当前位置:首页 >> 数学 >>

3.1.1直线的倾斜角与斜率(优质课)


问题1:如何确定一条直线在直角坐标 系的位置呢? 两点或一点和方向
y

问题2:如果已知一点还需附加什么条 件,才能确定直线? 一点和方向
问题3:如何表示方向?
o

x

用角

直线的倾斜角
y

l
α o x

我们取x轴为 基准,x轴正向 与直线 l 向上的 方向之间所成的 角α叫做直线 l 的倾斜角。

1、直线的倾斜角
规定:当直线和x轴平行或重合时, 它的倾斜角为0°
y o

?

p

l
x

y

l

y o p

y

p o

?x

?x

p

o

l x

l

由此我们得到直线倾斜角α的范围为:

?

o o ? [ 0 ,180 )

看看这三条直线,它们倾斜角 的大小关系是什么?

l1 y
想一想
o

l2

l3
x

想一想 你认为下列说法对吗? 1、所有的直线都有唯一确定的倾斜 角与它对应。

2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。

问题引入
日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

升高量 坡度(比) ? 前进量

升 高 量 前进量

描述直线倾斜程度的量——直线的斜率

2、直线的斜率
定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切
叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示,即:

k ? tan ? ,0 ? ? ? 180
0

0

倾斜角是90 °的直线没有斜率。
k ? tan 45? ? 1 例如:直线 l的倾斜角为 45? , 则斜率为:

k ? tan120? ? ? 3 直线l的倾斜角为 120? , 则斜率为:

想一想

我们知道,两点也可以唯一确定一条直线。 所以我们的问题是: 如果知道直线上的两点,怎么样 来求直线的斜率(倾斜角)呢?

3、探究:由两点确定的直线的斜率 k ? tan ?

锐角
y
y2
y1

能不能构造 一个直角三 如图,当 α为锐角时, 角形去求? P2 ( x2 , y2 )

?
P 1 ( x1 , y1 )

? ? ?P2 P 1Q,

Q( x2 , y1 )

且x1 ? x2 , y1 ? y2

QP2 y2 ? y1 k ? tan? ? tan?P2 P ? 1Q ? P x2 ? x1 1Q

o

?

x1

x2

x

在Rt?P2 P 1Q中

思考?
1、当直线平行于y轴,或与y轴重合时, k不存在 上述公式还适用吗?为什么?

? ? 90 , tan90 (不存在)
? ?

y

y2

P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1

y1

o

x 答:斜率不存在, 因为分母为0。

) 2、已知直线上两点 A(a1 , a2 )、 B(b1 , b2, 运用上述公式计算直线AB的斜率时,与 A、B的顺序有关吗?

b2 ? a2 k AB ? b1 ? a1

?

a2 ? b2 kBA ? a1 ? b1

答:与A、B两点的顺序无关。

3、直线的斜率公式:
综上所述,我们得到经过两点 P 1 ( x1, y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )的直线的斜率公式:

y2 ? y1 y1 ? y2 当x1=x2时,公式 k? (或k ? ) 不适用,此时 x2 ? x1 x1 ? x2
α=90
o

1.当直线P1P2平行于x轴或与x轴重合时,用上述 公式求斜率. 由y1=y2,得 k=0 2.当直线P1P2平行于y轴或与y轴重合时,上述公式 由x1=x2,分母为零,斜率k不存在 还适用吗?为什么?

P2

P1

P1

P2

四、小结:
1、直线的倾斜角定义及其范围: 0? ? ? ? 180? ? 2、直线的斜率定义: k ? tan a (a ? 90 ) 3、斜率k与倾斜角? 之间的关系:

y2 ? y1 y1 ? y2 4、斜率公式:k ? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2

?a ? 0? ? k ? tan0? ? 0 ? ? ? 0 ? a ? 90 ? k ? tan a ? 0 ? ? ? ?a ? 90 ? tan a(不存在) ? k不存在 ?90? ? a ? 180? ? k ? tana ? 0 ?

例1 、如图,已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2), 求直线AB、BC、CA的斜率,并判断这 些直线的 倾斜角是什么角? y. B . A 解: . . . . . . . o x 2?2 . ?0 直线AB的斜率 k ?
AB

直线BC的斜率 kBC 直线CA的斜率 kCA

?2?2 ?4 1 ? ? ?? 0 ? (?8) 8 2

?8? 4

C

∵ k AB ? 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ k BC ? 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA ? 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角

2 ? ( ?2 ) 4 ? ? ?1 4?0 4

例2 . 已知点A(3,2),B(-4,1),C(0,-l),求 直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角.

例3 在平面直角坐标系中,画出经过原点且 斜率分别为1,-1,2及-3的直线l1,l2,l3及l4.
l4 l2

y

l3

l1

思考:斜率随倾斜角 逐渐变大是怎样的变 化?

o

x

练习:判断正误:
①直线的倾斜角为α,则直线的斜率为 tan( ? ) ②直线的斜率为 t an ? ,则它的倾斜角为 ? ( ) ③因为所有直线都有倾斜角,所以所有直线都有 斜率。 ( ) ④因为平行于y轴的直线的斜率不存在,所以平 行于y轴的直线的倾斜角不存在 ( ) ⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大 ( )

y

o
例4、(1)直线的倾斜角为 ? ,且 则直线的斜率k的取值范围是______ [1, 3] 。

x
450 ? ? ? 600

(2)直线的倾斜角为 ? ,且 450 ? ? ? 1350 [1, ??) (??, ? 1] 则直线的斜率k的取值范围是_______ 。 (3)设直线的斜率为k,且 ?1 ? k ? 1 ,则直线 [00 , 450 ) [1350 ,1800 ) 的倾斜角?的取值范围是_______。 小结:1.由()( 1 2)得出:若?的范围不含900,则k范围取中间

若?的范围含900,则k范围取两边 2.由(3)得:负 ? k ? 正,应将k值分为正负两部分,

再求角范围

练习、 填空 0 3 (1) 若? ? 60 则k=________ 0 若k ? ? 3, 则? ? ________ 120 0 0 3 ? ? ( 30 , 60 ) ( 2) 若 ,则 k ? ( ____ , ; 3)
3

( 3 )若k ? (?1,1) 则 ? 的取值范围 0 0 0 [0, 45 ) (135 ,180 ) _________ 0 0 若? ? (60 ,150 ),则K的取值范围___
(??, ? 3 ) ( 3, ??)

3 0 0 (120 ,150 ) 若 k ? (? 3,? ), 则? ? _____ 3

(3,2),( B -4,1),C(0, ?1 ), 例5:已知点 A

(1).求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这 些直线的倾斜角是锐角还是钝角 (2).过点C的直线 l 与线段AB有公共点, 求 l 的斜率k的取值范围

y
A B

oC

1? 2 1 解:(1)k AB ? ? 锐角 ?4 ? 3 7 ?1 ? 1 1 k BC ? ?? 钝角 0 ? ( ?4) 2 xkCA ? ?1 ? 2 ? 1 锐角 0?3 1 (2)k ?[1,+?) (-?,- ] 2

一半

例6:已知直线AB的斜率为 l 的倾斜角是 直线AB的倾斜角 ?的两倍,求直线 l 的斜率.
3 24 4 解:k ? tan 2? ? ? ? 2 1 ? tan ? 1 ? ( 3 ) 2 7 4
解:kl ? 2k AB
错解 2?

3 ,直线 4

3 3 ? 2? ? 2 4 tan 2?

? ? 2 tan 2 tan 3 2k 2 2 解:由 tan ? ? 得: ? ? ,即 2 4 1 ? k 2? 2? 1 ? tan 1 ? tan 2 2 1 2 3k ? 8k ? 3 ? 0, 解得:k1 ? 或k2 ? ?3 (舍) 3

例4 从 M? 2 , 2 ? 射出一条光线 , 经过x 轴反射 后过点N( ? 8 , 3 ) , 求反射点 P 的坐标

解:设P(x,0) N(-8,3)
因为入射角等于反射角
? K MP ? ?K PN
M(2,2)

? ?
P

2 3 ? 2?x 8? x

解得 x ? ?2

? 反射点 P ( ?2,0)


赞助商链接
相关文章:
直线的倾斜角和斜率优质课比赛说课稿 精品
直线的倾斜角和斜率优质课比赛说课稿 精品 - 说课 高中数学必修二 3.1.1 直线的倾斜角与斜率 《直线的倾斜角和斜率》说课稿 课题:人教 A 版必修二,第三章第...
3.1.1直线的倾斜角与斜率题型全归纳
3.1.1直线的倾斜角与斜率题型全归纳 - 3.1.1 直线的倾斜角与斜率题型全归纳 【知识梳理】 1.倾斜角的定义:当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x ...
人教版高中数学必修二 3.1 直线的倾斜角与斜率 教学设...
人教版高中数学必修二 3.1 直线的倾斜角与斜率 教学设计(全国一等奖)_数学_高中...五、 学法与教法: (1)、本节课采用的是教师设疑诱思、问题导学;学生动手...
3.1.1倾斜角与斜率
3.1.1倾斜角与斜率 - 3.1.1 倾斜角与斜率 一.教学目标 知识与技能: 理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公 式;通过直线倾斜角概念的...
第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 教案
直线的倾斜角与斜率教案 A 第 1 课时教学内容:3.1.1 倾斜角与斜率 教学目标...导入课 接着教师提出:怎样 题. 描述这种倾斜程度的不 同?由此引入课题. 教师...
直线的倾斜角和斜率(优质课比赛教案)
直线的倾斜角和斜率(优质课比赛教案) 隐藏>> 3.1.1 直线的倾斜角和斜率(1) 授课时间:2012.12.11 第 2 节 授课教师:丁丽燕 教学目标: 1.理解直线的倾斜角...
高中数学 3.1.1直线的倾斜角和斜率教案 新人教版A必修2
高中数学 3.1.1直线的倾斜角和斜率教案 新人教版A必修2_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第三章 直线与方程 3.1.1 直线的倾斜角和斜率 教学目标: 知识与...
教案直线的倾斜角与斜率教案_图文
教案直线的倾斜角与斜率教案 - 3.1.1 直线的倾斜角与斜率教学设计 宁夏六盘山高级中学 社会喜欢你 一、教学目标 (1)知识与技能:正确理解直线倾斜角和斜率的概念...
...第3章第3.1.1节 《直线的倾斜角与斜率》导入设计
人教A版数学必修二 第3章第3.1.1节 《直线的倾斜角与斜率》导入设计_数学_高中教育_教育专区。【教材分析与导入设计】 第三章 直线与方程 第 3.1.1 节 直线...
3.1直线的倾斜角与斜率练习题
3.1直线的倾斜角与斜率练习题 - 3.1 直线的倾斜角与斜率练习题 选择题 1、已知,A(–3, 1)、B(2, –4),则直线 AB 上方向向量 AB 的坐标是( A、(...
更多相关标签: