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2017-2018学年人教A版必修一 3.2.2函数模型的应用实例 学案


3.2.2

函数模型的应用实例

[导入新知] 1.常见的函数模型 (1)正比例函数模型:f(x)=kx(k 为常数,k≠0); (2)反比例函数模型:f(x)= (k 为常数,k≠0); (3)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b 为常数,k≠0); (4)二次函数模型:f(x)=ax +bx+c(a,b,c 为常数,a≠0); (5)指数函数模型:f(x)=ab +c(a,b,c 为常数,a≠0,b>0,b≠1); (6)对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a 为常数,m≠0,a>0,a≠1); (7)幂函数模型:f(x)=ax +b(a,b,n 为常数,a≠0,n≠1). 2.建立函数模型解决问题的框图表示
n x
2

k x

[化解疑难] 求解函数应用题的程序

1

二次函数模型 4 [例 1] 已知某种商品涨价 x 成(1 成=10%)时, 每天的销售量减少 x(其中 x>0)成. 5 (1)应该涨价多少,才能使每天的营业额(售出的总金额)最大? (2)如果适当涨价,能使每天的营业额增加,求 x 的取值范围. [解] 设商品原价格为 m,每天的原销售量为 n,则每天的原营业额为 m·n,涨价后每

x? ? 4 x? ? 天的营业额为 y=m·?1+ ?·?1- · ?·n. ? 10? ? 5 10? x? ? 4 x? ? (1)y=m·?1+ ?·?1- · ?·n 10 ? ? ? 5 10?

? 1 ? 5?2 81? =?- ?x- ? + ?·m·n. ? 125? 4? 80?
5 当 x= ,即涨价 125%时,每天的营业额最大. 4 (2)要使涨价后每天的营业额比原来增加,

x? ? 4 x? ? 则需 m·?1+ ?·?1- · ?·n>m·n, ? 10? ? 5 10?
即 2x -5x<0,变形得 x(2x-5)<0. 5 又 x>0,故 0<x< . 2
2

? 5? ∴x 的取值范围为?0, ?. ? 2?
[类题通法] 利用二次函数模型解决问题的方法 在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后, 可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际 问题中的利润最大、用料最省等问题. [活学活用] [活学活用] 如图所示,已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中

AE=4 米,CD=6 米.为合理利用这块钢板,在五边形 ABCDE 内截取
一个矩形 BNPM,使点 P 在边 DE 上.
2

(1)设 MP=x 米,PN=y 米,将 y 表示成 x 的函数,求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形 BNPM 面积的最大值. 解:(1)作 PQ⊥AF 于 Q, 所以 PQ=(8-y)米,EQ=(x-4)米. 又△EPQ∽△EDF,

EQ EF x-4 4 所以 = ,即 = . PQ FD 8-y 2
1 所以 y=- x+10,定义域为{x|4≤x≤8}. 2 (2)设矩形 BNPM 的面积为 S 平方米,

x? 1 ? 2 则 S(x)=xy=x?10- ?=- (x-10) +50, 2? 2 ? S(x)是关于 x 的二次函数,且其图象开口向下,对称轴为 x=10,
所以当 x∈[4,8]时,S(x)单调递增. 所以当 x=8 时,矩形 BNPM 的面积取得最大值,为 48 平方米.

分段函数模型 [例 2] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大 桥上的车流速度 v(单位:千米/时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密 度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时, 车流速度为 60 千米/时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函 数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆 /时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/时). [解] (1)由题意,当 0≤x≤20 时,v(x)=60; 当 20<x≤200 时,设 v(x)=ax+b(a≠0),
?200a+b=0, ? 再由已知得? ? ?20a+b=60,

1 ? ?a=-3, 解得? 200 ?b= 3 . ? 故函数 v(x)的表达式为

3

60,0≤x≤20, ? ? v(x)=?1 ?200-x?,20<x≤200. ? ?3 (2)依题意并结合(1)可得 60x,0≤x≤20, ? ? f(x)=?1 x?200-x?,20<x≤200. ? ?3 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200; 1 1 10 000 10 000 2 当 20<x≤200 时,f(x)= x(200-x)=- (x-100) + ≤ ,当且仅当 x 3 3 3 3 =100 时,等号成立. 10 000 所以,当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值 . 3 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 10 000 ≈3 333. 3

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/时. [类题通法] 构建分段函数模型的关键点 建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点, 即明确自变量的取值区间, 对每一区 间进行分类讨论,从而写出函数的解析式. [活学活用] 某医疗研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量服用,据监测: 服药后每毫升血液中的含药量 y 与时间 t 之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式; (2)据测定:每毫升血液中含药量不少于 4 μ g 时治疗疾病有效,假若某病人一天中第 一次服药为上午 7:00,问:一天中怎样安排服药时间(共 4 次)效果最佳? 6t,0≤t≤1, ? ? 解:(1)依题意得 y=? 2 20 - t+ ,1<t≤10. ? 3 ? 3 2 20 (2)设第二次服药时在第一次服药后 t1 小时,则- t1+ =4,解得 t1=4,因而第二次 3 3 服药应在 11:00. 设第三次服药在第一次服药后 t2 小时,则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药 2 20 2 20 量的和,即有- t2+ - (t2-4)+ =4,解得 t2=9,故第三次服药应在 16:00. 3 3 3 3 设第四次服药在第一次服药后 t3(t3>10)小时,则此时第一次服进的药已吸收完,血液
4

2 20 2 20 中含药量应为第二、第三次的和- (t3-4)+ - (t3-9)+ =4,解得 t3=13.5,故第四 3 3 3 3 次服药应在 20:30. 指数、对数型函数模型 [例 3] 一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减

a 1 少 p%,10 年后森林面积变为 .为保护生态环境, 所剩森林面积至少要为原面积的 .已知到今 2 4
年为止,森林面积为 (1)求 p%的值. (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)该森林今后最多还能砍伐多少年? [解] (1)由题意得 a(1-p%) = , 2 1 ?1? 10 即(1-p%) = ,解得 p%=1-? ? . 2 ?2?
10 10

2 a. 2

a

1

(2)设经过 m 年森林面积为
m

2 a, 2
m

则 a(1-p%) =

2 ?1? ?1? a,即? ? 10 =? ? 2 , 2 ?2? ?2?

1

m
10

1 = ,解得 m=5. 2

故到今年为止,已砍伐了 5 年. (3)设从今年 ,n 年后森林面积为 2 a·(1-p%)n. 2 令 2 1 a(1-p%)n≥ a, 2 4
n

即(1-p%) ≥
n

2 , 4

?1? 10 ≥?1? 2 ,得 n ≤3,解得 n≤15, ?2? ?2? 10 2 ? ? ? ?
故今后最多还能砍伐 15 年. [类题通法] 指数函数模型的应用 在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模

3

5

型表示.通常可以表示为 y=N(1+p) (其中 N 为基础数,p 为增长率,x 为时间)的形式. [活学活用] 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过 0.1%,若初时含杂质 2%,每 1 过滤一次可使杂质含量减少 , 问: 至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(已知: lg 2 3 =0.301 0,lg 3=0.477 1) 2 ?2?n 1 ?2?n 1 解:依题意,得 ·? ? ≤ ,即? ? ≤ . 100 ?3? 1 000 ?3? 20 则 n(lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2), 1+lg 2 故 n≥ ≈7.4,考虑到 n∈N,即至少要过滤 8 次才能达到市场要求. lg 3-lg 2

x

8.构建函数模型解应用题 [典例] (12 分)甲、乙两人连续 6 年对某县农村甲鱼养殖业的规律(总产量)进行调查, 提供了两个方面的信息,分别得到如下两图.

甲调查表明:每个甲鱼池平均出产量从第一年 1 万只甲鱼上升到第六年 2 万只; 乙调查表明:甲鱼池个数由第一年 30 个减到第六年 10 个. 请你根据提供的信息说明: (1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数. (2)到第六年,这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了?说明理由.

6

(3)哪一年的规模最大?说明理由. [解题流程]

[活学活用] 某商场经营一批进价是每件 30 元的商品,在市场销售中发现此商品的销售单价 x 元与 日销售量 y 件之间有如下关系: 销售单价 x/元 日销售量 y/件 30 60 40 30 45 15 50 0

(1)在坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(x,y)对应的点,并确定 x 与 y 的一 个函数关系式 y=f(x); (2)设经营此商品的日销售利润为 P 元,根据上述关系式写出 P 关于 x 的函数关系式,

7

并指出销售单价 x 为多少时,才能获得最大日销售利润. 解:实数对(x,y)对应的点如图所示,由图可知 y 是 x 的一次函数.

(1)设 f(x)=kx+b,
?60=30k+b, ? 则? ?30=40k+b, ?

解得?

? ?k=-3, ?b=150. ?

∴f(x)=-3x+150,30≤x≤50,检验成立. (2)P=(x-30)·(-3x+150) =-3x +240x-4 500,30≤x≤50, 240 ∴对称轴 x=- =40∈[30,50]. 2×?-3? 答:当销售单价为 40 元时,才能获得最大日销售利润.
2

[随堂即时演练] 1.某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台,第二个月销售 200 台,第三个月销 售 400 台, 第四个月销售 790 台, 则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数

x(1≤x≤4,x∈N*)之间关系的是(
A.y=100x C.y=50×2
x

) B.y=50x -50x+100 D.y=100
x
2

解析:选 C 当 x=4 时,A 中,y=400;B 中,y=700;C 中,y=800;D 中,y=100 . 故选 C. 2.已知 A,B 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/时的速度从 A 地到达 B 地,在

4

B 地停留 1 小时后再以 50 千米/时的速度返回 A 地, 则汽车离开 A 地的距离 x 关于时间 t(时)
的函数解析式是( A.x=60t B.x=150-50t )

8

?60t,0≤t≤2.5 ? C.x=? ?150-50t,t>3.5 ?

60t,0≤t≤2.5 ? ? D.x=?150,2.5<t≤3.5 ? ?150-50?t-3.5?,3.5<t≤6.5 解析:选 D 显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的,故应分三段表示函 数. 1 3. 由于电子技术的飞速发展, 计算机的成本不断降低, 若每隔 5 年计算机的价格降低 , 3 则现在价格为 8 100 元的计算机 15 年后的价格应降为________元. 8 ? 1? ? 1?3 解析:y=a·?1- ? 5 ,所以当 x=15 时,y=8 100×?1- ? =8 100× =2 400(元). 27 ? 3? ? 3? 答案:2 400 4.如图所示,折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费
x

y(元)与通话时间 t(分)之间的函数关系图象,根据图象填空:
(1)通话 2 分钟,需付的电话费为________元; (2)通话 5 分钟,需付的电话费为________元; (3)如果 t≥3,则电话费 y(元)与通话时间 t(分)之间的函数关系式为________. 解析:(1)由题图可知,当 t≤3 时,电话费都是 3.6 元. (2)由题图可知,当 t=5 时,y=6,即需付电话费 6 元. (3)当 t≥3 时,y 关于 x 的图象是一条直线,且经过(3,3.6)和(5,6)两点,故设函数 关系式为 y=kt+b,
?3k+b=3.6, ? 则? ?5k+b=6, ?

解得?

? ?k=1.2, ?b=0. ?

故 y 关于 t 的函数关系式为 y=1.2t(t≥3). 答案:(1)3.6 (2)6 (3)y=1.2t(t≥3) 5.在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品 专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型企业乙, 并约定 从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后,逐步 偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中:①这种消费品的进价为每件 14 元;②该店月销 量 Q(百件)与销量价格 P(元)的关系如图所示;③每月需各种开支 2 000 元.

9

(1)当商品的价格为每百件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最 大余额; (2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫? 解:设该店月利润余额为 L 元, 则由题设得 L=Q(P-14)×100-3 600-2 000,① -2P+50,14≤P≤20, ? ? 由销量图易得 Q=? 3 - P+40,20<P≤26, ? ? 2 代入①式得 ?-2P+50??P-14?×100-5 600,14≤P≤20, ? ? L=?? 3 ? ?- P+40??P-14?×100-5 600,20<P≤26, ? ? ?? 2 (1)当 14≤P≤20 时,Lmax=450 元,此时 P=19.5 元; 1 250 61 当 20<P≤26 时,Lmax= 元,此时 P= 元. 3 3 故当 P=19.5 元时,月利润余额最大,为 450 元. (2)设可在 n 年后脱贫,依题意有 12n×450-50 000-58 000≥0,解得 n≥20.即最早 可望在 20 年后脱贫.

[课时达标检测] 一、选择题 1. 一个模具厂一年中 12 月份的产量是 1 月份产量的 m 倍, 那么该模具厂这一年中产量 的月平均增长率是( A. ) B. 12

m
11 12

m

C.

m-1

D.

11

m- 1
11

解析:选 D 设每月的产量增长率为 x,1 月份产量为 a,则 a(1+x) =ma,所以 1+x = 11

m,即 x=

11

m-1.
10

2.某自行车存车处在某一天总共存放车辆 4 000 辆次,存车费为:电动自行车 0.3 元/ 辆,普通自行车 0.2 元/辆.若该天普通自行车存车 x 辆次,存车费总收入为 y 元,则 y 与

x 的函数关系式为(

)

A.y=0.2x(0≤x≤4 000) B.y=0.5x(0≤x≤4 000) C.y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000) D.y=0.1x+1 200(0≤x≤4 000) 解析:选 C 由题意得 y=0.3(4 000-x)+0.2x=-0.1x+1 200. 3.下面是一幅统计图,根据此图得到的以下说法中,正确的个数是( )

(1)这几年生活水平逐年得到提高; (2)生活费收入指数增长最快的一年是 2013 年; (3)生活价格指数上涨速度最快的一年是 2014 年; (4)虽然 2015 年生活费收入增长缓慢, 但生活价格指数也略有降低, 因而生活水平有较 大的改善. A.1 B.2 C.3 D.4 解析: 选 C 由题意知, “生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的, 故(1)正确;“生活费收入指数”在 2013~2014 年最陡;故(2)正确;“生活价格指数”在 2014~2015 年比较平缓, 故(3)不正确; “生活价格指数”略呈下降, 而“生活费收入指数” 呈上升趋势,故(4)正确. 4.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为 y= 4x,1≤x<10,x∈N, ? ? ? 2x+10,10≤x<100,x∈N, ? ?1.5x,x≥100,x∈N, 其中,x 代表拟录用人数,y 代表面试人数,若面试人数为 60,则该公司拟录用人数为 ( ) A.15 C.25 B.40 D.130

解析:选 C 若 4x=60,则 x=15>10,不合题意;若 2x+10=60,则 x=25,满足题
11

意;若 1.5x=60,则 x=40<100,不合题意.故拟录用 25 人.

5.某城市出租汽车的收费标准是:起步价为 6 元,行程不超过 2 千米者均按此价收费; 行程超过 2 千米,超过部分按 3 元/千米收费(不足 1 千米按 1 千米计价);另外,遇到堵车 或等候时,汽车虽没有行驶,但仍按 6 分钟折算 1 千米计算(不足 1 千米按 1 千米计价).陈 先生坐了一趟这种出租车,车费 24 元,车上仪表显示等候时间为 11 分 30 秒,那么陈先生 此趟行程的取值范围是( A.[5,6) C.[6,7) ) B.(5,6] D.(6,7]

解析:选 B 若按 x(x∈Z)千米计价,则 6+(x-2)×3+2×3=24,得 x=6.故实际行 程应属于区间(5,6]. 二、填空题 6.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 v(米/秒)和燃料的质量 M(千克)、火 箭(除燃料外)的质量 m(千克)的函数关系式是 v=2 000·ln?1+ ?.当燃料质量是火箭质量 m

? ?

M?

?

的________倍时,火箭的最大速度可达 12 千米/秒. 解析:当 v=12 000 时,2 000·ln?1+ ?=12 000, m

? ?

M?

?

∴ln?1+ ?=6,∴ =e -1. m

? ?

M?

?

M m

6

答案:e -1 7.一水池有 2 个进水口、1 个出水口,2 个进水口的进水速度如图甲、乙所示,出水口 的排水速度如图丙所示,某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量如图丁所示.

6

给出以下 3 个论断: ①0 点到 3 点只进水不出水; ②3 点到 4 点不进水只出水;

12

③4 点到 6 点不进水不出水. 其中一定正确的论断序号是________.

解析:从 0 点到 3 点,两个进水口的进水量为 9,故①正确;由排水速度知②正确;4 点到 6 点可以是不进水,不出水,也可以是开一个进水口(速度快的)、一个排水口,故③不 正确. 答案:①② 8.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批后方可投入生产.已知 1 该生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n)= n(n+1)(2n+1)吨, 但如果年产量超过 150 吨, 2 将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ________年. 1 解析:由题意知,第一年产量为 a1= ×1×2×3=3; 2 以后各年产量分别为

an=f(n)-f(n-1)
1 1 = n(n+1)(2n+1)- n(n-1)(2n-1) 2 2 =3n (n∈N ), 令 3n ≤150,得 1≤n≤5 2? 1≤n≤7, 故生产期限最长为 7 年. 答案:7 三、解答题 9.某租车公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3 000 元时,可全部租出,当每 辆车的月租金每增加 60 元时, 未租出的车将会增加一辆, 租出的车每月需要维护费 160 元, 未租出的车每月需要维护费 40 元. (1)当每辆车的月租金定为 3 900 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金为多少元时,租车公司的月收益最大?最大月收益是多少? 解:(1)租金增加了 900 元,900÷60=15, 所以未租出的车有 15 辆,一共租出了 85 辆. (2)设租金提高后有 x 辆未租出,则已租出(100-x)辆. 租赁公司的月收益为 y 元,
2 2 *

y=(3 000+60x)(100-x)-160(100-x)-40x,
其中 x∈[0,100],x∈N,
13

整理,得 y=-60x +3 120x+284 000 =-60(x-26) +324 560, 当 x=26 时,y=324 560, 即最大月收益为 324 560 元. 此时,月租金为 3 000+60×26=4 560(元). 10.某公司生产一种产品,每年需投入固定成本 0.5 万元,此外每生产 1 百件这样的产 品,还需增加投入 0.25 万元,经市场调查知这种产品年需求量为 5 百件,产品销售数量为
2? ? t(百件)时,销售所得的收入为?5t- t ?万元. 2

2

?

1 2 ?

(1)该公司这种产品的年生产量为 x 百件,生产并销售这种产品得到的利润为当年产量

x 的函数 f(x),求 f(x);
(2)当该公司的年产量为多大时当年所获得的利润最大. 1 2 x 19 1 解:(1)当 x≤5 时,f(x)=5x- x -(0.25x+0.5)=- + x- ; 2 2 4 2 1 1 2 当 x>5 时,f(x)=5×5- ×5 -(0.25x+0.5)=12- x; 2 4
2

? ? 所以 f(x)=? 1 ? ?12-4x,x>5.

x 19 1 - + x- ,0<x≤5, 2 4 2

2

1 1? 19?2 345 (2)当 0<x≤5 时,f(x)=- + x- =- ?x- ? + , 4? 2 4 2 2? 32 19 345 故当 x= 百件=475 件时,f(x)max= (万元); 4 32 1 5 345 当 x>5 时,f(x)=12- x<12- < . 4 4 32 故当该公司的年产量为 475 件时,当年获得的利润最大.

x2 19

11.国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在 30 人或 30 人以下,飞机 票价格为 900 元;若旅行团人数多于 30 人,则给予优惠:每多 1 人,飞机票价格就减少 10 元,直到达到规定人数 75 人为止.旅行团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元. (1)写出飞机票的价格关于人数的函数; (2)旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润? 解:(1)设旅行团人数为 x,飞机票价格为 y 元,

14

?900,0<x≤30, ? 则 y=? ?900-10?x-30?,30<x≤75, ?

?900,0<x≤30, 即 y=? ?1 200-10x,30<x≤75.
(2)设旅行社获利 S 元,
? ?900x-15 000,0<x≤30, 则 S=? ? ?x?1 200-10x?-15 000,30<x≤75. ?900x-15 000,0<x≤30, ? 即 S=? 2 ?-10?x-60? +21 000,30<x≤75. ?

因为 S=900x-15 000 在区间(0,30]上单调递增,当 x=30 时,S 取最大值 12 000, 又因为 S=-10(x-60) +21 000 在区间(30,75]上, 当 x=60 时,S 取最大值 21 000. 故当 x=60 时,旅行社可获得最大利润.
2

15


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