=8 cm;(2)OP=14 cm;(3)OP=16 cm. 解:(1)在圆内 (2)在圆上 (3)在圆外

知识点 2:三角形的外接圆

4.如图,点 O 是△ABC 的外心,∠BAC=55°,则∠BOC=__110°___. 5. 直角三角形外接圆的圆心在__斜边的中点___上. 若直角三角形两直角边长为 6 和 8, 则该直角三角形外接圆的面积为__25π ___. 6.一个三角形的外心在其内部,则这个三角形是( C ) A.任意三角形 B.直角三角形

C.锐角三角形 D.钝角三角形 7.如图,一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口 A,B,C,这三个洞口不在同一条直线上, 请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口?作出这个位置.

解:图略.连接 AB,BC,分别作线段 AB,BC 的垂直平分线,且相交于点 O,点 O 即 为所求

知识点 3:反证法 8.用反证法证明:“垂直于同一条直线的两条直线平行”第一步先假设( D ) A.相交 B.两条直线不垂直 C.两条直线不垂直于同一条直线 D.垂直于同一条直线的两条直线相交 9.用反证法证明:“△ABC 中至少有两个锐角”,第一步假设为__△ABC 中至多有 一个锐角___. 10.用反证法证明:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线 平行. 已知:如图,直线 l1,l2 被 l3 所截,∠1+∠2=180°,求证:l1__∥___l2.

证明:假设 l1__不平行___l2,即 l1 与 l2 相交于一点 P, 则∠1+∠2+∠P__=___180°(__三角形内角和定理___), 所以∠1+∠2__<___180°, 这与__已知___矛盾, 故__假设___不成立, 所以__l1∥l2___.

11.在数轴上,点 A 所表示的实数为 3,点 B 所表示的实数为 a,⊙A 的半径为 2.下列 说法中,不正确的是( A ) A.当 a<5 时,点 B 在⊙A 内 B.当 1<a<5 时,点 B 在⊙A 内 C.当 a<1 时,点 B 在⊙A 外 D.当 a>5 时,点 B 在⊙A 外

12.如图,△ABC 的外接圆圆心的坐标是__(-2,-1)___. 13.在平面直角坐标系中,⊙A 的半径是 4,圆心 A 的坐标是(2,0),则点 P(-2,1) 与⊙A 的位置关系是__点 P 在⊙A 外___. 14.若 O 为△ABC 的外心,且∠BOC=60°,则∠BAC=__30°或 150°___. 15.如图,△ABC 中,AC=3,BC=4,∠C=90°,以点 C 为圆心作⊙C,半径为 r. (1)当 r 在什么范围时,点 A,B 在⊙C 外? (2)当 r 在什么范围时,点 A 在⊙C 内,点 B 在⊙C 外?

解:(1)0<r<3 (2)3<r<4

16.如图,⊙O′过坐标原点,点 O′的坐标为(1,1),试判断点 P(-1,1),Q(1,0), R(2,2)与⊙O′的位置关系.

解:点 P 在⊙O′外,点 Q 在⊙O′内,点 R 在⊙O′上

17.小明家的房前有一块矩形的空地,空地上有三棵树 A,B,C,小明想建一个圆形 花坛,使三棵树都在花坛的边上. (1)请你帮小明把花坛的位置画出来;(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) (2)若在△ABC 中, AB=8 米,AC=6 米, ∠BAC=90°,试求小明家圆形花坛的面积.

解: (1)用尺规作出两边的垂直平分线, 交于 O 点, 以 O 为圆心, OA 长为半径作出⊙O, ⊙O 即为所求作的花坛的位置(图略) (2)25π 平方米

18.如图①,在△ABC 中,BA=BC,D 是平面内不与点 A,B,C 重合的任意一点, ∠ABC=∠DBE,BD=BE. (1)求证:△ABD≌△CBE; (2)如图②,当点 D 是△ABC 的外接圆圆心时,请判断四边形 BECD 的形状,并证明你 的结论.

解: (1)由 SAS 可证 (2)四边形 BECD 是菱形. 证明: ∵△ABD≌△CBE, ∴CE=AD.∵ 点 D 是△ABC 的外接圆圆心,∴DA=DB=DC.又∵BD=BE,∴BD=BE=EC=CD,∴四 边形 BECD 是菱形

24.2.2 直线和圆的位置关系 第 1 课时 直线和圆的位置关系

1.直线和圆有__相交___、__相切___、__相离___三种位置关系. 2.直线 a 与⊙O__有唯一___公共点,则直线 a 与⊙O 相切;直线 b 与⊙O__有两个___ 公共点,则直线 b 与⊙O 相交;直线 c 与⊙O__没有___公共点,则直线 c 与⊙O 相离. 3.设⊙O 的半径为 r,直线到圆心的距离为 d,则: (1)直线 l1 与⊙O__相离___,则 d__>___r; (2)直线 l2 与⊙O__相切___,则 d__=___r; (3)直线 l3 与⊙O__相交___,则 d__<___r.

知识点 1:直线与圆的位置关系的判定 1.(2014· 白银)已知⊙O 的半径是 6 cm,点 O 到同一平面内直线 l 的距离为 5 cm,则直 线 l 与⊙O 的位置关系是( A ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断 2.已知一条直线与圆有公共点,则这条直线与圆的位置关系是( D ) A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交 3.在平面直角坐标系 xOy 中,以点(-3,4)为圆心,4 为半径的圆( C ) A.与 x 轴相交,与 y 轴相切 B.与 x 轴相离,与 y 轴相交 C.与 x 轴相切,与 y 轴相交 D.与 x 轴相切,与 y 轴相离 4.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=4 cm,BC=2 cm,以 C 为圆心,r 为半径的圆与 AB 有何种位置关系?请你写出判断过程. (1)r=1.5 cm;(2)r= 3 cm;(3)r=2 cm. 解:过点 C 作 CD⊥AB,垂足为 D,可求 CD= 3.(1)r=1.5 cm 时,相离;(2)r= 3 cm 时,相切; (3)r=2 cm 时,相交

知识点 2:直线与圆的位置关系的性质 5.直线 l 与半径为 r 的⊙O 相交,且点 O 到直线 l 的距离为 5,则半径 r 的取值范围是 (A ) A.r>5 B.r=5 C.0<r<5 D.0<r≤5

6.如图,⊙O 的半径 OC=5 cm,直线 l⊥OC,垂足为 H,且 l 交⊙O 于 A,B 两点, AB=8 cm,则 l 沿 OC 所在的直线向下平移,当 l 与⊙O 相切时,平移的距离为( B ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 7.已知⊙O 的圆心 O 到直线 l 的距离为 d,⊙O 的半径为 r,若 d,r 是方程 x2-4x+m =0 的两个根,且直线 l 与⊙O 相切,则 m 的值为__4___. 8.在 Rt△ABC 中,∠A=90°,∠C=60°,BO=x,⊙O 的半径为 2,求当 x 在什么

范围内取值时,AB 所在的直线与⊙O 相交、相切、相离?

1 1 解:过点 O 作 OD⊥AB 于 D,可得 OD= OB= x.当 AB 所在的直线与⊙O 相切时, 2 2 OD=r=2,∴BO=4,∴0<x<4 时,相交;x=4 时,相切;x>4 时,相离

9.已知⊙O 的面积为 9π cm2,若点 O 到直线 l 的距离为π cm,则直线 l 与⊙O 的位 置关系是( C ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 10.已知⊙O 的半径为 3,直线 l 上 有一点 P 满足 PO=3,则直线 l 与⊙O 的位置关系 是( D ) A.相切 B.相离 C.相离或相切 D.相切或相交 11.已知⊙O 的半径为 r,圆心 O 到直线 l 的距离为 d.若直线 l 与⊙O 相切,则以 d,r 为根的一元二次方程可能为( B ) A.x2-3x=0 B.x2-6x+9=0 C.x2-5x+4=0 D.x2+4x+4=0

12.如图,在矩形 ABCD 中,AB=6,BC=3,⊙O 是以 AB 为直径的圆,则直线 DC 与⊙O 的位置关系是__相切___. 13.已知⊙O 的半径是 5,圆心 O 到直线 AB 的距离为 2,则⊙O 上有且只有__3___个 点到直线 AB 的距离为 3. 14.如图,⊙P 的圆心 P(-3,2),半径为 3,直线 MN 过点 M(5,0)且平行于 y 轴,点 N 在点 M 的上方. (1)在图中作出⊙P 关于 y 轴对称的⊙P′, 根据作图直接写出⊙P′与直线 MN 的位置关系; (2)若点 N 在(1)中的⊙P′上,求 PN 的长.

解:(1)图略,⊙P′与直线 MN 相交 (2)连接 PP′并延长交 MN 于点 Q,连接 PN,P′ N.由题意可知:在 Rt△P′QN 中,P′Q=2,P′N=3,由勾股定理可求出 QN= 5;在 Rt△PQN 中,PQ=3+5=8,QN= 5,由勾股定理可求出 PN= 82+( 5)2= 69

15.如图,半径为 2 的⊙P 的圆心在直线 y=2x-1 上运动. (1)当⊙P 和 x 轴相切时,写出点 P 的坐标,并判断此时 y 轴与⊙P 的位置关系; (2)当⊙P 和 y 轴相切时,写出点 P 的坐标,并判断此时 x 轴与⊙P 的位置关系; (3)⊙P 是否能同时与 x 轴和 y 轴相切?若能,写出点 P 的坐标;若不能,说明理由.

解:∵⊙P 的圆心在直线 y=2x-1 上,∴圆心坐标可设为(x,2x-1).(1)当⊙P 和 x 轴相切时,2x-1=2 或 2x-1=-2,解得 x=1.5 或 x=-0.5,∴P1(1.5,2),P2(-0.5,- 2).∵1.5<2,|-0.5|<2,∴y 轴与⊙P 相交 (2)当⊙P 和 y 轴相切时,x=2 或-2,得 2x -1=3 或 2x-1=-5,∴P1(2,3),P2(-2,-5).∵|-5|>2,且|3|>2,∴x 轴与⊙P 相离 (3)不能.∵当 x=2 时,y=3,当 x=-2 时,y=-5,|-5|≠2,3≠2,∴⊙P 不能同时与 x 轴和 y 轴相切

16.已知∠MAN=30°,O 为边 AN 上一点,以 O 为圆心,2 为半径作⊙O,交 AN 于 D,E 两点,设 AD=x. (1)如图①,当 x 取何值时,⊙O 与 AM 相切? (2)如图②,当 x 取何值时,⊙O 与 AM 相交于 B,C 两点,且∠BOC=90°?

解:(1)过 O 点作 OF⊥AM 于 F,当 OF=r=2 时,⊙O 与 AM 相切,此时 OA=4,故 x=AD=2 (2)过 O 点作 OG⊥AM 于 G,∵OB=OC=2,∠BOC=90°,∴BC=2 2,∴BG=CG = 2,∴OG= 2.∵∠A=30°,∴OA=2 2,∴x=AD=2 2-2

第 2 课时 切线的判定与性质

1.经过半径的__外端___,并且__垂直___于这条半径的直线是圆的切线. 2.圆的切线必__垂直___于过__切点___的半径.

知识点 1:切线的判定 1.下列说法中,正确的是( D ) A.AB 垂直于⊙O 的半径,则 AB 是⊙O 的切线 B.经过半径外端的直线是圆的切线 C.经过切点的直线是圆的切线 D.圆心到直线的距离等于半径,那么这条直线是圆的切线

2.如图,△ABC 的一边 AB 是⊙O 的直径,请你添加一个条件,使 BC 是⊙O 的切线, 你所添加的条件为__∠ABC=90°___. 3.如图,点 D 在⊙O 的直径 AB 的延长线上,点 C 在⊙O 上,AC=CD,∠D=30°. 求证:CD 是⊙O 的切线.

解: 连接 OC.∵AC=CD, ∠D=30°, ∴∠A=∠D=30°.∵OA=OC, ∴∠OCA=∠A =30°,∴∠COD=60°,∴∠OCD=90°,∴OC⊥CD,∴CD 是⊙O 的切线

4.(2014· 孝感)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°. (1)先作∠ABC 的平分线交 AC 边于点 O,再以点 O 为圆心,OC 为半径作⊙O;(要求: 尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) (2)请你判断(1)中 AB 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论.

解:(1)如图 (2)AB 与⊙O 相切.证明:作 OD⊥AB 于点 D,∵BO 平分∠ABC,∠ ACB=90°,OD⊥AB,∴OD=OC,∴AB 与⊙O 相切

知识点 2:切线的性质 5.(2014· 邵阳)如图,△ABC 的边 AC 与⊙O 相交于 C,D 两点,且经过圆心 O,边 AB 与⊙O 相切,切点为 B.已知∠A=30°,则∠C 的大小是( A ) A.30° B.45° C.60° D.40°

,第 5 题图) ,第 6 题图) ,第 7 题图) 6.如图,⊙O 的半径为 3,P 是 CB 延长线上一点,PO=5,PA 切⊙O 于 A 点,则 PA =__4___. 7. 如图, 已知△ABC 内接于⊙O, BC 是⊙O 的直径, MN 与⊙O 相切于点 A.若∠MAB =30°,则∠B=__60°___. 8.如图,等腰△OAB 中,OA=OB,以点 O 为圆心作圆与底边 AB 相切于点 C.求证: AC=BC.

解:∵AB 切⊙O 于点 C,∴OC⊥AB.∵OA=OB,∴AC=BC

9.如图,AB 为⊙O 的直径,PD 切⊙O 于点 C,交 AB 的延长线于点 D,且 CO=CD, 则∠PCA=( D ) A.30° B.45° C.60° D.67.5°

,第 10 题图) ,第 11 题 图) 10.如图,已知线段 OA 交⊙O 于点 B,且 OB=AB,点 P 是⊙O 上的一个动点,那么 ∠OAP 的最大值是( A ) A.30° B.45° C.60° D.90° ︵ 11.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,AD 切⊙O 于点 A,点 C 是EB的中点,则下列结论 不成立的是( D ) A.OC∥AE B.EC=BC C.∠DAE=∠ABE D.AC⊥OE 12. (2014· 自贡)如图, 一个边长为 4 cm 的等边三角形 ABC 的高与⊙O 的直径相等. ⊙O 与 BC 相切于点 C,与 AC 相交于点 E,则 CE 的长为__3___cm.

,第 9 题图)

,第 12 题图) ,第 13 题图) 13.如图,直线 PA 过半圆的圆心 O,交半圆于 A,B 两点,PC 切半圆于点 C,已知 PC=3,PB=1,则该半圆的半径为__4___. 14.(2014· 毕节)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以 AC 为直径作⊙O 交 AB 于 点 D,连接 CD. (1)求证:∠A=∠BCD. (2)若 M 为线段 BC 上一点,试问当点 M 在什么位置时,直线 DM 与⊙O 相切?并说明 理由.

解:(1)∵AC 为直径,∴∠ADC=90°,∴∠A+∠ACD=90°.∵∠ACB=90°,∴ ∠BCD+∠ACD=90°,∴∠A=∠BCD (2)当点 M 是 BC 的中点时,直线 DM 与⊙O 相 切.理由:如图,连接 DO.∵DO=CO,∴∠1=∠2.∵∠BDC=90°,点 M 是 BC 的中点, ∴DM=CM,∴∠4=∠3.∵∠2+∠4=90°,∴∠1+∠3=90°,∴直线 DM 与⊙O 相切

15.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 P 是 AB 延长线上的一个动点,过点 P 作⊙O 的 切线,切点为 C,∠APC 的平分线交 AC 于点 D,求∠CDP 的度数.

解:∵PC 是⊙O 的切线,∴OC⊥OP,即∠OCP=90°.∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,∴∠ACB-∠OCB=∠OCP-∠OCB,即∠ACO=∠BCP.又 OA=OC,∴∠A= ∠ACO, ∴∠BCP=∠BAC.∵PD 是∠APC 的平分线, ∴∠CPD=∠APD.∵∠ABC=∠CPD +∠APD+∠BCP,∠BAC+∠ABC=90°,∴∠BAC+∠CPD+∠APD+∠BCP=90°, ∴∠CDP=∠APD+∠BAC=45°

16.(2014· 德州)如图,⊙O 的直径 AB 为 10 cm,弦 BC 为 6 cm,D,E 分别是∠ACB 的平分线与⊙O,AB 的交点,P 为 AB 延长线上一点,且 PC=PE. (1)求 AC,AD 的长; (2)试判断直线 PC 与⊙O 的位置关系,并说明理由.

解: (1) 连接 BD.∵AB 是直径 , ∴∠ ACB =∠ADB = 90 ° . 在 Rt △ ABC 中 , AC = ︵ ︵ AB2-BC2= 102-62=8(cm).∵CD 平分∠ACB,∴AD=BD,∴AD=BD.在 Rt△ABD 2 2 中,AD2+BD2=AB2,∴AD= AB= ×10=5 2(cm) 2 2 (2)直线 PC 与⊙O 相切.理由:连接 OC.∵OC=OA,∴∠CAO=∠OCA.∵PC=PE, ∴∠PCE=∠PEC.∵∠PEC=∠CAE+∠ACE,∴∠PCB+∠ECB=∠CAE+∠ACE.∵CD 平分∠ACB,∴∠ACE=∠ECB,∴∠PCB=∠CAE,∴∠PCB=∠ACO.∵∠ACB=90°, ∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°,∴OC⊥PC,∴直线 PC 与 ⊙O 相切

第 3 课时 切线长定理

1.经过__圆外___一点作圆的切线,这点与切点之间__线段___的长,叫做这点到圆的 切线长. 2.圆的切线长定理:从圆外一点可以引圆的__两___条切线,它们的切线长__相等___, 这一点和圆心的连线__平分___两条切线的夹角. 3. 与三角形各边都__相切___的圆叫做三角形的内切圆, 圆心叫做三角形的__内___心, 它是三角形__三条角平分线___的交点.

知识点 1:切线长定理 1.如图,从⊙O 外一点 P 引⊙O 的两条切线 PA,PB,切点分别为 A,B.如果∠APB =60°,PA=8,那么弦 AB 的长是( B ) A.4 B.8 C.4 3 D.8 3

,第 1 题图) ,第 2 题图) 2.如图,半圆 O 与等腰直角三角形两腰 CA,CB 分别切于 D,E 两点,直径 FG 在 AB 上,若 BG= 2-1,则△ABC 的周长为( A ) A.4+2 2 B.6 C.2+2 2 D.4

3.(2014· 天水)如图,PA,PB 分别切⊙O 于点 A,B,点 C 在⊙O 上,且∠ACB=50°, 则∠P=__80°___. 4.如图,PA,PB 是⊙O 的两条切线,A,B 为切点,∠OAB=30°. (1)求∠APB 的度数; (2)当 OA=3 时,求 AP 的长.

解:(1)∠APB=60° (2)AP=3 3

知识点 2:三角形的内切圆

5.如图,点 O 是△ABC 的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,则∠BOC=( A ) A.130° B.120° C.100° D.90° 6. 已知△ABC 的周长为 24, 若△ABC 的内切圆半径为 2, 则△ABC 的面积为__24___. 7.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则△ABC 的内切圆的半径为__2___. 8. 如图, △ABC 的内切圆⊙O 与 BC, CA, AB 分别相切于点 D, E, F, 且 AB=18 cm, BC=28 cm,CA=26 cm,求 AF,BD,CE 的长.

解:根据切线长定理得 AE=AF,BF=BD,CE=CD.设 AE=AF= x cm,则 CE=CD =(26-x) cm,BF=BD=(18-x) cm.∵BC=28 cm,∴(18-x)+(26-x)=28,解得 x=8, ∴AF=8 cm,BD=10 cm,CE=18 cm

9.正三角形的内切圆半径为 1,那么三角形的边长为( B ) A.2 B.2 3 C. 3 D.3 10.如图,AB,AC 与⊙O 相切于点 B,C,∠A=50°,点 P 是圆上异于 B,C 的一 动点,则∠BPC 的度数是( C ) A.65° B.115° C.65°或 115° D.130°或 50°

,第 10 题图) ,第 11 题图) 11. (2014· 泰安)如图, P 为⊙O 的直径 BA 延长线上的一点, PC 与⊙O 相切, 切点为 C, 点 D 是⊙O 上一点,连接 PD.已知 PC=PD=BC.下列结论: (1)PD 与⊙O 相切;(2)四边形 PCBD 是菱形;(3)PO=AB;(4)∠PDB=120°. 其中正确的个数为( A ) A.4 B.3 C.2 D.1 12.如图,已知 PA,PB 分别切⊙O 于点 A,B,点 C 在⊙O 上,∠BCA=65°,则∠P =__50°___.

,第 12 题图) ,第 13 题图) 13.如图,PA,PB 分别与⊙O 相切于点 A,B,⊙O 的切线 EF 分别交 PA,PB 于点 E, ︵ F,切点 C 在AB上,若 PA 长为 2,则△PEF 的周长是__4___. 14.如图,点 I 为△ABC 的内心,点 O 为△ABC 的外心,若∠BOC=140°,求∠BIC 的度数.

解:∵点 O 为△ABC 的外心,∠BOC=140°,∴∠A=70°.又∵点 I 为△ABC 的内 1 1 心,∴∠BIC=180°- (180°-∠A)=90°+ ∠A=125° 2 2

15.如图,PA,PB 是⊙O 的切线,A,B 为切点,AC 是⊙O 的直径,AC,PB 的延长 线相交于点 D. (1)若∠1=20°,求∠APB 的度数; (2)当∠1 为多少度时,OP=OD?并说明理由.

解:(1)∵PA 是⊙O 的切线,∴∠BAP=90°-∠1=70°.又∵PA,PB 是⊙O 的切线, ∴PA=PB,∴∠BAP=∠ABP=70°,∴∠APB=180°-70°×2=40° (2)当∠1=30° 时, OP=OD.理由: 当∠1=30°时, 由(1)知∠BAP=∠ABP=60°, ∴∠APB=180°-60° 1 ×2=60°.∵PA,PB 是⊙O 的切线,∴∠OPB= ∠APB=30°.又∵∠D=∠ABP-∠1= 2 60°-30°=30°,∴∠OPB=∠D,∴OP=OD

16.如图,AB 是⊙O 的直径,AM 和 BN 是它的两条切线,DE 切⊙O 于点 E,交 AM 于点 D,交 BN 于点 C,F 是 CD 的中点,连接 OF. (1)求证:OD∥BE; (2)猜想:OF 与 CD 有何数量关系?并说明理由.

解: (1)连接 OE, ∵AM, DE 是⊙O 的切线, OA, OE 是⊙O 的半径, ∴∠ADO=∠EDO, 1 ∠DAO=∠DEO=90°, ∴∠AOD=∠EOD= ∠AOE.∵∠ABE=∠OEB, ∠ABE+∠OEB 2 1 =∠AOE,∴∠ABE= ∠AOE,∴∠AOD=∠ABE,∴OD∥BE 2 1 (2)OF= CD,理由:连接 OC,∵BC,CE 是⊙O 的切线,∴∠OCB=∠OCE.同理: 2 ∠ADO=∠EDO.∵AM∥BN,∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°,∴∠EDO+ 1 ∠OCE=90°,∴∠DOC=90°.在 Rt△DOC 中,∵F 是 DC 的中点,∴OF= CD 2

专题训练(七) 切线证明的方法 一、有交点,连半径,证垂直 (一)利用角度转换证垂直 1.如图,AB 是⊙O 的弦,OD⊥OB,交 AB 于 E,且 AD=ED.求证:AD 是⊙O 的切 线.

解: 连接 OA.∵OA=OB, ∴∠B=∠OAB.又∵AD=DE, ∴∠DAE=∠DEA, 而∠DEA =∠BEO,∠B+∠BEO=90°,∴∠DAE+∠OAB=90°,∴OA⊥AD,∴AD 是⊙O 的 切线

2.如图,△ABC 内接于⊙O,∠B=60°,CD 是⊙O 的直径,点 P 是 CD 延长线上的 一点,且 AP=AC.求证:PA 是⊙O 的切线.

解:连接 OA.∵∠B=60°,∴∠AOC=120°,∴∠AOP=60°,∵OA=OC,∴∠ 1 OAC=∠ACP= ∠AOP=30°,又∵AP=AC,∴∠P=∠ACP=30°,∴∠PAO=90°, 2 ∴OA⊥AP,∴PA 是⊙O 的切线

(二)利用全等证垂直

3.如图,AB 是⊙O 的直径,BC⊥AB 于点 B,连接 OC,弦 AD∥OC.求证:CD 是⊙O 的切线.

解:连接 OD.由 SAS 证△CBO≌△CDO,得∠CDO=∠CBO=90°,∴CD⊥OD,∴ CD 是⊙O 的切线

(三)利用勾股定理逆定理证垂直 4.如图,AB 为⊙O 的直径,点 P 为 AB 延长线上一点,点 C 为⊙O 上一点,PC=8, PB=4,AB=12.求证:PC 是⊙O 的切线.

解:连接 OC.根据题意,可得 OC=6,PO=10,PC=8,∴OC2+PC2=PO2,∴△POC 为直角三角形且∠PCO=90°,∴OC⊥CP,∴PC 是⊙O 的切线

二、无交点,作垂直,证半径 5.如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,以 D 为圆心的圆与 AB 相切于点 E.求证:AC 与⊙D 相切.

解:连接 DE,过 D 作 DF⊥AC 于 F,易证△BDE≌△CDF,∴DF=DE,∴AC 与⊙O 相切

6.如图,同心圆 O,大圆的弦 AB=CD,且 AB 是小圆的切线,切点为 E.求证:CD 是小圆的切线.

解: 连接 OE, 过 O 作 OF⊥CD 于 F.∵AB 与小⊙O 切于点 E, ∴OE⊥AB, ∵AB=CD, ∴OE=OF,∴CD 与小⊙O 相切

7.如图,AB 是⊙O 的直径,AM,BN 分别切⊙O 于点 A,B,CD 交 AM,BN 于点 D, C,DO 平分∠ADC. (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若 AD=4,BC=9,求⊙O 的半径 R.

解: (1)过 O 作 OE⊥CD 于点 E.∵AM 切⊙O 于点 A, ∴OA⊥AD, 又∵DO 平分∠ADC, ∴OE=OA, ∴CD 是⊙O 的切线 (2)过 D 点作 DF⊥BC 于点 F, 易证四边形 ABFD 是矩形, ∴AD=BF,AB=DF,又∵AD=4,BC=9,∴FC=9-4=5.又∵AM,BN,CD 分别切⊙O 于点 A,B,E,∴DA=DE,CB=CE,∴DC=AD+BC=4+9=13.在 Rt△DFC 中,DC2 =DF2+FC2,∴DF=12,∴AB=12,∴⊙O 的半径 R 是 6

三、与切线证明方法有关的综合问题 8.(2014· 江西)如图①,AB 是⊙O 的直径,点 C 在 AB 的延长线上,AB=4,BC=2, P 是⊙O 上半部分的一个动点,连接 OP,CP. (1)求△OPC 的最大面积; (2)求∠OCP 的最大度数; (3)如图②,延长 PO 交⊙O 于点 D,连接 DB,当 CP=DB 时,求证:CP 是⊙O 的切 线.

解:(1)△OPC 的边长 OC 是定值,∴当 OP⊥OC 时,OC 边上的高为最大值,此时△ 1 OPC 的面积最大. ∵AB=4, BC=2, ∴OP=OB=2, OC=OB+BC=4, ∴S△OPC= · OC· OP 2 1 = ×4×2=4,即△OPC 的最大面积为 4 (2)当 PC 与⊙O 相切,即 OP⊥PC 时,∠OCP 2 的度数最大,可求∠OCP=30° (3) 连接 AP , BP. ∵∠ AOP =∠DOB , ∴ AP = DB.∵CP = DB , ∴ AP = PC , ∴∠ A = ∠C.∵∠A=∠D,∴∠C=∠D.∵OC=PD=4,PC=DB,∴△OPC≌△PBD,∴∠OPC= ∠PBD.∵PD 是⊙O 的直径,∴∠PBD=90°,∴∠OPC=90°,∴OP⊥PC.又∵OP 是⊙O 的半径,∴CP 是⊙O 的切线


赞助商链接
相关文章:
...24.2.2 直线和圆的位置关系练习 (新版)新人教版
直线和圆的位置关系练习 (新版)新人教版_初三数学_...的内切圆,与 AB,BC,CA 分别切于点 D,E,F,∠...求∠A 的度数. 参考答案 1.B 2.D 3.A 4.50...
24.2.2 直线与圆的位置关系 第1课时
导入三: 复习提问: 1.点和圆的位置关系有几种? 2.什么是点到直线的距离? 【设计意图】利用动画图片、动手操作形式导入新课,既能调动学生的学习兴趣,又能非常 ...
高二数学直线与圆的位置关系练习题及答案
高二数学直线与圆的位置关系练习题答案_数学_高中教育_教育专区。高二数学直线...C 是 AB 的三等分点,连接 OC 并延长交⊙ O 于点 D.若 OC=3,CD=2,则...
点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系复习指导(含答案)
点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系复习指导(含答案)_数学_高中教育_教育...设圆的半径为 r, 点到圆心的距离为 d 2.直线和圆的位置关系: 直线与圆...
九年级数学上册24.2.2直线和圆的位置关系3教案
九年级数学上册24.2.2直线和圆的位置关系3教案_...切线长的定义: 经过圆外一点作圆的切线,这点和...2 A O B 答案:5;6 归纳:切线长问题辅助线添加...
...中考数学《直线与圆的位置关系》专题练习含答案
〖中考数学专题〗2018中考数学《直线与圆的位置关系》专题练习含答案_数学_初中教育_教育专区。北京市东城区普通中学 2018 届初三数学中考复习 直线与圆的位置关系 ...
第24章《圆》易错题集(03):24.2+点、直线和圆的位置关系
第24章《圆》易错题集(03):24.2+点、直线和圆的位置关系_初三数学_数学_...( ) A、10cm B、6cm C、10cm 或 6cm D、以上答案均不对 28、 (2005?...
(华师大版)九年级数学下:27.2.2直线与圆的位置关系(含...
(华师大版)九年级数学下:27.2.2直线与圆的位置关系(含答案) - 27.2.2 直线与圆的位置关系 一.选择题(共 8 小题) 1.已知⊙ O 的半径是 6cm,点 O ...
...数学第二章直线与圆的位置关系单元考试试题及答案
2018年浙教版九年级下册数学第直线与圆的位置关系单元考试试题及答案_初中教育_教育专区。第直线与圆的位置关系单元检测卷 姓名:___ 班级:___ 题号 评...
九年级数学直线与圆的位置关系练习题1
3.1 直线与圆的位置关系(1)同步练习 ◆基础训练 1...则以点 B 为圆心, 2 长 为半径的圆与直线 AC,...请求出受影响的时间. 4 答案: 1.略 2.10 3.相离...
更多相关标签: