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(四川专版)2016高考数学二轮复习 专题十九 概率、随机变量及其分布练习 理

专题限时集训(十九)[概率、随机变量及其分布]
(时间:5 分钟+40 分钟)

基础演练夯知识 1.有两张卡片,一张的正反面分别写着 0 和 1,另一张的正反面分别写着 4 和 5,将两 张卡片排在一起组成一个两位数,则所组成的两位数能被 5 整除的概率是( ) 1 3 A. B. 8 8 1 1 C. D. 6 2 2. 从 1,2,3,4,5 中不放回地依次取两个数,记事件 A 为“第一次取到的是奇数”, 事件 B 为“第二次取到的是奇数”,则 P(B|A)=( ) 1 3 A. B. 5 10 2 1 C. D. 5 2 3. 我国古代“五行”学说认为:“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木 克土,土克水,水克火,火克金.”将这五种不同属性的物质任意排成一列,设事件 A 表示 “排列中属性相克的两种物质均不相邻” ,则事件 A 发生的概率为( ) 1 1 A. B. 6 12 5 1 C. D. 12 24 4. 在平面直角坐标系中,从下列五个点:A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,2),E(2, 2)中任取三个,以这三点为顶点能构成三角形的概率是( ) 2 3 4 A. B. C. D.1 5 5 5 5. 从 2 名男生和 2 名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,每天一 人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) 1 5 1 7 A. B. C. D. 3 12 2 12 提升训练强能力 6.投掷两枚骰子,则点数之和是 8 的概率为( ) 5 1 2 1 A. B. C. D. 36 6 15 12 7.一只蜜蜂在一个棱长为 5 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正 方体各个表面的距离均大于 2 ,称其为“安全飞行”,则该蜜蜂“安全飞行”的概率为 ( ) 1 8 A. B. 25 125 1 27 C. D. 125 125 8. 一个射箭运动员在练习时只记击中 9 环和 10 环的成绩,未击中 9 环或 10 环就以 0 环记.该运动员在练习时击中 10 环的概率为 a,击中 9 环的概率为 b,既未击中 9 环也未击 中 10 环的概率为 c(a,b,c∈[0,1)),若该运动员一次射箭击中环数的期望为 9 环,则当

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10 1 + 取最小值时,c 的值为( ) a 9b 1 2 A. B. 11 11 5 C. D. 0 11 9. 从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数, 则这个数能 被 3 整除的概率为( ) 8 19 A. B. 27 27 19 35 C. D. 54 54 2 10.甲、乙两人分别参加某高校自主招生考试,能通过的概率都为 ,设考试通过的人 3 数(就甲、乙而言)为 X,则 D(X)=________. 11. 甲、 乙两名学生选修 4 门课程(每门课程被选中的机会相等), 要求每名学生必须选 1 门且只需选 1 门,则他们选修的课程互不相同的概率是________. 12. 甲、乙二人参加知识竞答,共有 10 道不同的题目,其中 6 道选择题,4 道判断题, 甲、乙两人依次各抽一道题,则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是________. 13. 口袋中装有大小质地都相同、编号分别为 1,2,3,4,5,6 的球各一个.现从口 袋中一次性随机地取出两个球,设取出的两个球中较小的编号为 X,则随机变量 X 的数学期 望是________. 14. 某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检, 现将 9 个进口品牌奶粉的样品编号为 1, 2,3,4,?,9;6 个国产品牌奶粉的样品编号为 10,11,12,?,15,按进口品牌及国产 品牌分层进行抽样,从其中抽取 5 个样品进行首轮检验,用 P(i,j)表示编号为 i,j(1≤i <j≤15)的样品首轮同时被抽到的概率. (1)求 P(1,15)的值; (2)求所有的 P(i,j)(1≤i<j≤15)的和.

15. 某电视台组织一档公益娱乐节目,规则如下:箱中装有 2 个红球 3 个白球,参与者 从中随机摸出一球,若为白球,则将其放回箱中,并再次随机摸球;若为红球,则红球不放 回,并往箱中添加一白球,再次随机摸球.如果连续两次摸得白球,则摸球停止.设摸球结 束时参与者摸出的红球数是随机变量 ξ ,参与者获得的公益金 y 与摸出的红球数 ξ 的关系 是 y= 20 000+5000ξ (单位:元). (1)求在第一次摸得红球的条件下,赢得公益金为 30 000 元的概率;
2

(2)求随机变量 y 的分布列与期望.

16. 某学校为了选拔学生参加“XX 市中学生知识竞赛”,先在本校进行选拔测试(满分 150 分),若该校有 100 名学生参加选拔测试,并根据选拔测试成绩作出如图 19?1 所示的频 率分布直方图.

图 19?1 (1)根据频率分布直方图,估算这 100 名学生参加选拔测试的平均成绩. (2)若通过学校选拔测试的学生将代表学校参加市知识竞赛, 知识竞赛分为初赛和复赛, 初赛中每人最多有 5 次答题机会, 累计答对 3 题或答错 3 题即终止, 答对 3 题者方可参加复 2 赛. 假设参赛者甲答对每一个题的概率都是 , 求甲在初赛中答题个数的分布列和数学期望. 3

3

4

专题限时集训(十九) 【基础演练】 1.D [解析] 由题意可知, 共有 6 个基本事件,其中符合题意的基本事件有 3 个,故 3 1 所求的概率为 = . 6 2 3 3 3 2 3 P(AB) 10 2.D [解析] 依题意可知 P(A)= ,P(AB)= × = ,所以 P(B|A)= = = 5 5 4 10 P(A) 3 5 1 . 2 3.B [解析] 设 a、b、c、d、e 分别表示金、木、土、水、火,则“排列中属性相克 10 的两种物质均不相邻”,以 a 开始有 acebd,adbec,同理共有 2×5=10 种排法.P(A)= 5 A5 1 = . 12 4.C [解析] 从 5 个点中取 3 个点,列举得 ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD, BCE,BDE,CDE,共有 10 个基本事件,而其中 ACE, BCD 两种情况三点共线,其余 8 个均符 8 4 合题意,故所求概率为 = .选 C. 10 5 5.A [解析] 设两名女生为 a1,a2 两名男生为 b1,b2,则所有可能如下: (a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a1),(a2,b1),(a2,b2), (b1,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b2,b1),(b2,a1),(b2,a2),共 12 种,其中符合条件 4 1 的有 4 种.P= = ,故选 A. 12 3 【提升训练】 6.A [解析] 基本事件的总数为 36,点数之和为 8 有(2,6),(3,5),(4,4),(5, 5 3),(6,2),共 5 种情况,故所求概率为 . 36 7. C [解析] 蜜蜂“安全飞行”的空间为大正方体内的一个棱长为 1 的小正方体, 故 3 1 1 所求概率为 3= . 5 125 8.A [解析] 据题意 a+b+c=1,且 10a+9b=9, 10a 90b? 1 10 1 1 121 ?10 1 ? 1? 则 + = (10a+9b)? + ?= ?101+ + ?≥ (101+20)= ,当且仅当 a 9b a ? 9 a 9b 9 9 ? a 9b? 9? 1 9 1 =9b,即 b= ,a= 时,等号成立,所以 c= . 11 11 11 9.C [解析] 从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数, 3 2 共有 A10-A9=648(个),其中,能被 3 整除的三位数可以分为“含 0”与“不含 0”两类; “含 0”类:由(0,1,2),(0,1,5),(0,1,8),(0,2,4),(0,2,7),(0,4, 5),(0,4,8),(0,5,7),(0,7,8),(0,3,6),(0,3,9),(0,6,9)这几组数据构 1 2 成,它们组成的无重复数字的三位数有 12C2A2个. “不含 0”类:(1)含 3,6,9 中的一个,另外两个数字分别为(1,2),(1,5),(1, 8),(2,4),(2,7),(4,5),(4,8),(5,7),(7,8),它们组成的无重复数字的三位数 3 3 有 3×9A3=27A3(个); 3 (2)由 3,6,9 三个数字构成无重复数字的三位数有 A3个; 3 (3)由(1,4,7),(2,5,8)组成无重复数字的三位数有 2A3个. 故从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数中能被 3 整除 228 19 1 2 3 的共有 12C2A2+30A3=228(个),故所求概率 P= = . 648 54
5

4 10. 9 3 11. 4 则

2 ? 2? 4 ? 2? [解析] 易知 X~B?2, ?,所以 D(X)=2× ×?1- ?= . 3 ? 3? 9 ? 3? [解析] 设 4 门课分别为 1、2、3、4, “他们选修的课程互不相同”为事件 A,

甲 乙 1 2 3 4

1 11 21 31 41

2 12 22 32 42

3 13 23 33 43

4 14 24 34 44

12 3 由表格知:基本事件总数为 16,A 中的基本事件数为 12,所以 P(A)= = . 16 4 13 2 12. [解析] 由题意可知,基本事件的总数为 A10=90,基中甲、乙两人均抽到判断 15 12 13 2 题的基本事件的个数是 A4=12, 故甲、 乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是 1- = . 90 15 7 13. [解析] X 的分布列为: 3 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 P 15 15 15 15 15 1×5+2×4+3×3+4×2+5×1 7 故 E(X)= = . 15 3 14.解: (1)由分层抽样可知:首轮检验从编号为 1,2,3,?,9 的洋品牌奶粉的样 品中抽取 3 个,从编号为 10,11,?,15 的国产品牌奶粉的样品中抽取 2 个,故 P(1,15) 2 1 C8 C5 1 = 3· 2= . C9 C6 9 1 C7 1 2 (2)①当 1≤i<j≤9 时,P(i,j)= 3= ,而这样的 P(i,j)有 C9=36 个; C9 12 1 1 2 ②当 10≤i<j≤15 时,P(i,j)= 2= ,而这样的 P(i,j)有 C6=15 个; C6 15 2 1 C8 C5 1 1 1 ③当 1≤i≤9<j≤15 时,P(i,j)= 3· 2= ,而这样的 P(i,j)有 C9·C6=54 个. C9 C6 9 1 1 1 所以,所有的 P(i,j)(1≤i<j≤25)的和为 ×36+ ×15+ ×54=10. 12 15 9 15.解: (1)在摸得第一个红球的条件下,箱内有 1 个红球 4 个白球,摸球结束时赢得 公益金为 30 000 元的情形是:先摸得红球或先摸得白球再摸得红球,其概率为 1 4 1 9 P= + × = . 5 5 5 25 (2)随机变量 ξ 的可能取值为 0, 1, 2, 对应的随机变量 y 的取值分别为 20 000, 25 000, 30 000. 2 9 2 ?3? ?2 3 2??4? 256 ∵P(ξ =0)=? ? = ,P(ξ =1)=? + × ?? ? = , ?5? 25 ?5 5 5??5? 625 9 256 144 P(ξ =2)=1- - = . 25 625 625 ∴随机变量 y 的分布列为:
6

X

25 000 30 000 256 144 P 625 625 9 256 144 故随机变量 y 的期望是 Ey=20 000× +25 000× +30 000× =24352(元). 25 625 625 - 16.解: (1)设平均成绩的估计值为 X ,则: - X =(20×0.001+40×0.004+60×0.009+80×0.020+100×0.013+120×0.002+ 140×0.001)×20=80. (2)记甲在初赛中的答题个数为随机变量 ξ ,则 ξ 的可能值为 3,4,5, 3 3 2 2 ?2? ? 2? 1 ?2? ? 2? 2 1 2 ? 2? P(ξ =3) =? ? +?1- ? = , P(ξ =4) = C2 3 × ? ? × ?1- ? × + C 3 × × ?1- ? × 3 ? 3? ?3? ? 3? 3 ?3? ? 3? 3 2 10 ?1- ?= . ? 3? 27 ? ? 2 2 2 2 ?2? ×?1-2? ×2+C2×?1-2? ×?2? ×?1-2?= 8 (或 P(ξ =5)=1- P(ξ =5)=C2 × 4 ?3? ? 3? 3 4 ? 3? ?3? ? 3? 27 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 10 8 - = ). 3 27 27 则 ξ 的分布列为 3 4 5 1 10 8 P 3 27 27 1 10 8 107 所以 ξ 的数学期望 Eξ =3× +4× +5× = . 3 27 27 27 ξ

y

20 000 9 25

7


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