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北师大版必修5知识点总结(精品)


北师大版必修 5 知识点总结
1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的外接圆的半径,则 有

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C

2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ;

a b c , sin ? ? , sin C ? ;③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; 2R 2R 2R a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C
② sin ? ? (正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。2、已知两角和一边, 求其余的量。 ) ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。 (一解、两解、无解三中情况) 3、三角形面积公式: S???C ?

1 1 1 bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
2 2 2 2 2 2

4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? ,

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .
5、余弦定理的推论: cos ? ?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 , cos ? ? , cos C ? . 2bc 2ac 2ab

(余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角)

b、 C 的对边, 6、 如何判断三角形的形状: 设a、 则: ①若 a ? b ? c , 则 C ? 90 ; c 是 ??? C 的角 ? 、 ?、
2 2 2 ?

②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2 ? 2 2 2 ?

等差数列 1、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这 个常数称为等差数列的公差.符号表示: an?1 ? an ? d 。注:看数列是不是等差数列有以下三种方法: ①

an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数) ②2 a n ? a n ?1 ? a n ?1 ( n ? 2 ) ③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数

2、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的等差中项.若

b?

a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2

3、若等差数列

?an ? 的首项是 a ,公差是 d ,则 a
1

n

? a1 ? ? n ?1? d .

4、通项公式的变形:① an

? am ? ? n ? m? d ;② a1 ? an ? ? n ?1? d ;③ d ?
1

an ? a1 n ?1



④n ?

an ? a m an ? a1 ? 1 ;⑤ d ? n?m d



5、若 ?an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an 数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 2an 6、 等差数列的前 n 项和的公式: ① Sn

? ap ? aq ;若 ?an ? 是等差

? ap ? aq .

?

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? d. ; ② Sn ? na1 ? ③ sn ? a1 ? a2 ? ? ? an 2 2

* 23、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ? ,则 S2n

?

?

? n ? an ? an?1 ? ,且 S偶 ? S奇 ? nd ,

S奇 a ? n S偶 an?1



* ②若项数为 2 n ? 1 n ? ? ,则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an ,且 S奇 ? S偶 ? an ,

?

?

S奇 n (其中 S奇 ? nan , ? S偶 n ? 1

. S偶 ? ? n ?1? an ) 等比数列 1、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这 个常数称为等比数列的公比.符号表示:

an ?1 ? q (注:①等比数列中不会出现值为 0 的项;②同号位上 an

的值同号) 注:看数列是不是等比数列有以下四种方法: ① a n ? a n?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0) ③ a n ? cq n ( c, q 为非零常数). 3、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若 G ? ab ,
2

2 ② an ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 , a n a n ?1 a n ?1 ? 0 )

则称 G 为 a 与 b 的等比中项. (注:由 G ? ab 不能得出 a , G , b 成等比,由 a , G , b ? G ? ab )
2 2

4、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q n?1 . 5、通项公式的变形:① an

? amqn?m ;② a1 ? an q?? n?1? ;③ q n ?1

?

a n?m an ? n . ;④ q am a1

* 6、若 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;若 ?an ? 是等比数 * 列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 an

2

? ap ? aq .
2

?na1 ? q ? 1? ? 7、 等比数列 ?an ? 的前 n 项和的公式: ① Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q . ② sn 1 n ? q ? 1 ? ? ? 1? q ? 1? q
8、对任意的数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: a n ? ?

? a1 ? a2 ??? an

?s1 ? a1 (n ? 1) ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

[注]: ① a n ?a1 ??n ? 1?d ? nd ? ?a1 ?d ?( d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常数列也是等差数 列)→若 d 不为 0,则是等差数列充分条件). ②等差{ a n }前 n 项和 S n ? An 2 ? Bn ? ? ?n 2 ?? a 1 ?
? ?d ? ?2? ? d? ?n 2?



d 可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若 2

d 为零,则是等差数列的充分条件;若 d 不为零,则是等差数列的充分条件.

③非零 常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) .. 附:几种常见的数列的思想方法: ⑴等差数列的前 n 项和为 S n ,在 d ? 0 时,有最大值. 如何确定使 S n 取最大值时的 n 值,有两种方法: 一是求使 a n ? 0, a n ?1 ? 0 ,成立的 n 值;二是由 S n ? 数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下: 数列 等差数列 等比数列 通项公式 对应函数 ( 时为一次函数)
d 2 d n ? (a1 ? )n 利用二次函数的性质求 n 的值. 2 2

(指数型函数)

数列 等差数列 等比数列

前 n 项和公式

对应函数 ( 时为二次函数)

(指数型函数)

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前 n 项和可依照等比数列前
1 1 1 n 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如: 1? ,3 ,...( 2n ? 1) n ,... 2 4 2

2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法: (1) 定义法 : 对于 n ≥ 2 的任意自然数 , 验证

an ? an?1 (

an ) 为 同 一 常 数 。 (2) 通 项 公 式 法 。 (3) 中 项 公 式 法 : 验 证 an?1

2 2an?1 ? an ? an?2 (an ?1 ? an an? 2 )n ? N 都成立。

3

3. 在等差数列{ an }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ?

?am ? 0 的项数 m 使得 s m 取最 ?am?1 ? 0

大值. (2)当 a1 <0,d>0 时,满足 ? 注意转化思想的应用。 附:数列求和的常用方法

?am ? 0 的项数 m 使得 s m 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时, ?am?1 ? 0

1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.错位相减法:适用于 ?an bn ?其中{ an }是等差数列, ?bn ? 是各项不为 0 的等比数列。 3.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 4.常用结论

n( n ? 1) 1): 1+2+3+...+n = 2
4) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

2) 1+3+5+...+(2n-1) = n

2

?1 ? 3) 1 ? 2 ? ? ? n ? ? n(n ? 1)? ?2 ?
3 3 3

2

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

5)

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

不等式 1、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 2、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ;② a ? b, b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ;
n n ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? a ? b ? n ??, n ? 1? ;

⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? . ②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a>0)解的讨论.
2

??0
二次函数

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象 一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

x1 , x2 ( x1 ? x2 )
4

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

对于 a<0 的不等式可以先把 a 化为正后用上表来做即可。 2.分式不等式的解法 (1)标准化:移项通分化为

f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) >0(或 <0); ≥0(或 ≤0)的形式, g ( x) g ( x) g ( x) g ( x)

(2)转化为整式不等式(组)

f ( x) f ( x) f ( x) g ( x) ? 0 ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; ?0?? ? g ( x) ? 0 ? g ( x) g ( x)

3.高次不等式的解法:穿根法(零点分段法) 4.含绝对值不等式的解法: ①型如:|x|<a ②型如:|x|>a (a>0) 的不等式 的解集为: ?x | ?a ? x ? a? (a>0) 的不等式 的解集为: x | x ? ?a, 或x ? a

?

?

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数. 2 a?b ? ab . 6、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 2
5、设 a 、 b 是两个正数,则 7、常用的基本不等式:① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ;② ab ?
2 2
2 2

a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; 2

a 2 ? b2 ? a ? b ? ? a?b ? ③ ab ? ? ;④ a ? 0, b ? 0 ?? ? ? ? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ? ? 2 ?
8、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有:

s2 ⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值 . 4
⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p . 线性规划 1、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? .可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
5


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