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高中数学必修四北师大版 5从力做的功到向量的数量积 学业分层测评 含答案


【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学 第 2 章 平面向量 5 从力 做的功到向量的数量积学业分层测评 北师大版必修 4 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.已知 a,b 为单位向量,其夹角为 60°,则(2a-b)·b 等于( A.-1 C.1 【解析】 2 ) B.0 D.2 (2a-b)·b=2a·b-b =2|a|·|b|·cos 60°-b .又|a|=1,|b|=1, 2 故(2a-b)·b=1-1=0. 【答案】 B 2.已知平面向量 a,b 满足|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,若(a-mb)⊥a,则 实数 m 的值为( A.1 C.2 ) 3 B. 2 D.3 2 2 【解析】 因为(a-mb)⊥a,所以(a-mb)·a=a -mb·a=3 -m×2×3×cos 60°= 9-3m=0. 所以 m=3. 【答案】 D 3.已知 a,b 方向相反,且|a|=3,|b|=7,则|2a-b|=( A.1 C.2 2 2 ) B.13 D.3 2 2 【解析】 因为|2a-b| =(2a-b) =4a -4a·b+b =4×3 -4×3×7×cos 180°+7 =169, 所以|2a-b|=13. 【答案】 B 2 2 → → 4.(2015·四川高考)设四边形 ABCD 为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4.若点 M,N 满足 → BM=3MC,DN=2NC,则AM·NM=( A.20 C.9 → → → → → ) B.15 D.6 【解析】 如图所示,由题设知: → → AM=AB+BM=AB+ AD, NM= AB- AD, → → ?→ 3→? ?1→ 1→? ∴AM·NM=?AB+ AD?·? AB- AD? 4 ? ?3 4 ? ? 1 → 2 3 → 2 1→ → 1→ → = |AB| - |AD| + AB·AD- AB·AD 3 16 4 4 1 3 = ×36- ×16=9. 3 16 【答案】 C 2 2 5.(2015·重庆高考)若非零向量 a,b 满足|a|= |b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则 a 3 1→ 1→ 3 4 → → → 3→ 4 与 b 的夹角为( π A. 4 C. 3π 4 ) π B. 2 D.π 由 (a -b)⊥(3a + 2b) 得(a -b)·(3a +2b)=0 ,即 3a -a·b -2b = 0. 又 2 2 【解析】 2 2 8 2 2 ∵|a|= |b|,设〈a,b〉=θ ,即 3|a|2-|a|·|b|·cos θ -2|b|2=0,∴ |b|2- 3 3 3 |b|2·cos θ -2|b|2=0,∴cos θ = 【答案】 A 二、填空题 6.已知|a|=1,|b|=3,|a-b|=4,则|a+b|=________. 【解析】 因为|a-b| =(a-b) =a -2a·b+b =1-2a·b+9=16. 所以 2a·b=-6,又|a+b| =a +2a·b+b =1-6+9=4,即|a+b|=2. 【答案】 2 7.已知 a⊥b,c 与 a,b 的夹角均为 60°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a-2b- 2 2 2 2 2 2 2 2 π .又∵0≤θ ≤π ,∴θ = . 2 4 c)2=________. 【解析】 (a-2b-c) =|a| +4|b| +|c| -4a·b-2a·c+4b·c. ∵a⊥b,∴a·b=0. 2

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