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山东大学答案2014-2015学年第二学期高等数学试题(A)


2014-2015 学年第二学期高等数学试题(A)答案
1. 18 2 2. f1? ? 3.
1 y ?? ? 3 f 22 ?? f 2? ? xyf11 2 x x

7 54
x?3 y ?4 z ?5 ? ? 4 ?3 0 27 4
7.C

4.

5. ? 6.C

8. C

9.A

10. D

11.

1

12. 解 积分区域 ? 如图所示. 当 ? 与 ? 取定值时所决定的射线 r 由 r ? 0 穿入区

域 ?, 由球面穿出 ?, 该球面在球面坐标系下的方程由 (11.2.11) 式知 r 2 ? 2r cos ? , 即 r ? 2 cos ? ; 同理,圆锥面 z ? x 2 ? y 2 在球面坐标系中的方程 为 r sin ? ? r cos ?,即 tan ? ? 1,或 ? ?

?
4

. 因而 ? 在球面坐标系中的不等式组

表示为 : ? ? {(r , ? , ? ) | 0 ? r ? 2 cos ? , 0 ? ? ?
从而有 I ? ???
?

?
4

, 0 ? ? ? 2? }.

x ? y ? z dV ? ? d? ? 4 d? ?
2 2 2 0 0

2?

?

2 cos?

0

r ? r 2sin?dr

2 cos? 1 ? 2? ? 4 sin? ? r 4 | d? ? 8? ? 4 sin?cos 4?d? 0 0 0 4 2 ? ? ( 4 2 ? 1). 5

?

?

13.
解 (1) 则 P ( x, y ) ? x? y x? y , Q ( x, y ) ? ? 2 , 2 2 x ?y x ? y2

?
??

?P ?Q ? . ?y ?x

y ? ? cos x

?
C

故由格林公式 所以

?
L

?

BA

?

?

c顺

?

? 0.

?
L

?

AB

?

?

c逆 y ? ??

?

.

B

A

( x ? y ) dx ? ( x ? y ) d y ? x2 ? y2 AB

? ??

??

? x ?? 1 ? dx ? 2? ? 2 dx ? , 2 2 2 0 x ?? 2 x ??

?
c

( x ? y )dx ? ( x ? y )dy x2 ? y2
2?

? x ? R cos t ? y ? R sin t ?

? ?

( R cos t ? R sin t )(? R sin t ) ? ( R cos t ? R sin t ) R cos t dt ? ?2? 0 R2 3 ? I ? ? ?. 2

14.

2

15.

16.
解 由 y ? nx 2 ? 所以 S n ? 2 ? ? 2?
an 0 an 0

1 1 与 y ? ?n ? 1?x 2 ? n n ?1

得 an ?

n ?n ? 1?

1

, 因图形关于 y 轴对称,

1 ? ? 2 1 nx ? ? ?n ? 1?x 2 ? dx ? n n ? 1? ? ?

? 1 4 1 2? , ? n ?n ? 1? ? x ?dx ? 3 n ?n ? 1? n ?n ? 1? ? ?

因此

? Sn 4 Sn S 1 4?1 1 ? 1 ?? 4 ?4 ? ? ? ? ? ? lim n ? lim ? ?1 ? ?, 从而 ? ? ? . n ?? a n?? 3 a n 3 n ?n ? 1? 3 ? n n ? 1 ? n ? 1 ?? n ?1 a n ? ? ? 3 n

17.



F (t ) ? ??? [ z 2 ? f ( x 2 ? y 2 )]dV ? ?
?t

2? 0

d? ? rdr ? [ z 2 ? f ( r 2 )]dz
0 0

t

h

t 1 dF 1 ? 2? ? ( h 3 ? hf ( r 2 )) rdr 故得 ? 2? ( h 3 ? hf (t 2 ))t 0 3 dt 3 t 1 F (t ) 0 又因为 lim 2? ? ( h 3 ? hf (t 2 )) rdr ? lim F (t ) ? 0所以, lim 是“ ”型, 2 ? ? ? 0 t ?0 t ?0 t ?0 3 0 t 1 2?t ( h 3 ? hf ( r 2 )) F (t ) 1 3 利用洛必塔法则,有 lim = lim ? ? ( h 3 ? hf (0)). t ?0 ? t 2 t ?0 ? 2t 3

3


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