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东莞市第五高级中学2012---2013学年度第一次月考高二数学考试题

东莞市第五高级中学 2012---2013 学年度 第一学期第一次月考高二数学考试题
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)? 1.数列 1,-3,5,-7,9,?的一个通项公式为( A. an ? 2n ? 1 B. an ? (?1) n (1 ? 2n) C. an ? (?1) n (2n ? 1) ) D. an ? (?1) n (2n ? 1)

2.由 a1 ? 1 d ? 3 确定的等差数列 ?an ? ,当 an =298 时,序号 n 等于( , ) A. 96 3
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B. 99

C. 100

D.101 )

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在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 3, c ? 8 ,则其面积等于(
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A

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12

B

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21 2

C

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28

D

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6 3

4. 等差数列{an}中,1=1,3+a5=14, a a 其前 n 项和 Sn=100, n= 则 ( A.10 B.11 C.12 D.13 )



5.在△ABC 中,tanAsin2B=tanBsin2A,那么△ABC 一定是( A.锐角三角形 C.等腰三角形 B.直角三角形 D.等腰或直角三角形

6、 在等差数列{an}中, 5=33, 45=153, 201 是该数列的第 a a 则 ( 项 A.60 7
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B.61

C.62

D.63 )
1500

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边长为 5, 7,8 的三角形的最大角与最小角的和是(
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A 8
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900

B

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1200

C

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1350

D

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设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,a3 ? ?9.5, S3 ? ?42 ,则数列 ?a n ? 的
1

前( A
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)项的和最小 B
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5

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6

C

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7

D 8
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9. 由公差为 d 的等差数列 a1、 2、 3?重新组成的数列 a1+a4, a2+a5, a a a3+a6, a4+a7?是( A.公差为 d 的等差数列 C.公差为 3d 的等差数列 ) B.公差为 2d 的等差数列 D.非等差数列

10.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边.如果 a、b、c 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为 ,那么 b= ( A. 2 ? 3 B.
2? 3 2
3 2


1? 3 2

C. 1? 3

D.

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11.已知 ?an ? 为等差数列, a3 ? a8 ? 22 , a6 ? 7 ,则 a5 ? ____________ 12
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在△ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? bc ? c 2 , 则A ? _________

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13.已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,则其通项 an ? 14.按照等差数列的定义我们可以定义“等和数列” :在一个数列中, 如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数, 那么这个数列叫做等 和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列 {a n } 是等和数列,且
a1 ? 2 ,公和为 5,那么 a8 的值为_______;

三,解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.)
2

15. (本小题满分 12 分)已知 ?an ? 是等差数列,其中 a1 ? 25, a4 ? 16 . (1)求通项公式 an ; (2)数列 ?an ? 从哪一项开始小于 0; (3)求 a1 ? a3 ? a5 ? ?? a19 值.

16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 a ? 3 ,b ? 2 ,B=45? 求 A、C 及 c.

17. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,a、b 是方程 x2-2 3 x+2=0 的两 根,且 2cos(A+B)=-1. (1)求角 C 的度数; (2)求△ABC 的面积. (3)求 c

3

18. (本小题满分 14 分) 如图, 货轮在海上以 50 海里/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转 到目标方向线的水平角)为 155o 的方向航行.为了确定船位,在 B 点 处观测到灯塔 A 的方位角为 125o.半小时后,货轮到达 C 点处,观 测到灯塔 A 的方位角为 80o.求此时货轮与灯塔之间的距离(结果保 留最简根号) 。
B 北
155o 125o


80 o

A

19. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,已知 A ? 45? , cos B ? . (Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)若 BC ? 10, D 为 AB 的中点,求 CD 的长.
4 5

C

20.(本小题满分 16 分) 设{an}是正数组成的数列, 其前 n 项和为 Sn, 并且对于所有的 n 都有 8S n ? (an ? 2) 2 。 (1)写出数列{an}的前 3 项; (2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程); (3)设 bn ? n
m 4 ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 20 a n ? a n ?1

N+,

N+都成立的最小正整数 m 的值。
4

东莞市第五高级中学 2012---2013 学年度 第一学期第一次月考高二数学考试题
一.选择题

题号 答案

1 B

2 C

3 D
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4
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5 D

6 B

7 C

8 A

9 B

10 C

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A

二.填空题: 11. 15 12. 14. 3
1200

cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 ? ? , A ? 1200 2bc 2

13. 2n-10

三.解答题

15. (本体满分 12 分)已知 ?an ? 是等差数列,其中 a1 ? 25, a4 ? 16 . (1)求通项公式 an ; (2)数列 ?an ? 从哪一项开始小于 0; (3)求 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a19 值. 解: (1)? a4 ? a1 ? 3d ? d ? ?3

? an ? 28 ? 3n
(2)? 28 ? 3n ? 0 ? n ? 9
1 3

……4 分 ……6 分 …… 7分 …9 分

数列 ?an ? 从第 10 项开始小于 0.

(3) a1 , a3 ,?, a19 是首项为 25,公差为 ? 6 的等差数列,共有 10 项. 所以

5

1 n(n ? 1)d 2 10 ? 9 S10 ? 10 ? 25 ? ? (?6) ? ?20. 2 S n ? na1 ?

…… ……

10 分 1

16. (本体满分 12 分) 在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 2 ,B=45? 求 A、C 及 c. 解:根据正弦定理,得
3? 2 2 ? 3 2 2

a sin B 3 sin 450 sin A ? ? ? b 2

……2 分

∵00<A<1800 ∴A=600 或 A=1200. (1)当 A=600 时,C=1800-600-450=750,
2? 6? 2 4 ? 2 2

……4 分 ……6 分

b sin C c? ? sin B

2 sin 750 ? sin 450

6? 2 ; 2

……8 分

(2)当 A=1200 时,C=1800-1200-450=150,
2? 6? 2 4 ? 2 2

……10 分

b sin C c? ? sin B

2 sin 750 ? sin 450

6? 2 ; 2

……12 分

17. (本体满分 12 分)在△ABC 中,a、b 是方程 x2-2 3 x+2=0 的两根,且 2cos(A+B)=-1. (1)求角 C 的度数; (2)求 c; (3)求△ABC 的面积.

6

17.解:(1)∵2cos(A+B)=-1, ∴cosC=-
1 . 2

……1 分 ……2 分 ……3 分

∵00<C<1800 ∴角 C 的度数为 120°.

1 (2)S= absinC 2
1 3 = ×2sin1200= . 2 2

……4 分 ……5 分

(3)∵a、b 是方程 x2-2 3 x+2=0 的两根, ∴a+b=2 3 ,ab=2, ……6 分 ……10 分

c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab(cosC+1)=12-2=10. ∴c= 10 .

……12 分

18. (本小题满分 14 分)如图,货轮在海上以 50 浬/时的速度沿方位角(从正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角)为 155o 的方向航行. 为了确定船位, B 在 点处观测到灯塔 A 的方位角为 125o.半小时后,货轮到达 C 点处,观测到灯塔 A 的方位角为 80o.求此时货轮与灯塔之间的距离(得数保留最简根号) 。

18.解:在△ABC 中,∠ABC=155o-125o=30o,……2 分 ∠BCA=180o-155o+80o=105o, ∠BAC=180o-30o-105o=45o,
1 BC= ? 50 ? 25 , 2 AC BC ? 由正弦定理,得 0 sin 30 sin 450

……4 分 ……6 分 ……8 分 ……10 分

80 o 7

北 B
155o 125o

A

C

BC ? sin 300 25 2 ∴AC= = (浬) sin 450 2

……13 分

答:船与灯塔间的距离为

25 2 浬. 2

……14 分

19. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,已知 A ? 45? , cos B ? (Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)若 BC ? 10, D 为 AB 的中点,求 CD 的长.
4 19.解:(1)? cos B ? , 且 B? (0? ,180? ) , 5 3 sin B ? 1 ? cos 2 B ? --------------------------2 分 5

4 . 5

cos C ? cos(180? ? A ? B) ? cos(135? ? B)
? cos135? cos B ? sin135? sin B ? ?

----------------- 4 分

2 4 2 3 2 -------------7 分 ? ? ? ?? 2 5 2 5 10

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin C ? 1 ? cos2 B ? 1 ? (? 由正弦定理得

2 2 7 ) ? 2 10 10

-----------8 分

BC AB 10 AB ? ? ,即 ,解得 AB ? 14 . --------10 分 7 sin A sin C 2 2 10 2 4 在 ?BCD 中, BD ? 7 , CD 2 ? 7 2 ? 102 ? 2 ? 7 ?10 ? ? 37 ,------------12 分 5

所以 CD ? 37 .

------------------14 分

20.(本题满分 16 分)设{an}是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn,并且对于所 有的 n N+,都有 8S n ? (an ? 2) 2 。

(1)写出数列{an}的前 3 项; (2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程);
8

(3)设 bn ?

m 4 , Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n 20 a n ? a n ?1

N+

都成立的最小正整数 m 的值。

20.解:(1) n=1 时 8a1 ? (a1 ? 2)2 n=2 时 8(a1 ? a2 ) ? (a2 ? 2)2 n=3 时 8(a1 ? a2 ? a3 ) ? (a3 ? 2)2 (2)∵ 8Sn ? (an ? 2)2

∴ a1 ? 2 ∴ a2 ? 6 ∴ a3 ? 10 …………4 分

∴ 8Sn?1 ? (an?1 ? 2)2 (n ? 1) 即 an2 ? an?12 ? 4an ? 4an?1 ? 0

两式相减得: 8an ? (an ? 2)2 ? (an?1 ? 2)2 也即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0 ∵ an ? 0 ∴ an ? an?1 ? 4

即 {an } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列 …………10 分

∴ an ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2 (3) bn ?

4 4 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) an ? an?1 (4n ? 2)(4n ? 2) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 (2n ? 1) (2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 (2n ? 1) (2n ? 1)
? 1 1 1 1 1 (1 ? )? ? ? 2 2n ? 1 2 4n ? 2 2

…………14 分

∵ Tn ?

m 对所有 n ? N ? 都成立 20



m 1 ? 20 2

即 m ? 10 …………16 分

故 m 的最小值是 10

9


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