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2011-2012胜利一中高二数学第一学期期中试题

胜利一中 2011-2012 学年第一学期模块考试

数学试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,测 试时间 l20 分钟.

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题;每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的 四个选项中,只有一项符合题目要求。 ) 1、 已知 ?a n ?是等比数列, n>0, a4a6+2a5a7+a6a8=36, a5+a7 等于 ( a 且 则 A.6 B.12 C.18 D.24 ) )

2、已知 0 ? x ? A.
1 3

1 ,则 x(1 ? 3x) 取最大值时 x 的值是 ( 3 1 1 1 B. C. D. 6 4 12

3 、 已 知 ?ABC 中 , AB= ( )

3 ,AC=1 , 且 B ? 30 ? 则 ?ABC 的 面 积 等 于

A.

3 2

B.

3 4

C.

3 或 3 2

D.

3 3 或 4 2
( )

4、四个互不相等的正数 a, b, c, d 成等差数列,则

A.

a?d ? bc 2

B.

a?d ? bc 2

C.

a?d ? bc 2


D.

a?d ? bc 2

5、数列{an}满足 a1 ? 2, a n ?1 ? ?

1 , 则a 2012 ? an ? 1
C.-



A.2 6、 若

B.-

1 3

3 2

D.1

1 1 b a ? ? 0 ,则下列不等式:① | a |?| b | ;② a ? b ? ab ;③ ? ? 2 ; a b a b



a2 ? 2a ? b 中,正确的不等式有 b
B.2 个

( C.3 个

) D.4 个

A.1 个

7、在 ?ABC 中,下列命题中正确的是( ) 1 1 ? ? A.若 sin A ? ,则 A ? 30 B.若 cos A ? ,则 A ? 60 2 2
C.满足 a ? 80 , b ? 100 , A ? 45 的三角形有一解
?

D.满足 a ? 18 , b ? 20 , A ? 150 的三角形一定存在
?

8、已知无穷等差数列{an }的前 n 项的和为 Sn ,且 S6 <S7 ,S7 >S8 ,则 A.在 a1,a2,…,an,…中,a7 最大 B.S3=S11 C.在 a1,a2,…,an,…中,a3 或 a4 最大 D.当 n≥8 时,an<0 9、数列 {a n }满足a n ?1 ? a n ? n, 且a5 ? 10 ,则 a25 等于 A.570 B.300 C.285 D.276

10、 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,若 a, b, c 成等比数列,且

c ? 2a ,则 cos B =
A.

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3

11、已知等比数列{an}中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是

A. ? ??, ?1? B. ? ??, 0 ? ? ?1, ?? ? C. ?3, ?? ?

D. ? ??, ?1? ? ?3, ?? ?

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 12、设 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 ? x ? 0, y ? 0 ?

z ? abx ? y(a ? 0, b ? 0) 的最大值是 8,则 a ? b 的最小值为
A. ? 4

B. 4

C.2 2

D. 8

胜利一中 2011-2012 学年第一学期模块考试
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每空 4 分,共 16 分. 把答案填在题中横线 上. 13、 在 ?ABC 中, b ? 8, c ? 3, A ? 60 ,则 此三角形的外接圆的面积为
?

____. 14、已知数列 {a n }的前n项和S n 满足关系式lg(S n ? 2) ? 2n ,则该数列的通项 公式为 . 15、有以下四个命题:① ?ABC 中, " A ? B" 是 "sin A ? sin B" 的充要条

件;
②若命题 p: ?x ? R, sin x ? 1 ,则非 p: ?x ? R, sin x ? 1 ③若命题 " P ? Q" 为真,命题 " P ? Q" 为假,则 P 真 Q 假 ④命题 " 若ab ? 0, 则a ? 0或b ? 0" 的逆否命题是

"若a ? 0或b ? 0"则ab ? 0
则上述命题正确序号是 16、 已知数列 n} {a 对于任意 m、 n∈N*, am+an=am+n, a 有 若
1

则 ? ?2 , a 2009 =-

____.. 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证 明过程和演算步骤 17(本小题满分 12 分) 已知 a 、 b 、 c 分别是 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边. (1)若 ?ABC 面积 S ?ABC ?

3 , c ? 2, A ? 60?, 求 a 、 b 的值; 2

(2)若 a ? c cos B ,且 b ? c sin A ,试判断 ?ABC 的形状.

18、 (本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式 ax ? ?a ? 1?x ? 1 ? 0 .
2

19、 (本小题满分 12 分)

1 1 1 1 , a n ? a n?1 ? ? n (n ? N *且n ? 2) 6 2 2 3 1 (1)证明: {a n ? n } 是等比数列; (2)求数列 {a n } 的通项公式. 3
在数列 {a n }中, a1 ?

20、 (本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}的首项为 a,公差为 b,且关于 x 的不等式 ax2-3x+2>0 的 解集为{x|x <1 或 x > b}. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列 {3 ? a n } 的前 n 项和 Sn.
n

21、 (本小题满分 12 分) 某工厂用 7 万元钱购买了一台新机器,运输安装费用 2 千元,每年投保、动 力消耗的费用也为 2 千元,每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增 加,第一年为 2 千元,第二年为 3 千元,第三年为 4 千元,依此类推,即每 年增加 1 千元.求这台机器年平均费用的最小值.

22、 (本小题满分 14 分) 已 知 数 列 {a n }中, a1 ? 1, S n 是{a n } 的 前 n 项 和 , 当

n ? 2时, S n ? a n (1 ?

2 ). Sn

(1)求证 {

1 } 是等差数列; Sn

(2)若 Tn ? S1 ? S 2 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ? S n ?1 , 求Tn ; (3)在条件(Ⅱ)下,试求满足不等式 的正整数 m.

2m 77 ? ? T5 a m?1 ? a m? 2 ? ? ? a 2 m 2

胜利一中 2011-2012 学年第一学期期中模块考试 (理)

数学试题 参考答案
一、 选择题 题 1 2 3 号 答 A C D 案 二、填空题
13.

4 A

5 B

6 C

7 B

8 D

9 B

10 B

11 D

12 B

49 ? 3

14、 a n ? ?

?102 , (n ? 1)
n ?1 ?99 ? 100 , (n ? 2)

15、①

16.-4018

17、解: (1)? S ?ABC ? 1 bc sin A ? 3 ,------2 分 2 2
1 3 ,得 b ? 1-------4 分 ? b ? 2 sin 60? ? 2 2

由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 ? cos60? ? 3 ,
2 2 2 2 2

所以 a ? 3 --------6 分

a2 ? c2 ? b2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ,所以 ?C ? 90? (2)由余弦定理得: a ? c ? 2ac
----8 分 在 Rt?ABC 中, sin A ?

所以 ?ABC 是等腰直角三角形.------12 分 18.解:当 a=0 时,不等式的解集为{x|x ? 1};---2 分 当 a≠0 时,分解因式 a(x- 1 )(x-1) ? 0 a -----4 分

a a ,所以 b ? c ? ? a c c

10 分

当 a<0 时, 原不等式等价于(x- 1 )(x-1) ? 0, 不等式的解集为 ?x ? x ? 1?; a a

1

----6 分 当 0<a<1 时,1< 1 ,不等式的解集为 x x ? 1或x ? ? ;-----8 分 a? a

?

1?

当 a>1 时, 1 <1,不等式的解集为 ?x x ? 或x ? 1? ;-----10 分 a a 当 a=1 时,不等式的解集为 R . ------12 分

1

1 1 1 an?1 ? ? n 2 2 3 1 1? 1 ? ? a n ? n ? ? a n ?1 ? n ?1 ? ---2 分 2? 3 3 ? 1 1 ? a1 ? 1 ? ? 0 -----3 分 2 3 1 ? a n ? n ? 0 ---4 分 3 1 an ? n 3 ? 1 ---6 分 ? 1 2 a n ?1 ? n ?1 3 1 ? {a n ? n } 是等比数列---8 分 3 n 1 ?1? (2)由(1)知 a n ? n ? ? ? --10 分 3 ?2?
19、解: (1)? an ?

?1? ?1? ? an ? ? ? ? ? ? -----12 分 ? 2? ?3? 20、解: (1)?ax2-3x+2>0 的解集为{x|x <1 或 x > b} ?1、 b 是方程 ax2-3x+2=0 的两个实根---2 分
可得 a ? 1, b ? 2 --------4 分

n

n

? an ? 2n ? 1 --------6 分
(2)利用错位相减法可得 S n ? 3 ? ?n ? 4?3n ?1 ---12 分 21、[解析]设这台机器最佳使用年限是 n 年,则 n 年的保养、维修、更换易损零 件的总费用为: 2

0.2 ? 0.3 ? 0.4 ? ? ? ? ? 0.1(n ? 1) ?

---2 分
? 7 ? 0.2 ? 0.2n ? n 2 ? 3n n 2 ? 7n ,--4 ? 7.2 ? 20 20

n ? 3n , 2

7.2 ? ? n年的年平均费用为: y ?

n 2 ? 7n 20 ? 0.35? ( n ? 7.2 ), ------6 n 20 n



?

n 7.2 7.2 ? ?2 ? 1.2, ------8 分 20 n 20

等号当且仅当 n ? 7.2 即n ? 12时成立. ?y min ?0.35?1.2?1.55(万元) --10
20 n
分 答:年平均费用的最小值为 1.55 万元.----12 分 22.解: (Ⅰ)∵当 n ? 2时, a n ? S n ? S n ?1, ∴当 n ? 2时, S n ? ( S n ? S n ?1)(1 ?
2 2

2 ), Sn

----

2分

即 S n ? S n ? 2S n ? S n S n ?1 ? 2S n ?1 ,

? 2S n ? S n S n?1 ? 2S n?1 ? 0, ? S n ? 0
得,

1 1 1 ? ? , --------4 分 S n S n ?1 2

1 1 ? ? 1, S1 a1
∴{

1 1 } 是首项为 1,公差为 的等差数列. Sn 2
1 1 n ?1 ? 1 ? (n ? 1) ? ? , Sn 2 2

-------5 分

(Ⅱ)∵

∴ Sn ?

2 . n ?1
4 1 1 ? 4( ? ) (n ? 1)( n ? 2) n ?1 n ? 2

-------6 分 --------8 分

S n ?S n?1?

∴ Tn ? S1 ? S 2 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ? S n ?1 ? 4( ?

1 2

1 1 1 ??? ? ) 3 n ?1 n ? 2

1 1 2n ? 4( ? )? . 2 n?2 n?2
(Ⅲ) ∵

----9 分

a m?1 ? a m? 2 ? ? ? a 2 m ? S 2 m ? S m ?
--11 分

2 2 ? 2m ? ? , 2m ? 1 m ? 1 (2m ? 1)( m ? 1)

T5 ?

10 , 7

∴原不等式可化为

2m ? ?55 ∵ m ? 0, -----12 分 ? 2m (2m ? 1)( m ? 1)
∴ (2m ? 1)( m ? 1) ? 55, 解得 ? 6 ? m ? ∴满足不等式的正整数 m 的值是 1,2,3,4.

9 . ---13 分 2
---14 分