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东莞市第五高级中学2012---2013学年度第一次月考高二数学考试题

东莞市第五高级中学 2012---2013 学年度

第一学期第一次月考高二数学考试题

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给

出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

1.数列 1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为(

)

A. an ? 2n ?1 B. an ? (?1)n (1 ? 2n) C. an ? (?1)n (2n ? 1) D. an ? (?1)n (2n ? 1)
2.由 a1 ?1,d ? 3确定的等差数列?an?,当 an =298 时,序号 n 等于(


A. 96

B. 99

C. 100

D.101

3 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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在△ABC 中,若 a ? 7,b ? 3,c ? 8 ,则其面积等于(



A 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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12

B

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21 2

C

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28

D

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63

4.等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n=(



A.10

B.11

C.12

D.13

5.在△ABC 中,tanAsin2B=tanBsin2A,那么△ABC 一定是(

)

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰或直角三角形

6、在等差数列{an}中,a5=33,a45=153,则 201 是该数列的第(





A.60

B.61

C.62

D.63

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边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是(



A

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90 0

B

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1200

C

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1350

D

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1500

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设 Sn 是等差数列?a n ?的前 n 项和,a3 ? ?9.5, S3 ? ?42 ,则数列?a n ?的

1

前( )项的和最小

A 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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5

B 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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6

C 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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7

D

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8

9.由公差为 d 的等差数列 a1、a2、a3…重新组成的数列 a1+a4, a2+a5,

a3+a6, a4+a7…是(



A.公差为 d 的等差数列

B.公差为 2d 的等差数列

C.公差为 3d 的等差数列

D.非等差数列

10.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边.如果 a、b、c

成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为 3 ,那么 b= (



2

A. 2 ? 3

B. 2 ? 3
2

C.1 ? 3

D. 1? 3
2

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)

11.已知?an?为等差数列, a3 ? a8 ? 22 , a6 ? 7 ,则 a5 ? ____________

12 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
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在△ABC 中,若 a2

? b2

? bc ?

c2 ,则A

?

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13.已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,则其通项 an ? 14.按照等差数列的定义我们可以定义“等和数列”:在一个数列中,

如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等

和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列 {an} 是等和数列,且 a1 ? 2 ,公和为 5,那么 a8 的值为_______;

三,解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.)
2

15. (本小题满分 12 分)已知?an?是等差数列,其中 a1 ? 25, a4 ? 16 .
(1)求通项公式 an ;
(2)数列?an?从哪一项开始小于 0;
(3)求 a1 ? a3 ? a5 ? ? a19 值.
16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 a ? 3 ,b ? 2 ,B=45? 求 A、C 及 c.
17. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,a、b 是方程 x2-2 3 x+2=0 的两 根,且 2cos(A+B)=-1. (1)求角 C 的度数; (2)求△ABC 的面积. (3)求 c
3

18.(本小题满分 14 分)

如图,货轮在海上以 50 海里/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转

到目标方向线的水平角)为 155o 的方向航行.为了确定船位,在 B 点

处观测到灯塔 A 的方位角为 125o.半小时后,货轮到达 C 点处,观

测到灯塔 A 的方位角为 80o.求此时货轮与灯塔之间的距离(结果保

留最简根号)。


155o 125o
B

19.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,已知 A ? 45 , cos B ? 4 .
5
(Ⅰ)求 cosC 的值;
(Ⅱ)若 BC ?10, D 为 AB 的中点,求 CD 的长.



80 o

A

C

20.(本小题满分 16 分)

设{an}是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,并且对于所有的 n N+, 都有 8Sn ? (an ? 2)2 。

(1)写出数列{an}的前 3 项;

(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程);

(3)设 bn

?

an

4 ? an?1

,Tn 是数列{bn}的前

n

项和,求使得 Tn

?

m 20

对所有

n N+都成立的最小正整数 m 的值。

4

东莞市第五高级中学 2012---2013 学年度 第一学期第一次月考高二数学考试题
一.选择题

题号 1 答案 B

2 C

3
D 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com

4 A

5 D

6 B

7 C

8 A

9 10

B

C

二.填空题: 11. 15 13. 2n-10

12. 1200 14. 3

cos A ? b2 ? c2 ? a2 ? ? 1 , A ? 1200

2bc

2

三.解答题
15. (本体满分 12 分)已知?an? 是等差数列,其中 a1 ? 25, a4 ? 16 .

(1)求通项公式 an ;

(2)数列?an? 从哪一项开始小于 0;

(3)求 a1 ? a3 ? a5 ? ? a19 值.

解:(1) a4 ? a1 ? 3d ?d ? ?3

?an ? 28 ? 3n (2) 28 ? 3n ? 0?n ? 9 1
3
数列?an?从第 10 项开始小于 0.

……4 分 ……6 分 …… 7 分

(3)a1, a3 ,?, a19 是首项为 25,公差为 ? 6 的等差数列,共有 10 项.

所以

Sn

?

na1

?

1 2

n(n ?1)d

S 10

? 10? 25 ? 10? 9 2

? (?6)

?

?20.

…… ……

…9 分
10 分 1

16. (本体满分 12 分) 在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 2 ,B=45? 求 A、C 及 c.

5

解:根据正弦定理,得

sin A ? a sin B ?

3 sin 45 0 ?

3? 2 2?

3

b

2

2

2

∵00<A<1800 ∴A=600 或 A=1200. (1)当 A=600 时,C=1800-600-450=750,

……2 分
……4 分 ……6 分

c ? b sin C ? sin B

2 sin 75 0 ? sin 45 0

2?

6? 4
2

2 ?

6? 2

2;

……8 分

2

(2)当 A=1200 时,C=1800-1200-450=150,

……10 分

c ? b sin C ?

2 sin 75 0 ?

2?

6? 4

2 ?

6?

2;

sin B sin 45 0

2

2

2

……12 分

17. (本体满分 12 分)在△ABC 中,a、b 是方程 x2-2 3 x+2=0 的两根,且

2cos(A+B)=-1. (1)求角 C 的度数; (2)求 c; (3)求△ABC 的面积. 17.解:(1)∵2cos(A+B)=-1,
∴cosC=- 1 . 2
∵00<C<1800 ∴角 C 的度数为 120°.

……1 分
……2 分 ……3 分

(2)S= 1 absinC 2

= 1 ×2sin1200= 3 .

2

2

……4 分 ……5 分

(3)∵a、b 是方程 x2-2 3 x+2=0 的两根,

∴a+b=2 3 ,ab=2,

……6 分

c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab(cosC+1)=12-2=10.

∴c= 10 .

……10 分 ……12 分

6

18.(本小题满分 14 分)如图,货轮在海上以 50 浬/时的速度沿方位角(从正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角)为 155o 的方向航行.为了确定船位,在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 125o.半小时后,货轮到达 C 点处,观测到灯塔 A 的方位角为 80o.求此时货轮与灯塔之间的距离(得数保留最简根号)。

18.解:在△ABC 中,∠ABC=155o-125o=30o,……2 分

∠BCA=180o-155o+80o=105o,

……4 分

∠BAC=180o-30o-105o=45o,

……6 分

BC= 1 ?50 ? 25 , 2

……8 分

由正弦定理,得 AC sin 300

?

BC sin 450

……10 分


125o 155o
B

∴AC=

BC ? sin 300 sin 450

=

25 2

2

(浬)

……13 分

北 A
80 o

答:船与灯塔间的距离为 25 2 浬. 2

C
……14 分

19.(本题满分 14 分)
在 ?ABC 中,已知 A ? 45 , cos B ? 4 . 5
(Ⅰ)求 cosC 的值; (Ⅱ)若 BC ?10, D 为 AB 的中点,求 CD 的长.

19.解:(1) cos B ? 4 , 且 B ? (0 ,180 ) , 5

sin B ? 1? cos2 B ? 3 5

--------------------------2 分

cos C ? cos(180 ? A ? B) ? cos(135 ? B)

----------------- 4 分

? cos135 cos B ? sin135 sin B ? ? 2 ? 4 ? 2 ? 3 ? ? 2 -------------7 分 2 5 2 5 10

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin C ? 1? cos2 B ? 1? (? 2 )2 ? 7 2 -----------8 分 10 10

由正弦定理得 BC ? AB ,即 sin A sin C

10 2

?

AB 72

,解得 AB ?14 .

--------10 分

2 10

在 ?BCD 中, BD ? 7 , CD2 ? 72 ?102 ? 2? 7?10? 4 ? 37 ,------------12 分 5

所以 CD ? 37 .

------------------14 分

7

20.(本题满分 16 分)设{an}是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,并且对于所 有的 n N+,都有 8Sn ? (an ? 2)2 。

(1)写出数列{an}的前 3 项;

(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程);

(3)设 bn

?

an

4 ? an?1

,Tn 是数列{bn}的前

n

项和,求使得 Tn

?

m 对所有 20

n

N+

都成立的最小正整数 m 的值。

20.解:(1) n=1 时 8a1 ? (a1 ? 2)2

∴ a1 ? 2

n=2 时 8(a1 ? a2 ) ? (a2 ? 2)2

∴ a2 ? 6

n=3 时 8(a1 ? a2 ? a3 ) ? (a3 ? 2)2

∴ a3 ? 10

…………4 分

(2)∵ 8Sn ? (an ? 2)2 ∴ 8Sn?1 ? (an?1 ? 2)2 (n ? 1)

两式相减得: 8an ? (an ? 2)2 ? (an?1 ? 2)2

即 an2

?

a2 n?1

?

4an

?

4an?1

?

0

也即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0

∵ an ? 0

∴ an ? an?1 ? 4 即{an } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列

∴ an ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2

…………10 分

(3) bn

?

an

4 ? an?1

?

4 (4n ? 2)(4n ? 2)

?

1 (2n ? 1)(2n ? 1)

?

11 (
2 (2n ? 1)

?

1 )
(2n ? 1)

∴ Tn ? b1 ? b2 ?

?

bn

?

1 [(1 ? 2

1)? 3

(1 3

?

1)? 5

? ( 1 ? 1 )] (2n ? 1) (2n ? 1)

? 1 (1 ? 1 ) ? 1 ? 1 ? 1 2 2n ? 1 2 4n ? 2 2

…………14 分

∵ Tn

?

m 20

对所有

n

?

N?

都成立

故 m 的最小值是 10

∴ m ? 1 即 m ? 10 20 2

…………16 分
8


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