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高三一轮数学(理)复习第42讲直接证明与间接证明


第42讲 直接证明与间接证明 1. 若 b>a>0, 则下列不等式中一定成立的是( C ) a+b A.a> > ab>b 2 a+b B.b> ab> >a 2 a+b C.b> > ab>a 2 a+b D.b>a> > ab 2 b b b+a 解析:因为 b>a,所以 b= + > . 2 2 2 a+b 又 b>a>0,所以 > ab> a2=a, 2 a+b 所以 b> > ab>a. 2 2.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立 的( A ) A.充分条件 C.充要条件 B.必要条件 D.等价条件 解析:分析法的特点是,从“未知”看“需知”,逐步 靠拢“已知”, 其逐步推理, 实际上是要寻找它的充分条件. 3 . ( 改编 ) 证明不等式 n+2- n+1< n - n-1(n ∈ N*) 所用的最适合的方法是( B ) A.综合法 C.反证法 B.分析法 D.图象法 解析:根据不等式的特点,可将不等式等价变形,寻求 其成立的充分条件,因此宜选分析法,故选 B. 4.(改编)用反证法证明某命题时,对结论:“自然数 x, y,z 中恰有一个奇数”正确的反设为( B ) A.x,y,z 中至少有两个奇数 B.x,y,z 中至少有两个奇数或都是偶数 C.x,y,z 都是偶数 D.x,y,z 都是奇数 解析: 共有三个自然数,因此 “ 恰有一个 ”的反面是 “至少有两个奇数或没有奇数”,因此本题正确的假设是 “x,y,z 中至少有两个奇数或都是偶数”,故选 B. 一 综合法的应用 【例 1】(2012· 浙江塘栖、瓶窑、余杭中学高三上学期 联考 ) 已知函数 f(x) = aln(1 + ex) - (a + 1)x( 其中 a>0) ,点 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3))从左到右依次是函数 y=f(x)图象上三点,且 2x2=x1+x3. (1)证明:函数 f(x)在 R 上是减函数; (2)求证:△ABC 是钝角三角形. 证明:(1)因为 f(x)=aln(1+ex)-(a+1)x, -?a+1?-ex aex 所以 f′(x)= -(a+1)= <0 恒成立, 1+ex 1+ex 所以函数 f(x)在(-∞,+∞)上是单调减函数. (2)据题意 A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2)), C(x3, f(x3))且 x1<x2<x3, x1+x3 由(1)知 f(x1)>f(x2)>f(x3),x2= . 2 → =(x1-x2,f(x1)-f(x2)),BC → =(x3-x2,f(x3)-f(x2)), 所以BA →· → =(x1-x2)· 所以BA BC (x3-x2)+[f(x1)-f(x2)]· [f(x3)-f(x2)]. 又 x1-x2<0,x3-x2>0,f(x1)-f(x2)>0,f(x3)-f(x2)<0, →· → = (x1 - x2)· 所 以 BA BC (x3 - x2) + [f(x1) - f(x2)]· [f(x3) - f(x2)]<0. π 从而 B∈( ,π),即△ABC 是钝角三角形. 2 【拓展演练 1】 a (2013· 四川省宜宾市调研 ) 设函数 f(x) = x + 的图象过点 x 5 A(2, ). 2 (1)求实数 a 的值,并证明 f(x)的图象关于原点对称; (2)证明函数 f(x)在(0,1)上是减函数. a 5 解析:(1)因为函数 f(x)=x+ 的图

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